苏教版 (2019)必修 第一册2.3 全称量词命题与存在量词命题课后测评

第2章常用逻辑用语

2.3　全称量词命题与存在量词命题

2.3.1　全称量词命题与存在量词命题

2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2021辽宁大连高三期末)命题“∀x>1,x2-x>0”的否定为(　　)

A.∀x>1,x2-x≤0 B.∃x>1,x2-x≤0

C.∀x≤1,x2-x≤0 D.∃x≤1,x2-x≤0

答案B

解析命题“∀x>1,x2-x>0”的否定是“∃x>1,x2-x≤0”,故选B.

2.“∃x∈(-4,-2),使得x2+3x=0”的否定是(　　)

A.∃x∈(-4,-2),使得x2+3x≠0

B.∃x∉(-4,-2),使得x2+3x≠0

C.∀x∈(-4,-2),x2+3x≠0

D.∀x∉(-4,-2),x2+3x≠0

答案C

解析“∃x∈(-4,-2),使得x2+3x=0”的否定是“∀x∈(-4,-2),x2+3x≠0”.故选C.

3.(2020山西高一月考)下列命题中是全称量词命题,且为假命题的是(　　)

A.所有能被2整除的正数都是偶数

B.存在三角形的一个内角,其余弦值为

C.∃m∈R,x2+mx+1=0无解

D.∀x∈N,x3>x2

答案D

解析对于A,所有能被2整除的正数都是偶数,全称量词“所有”,是全称量词命题,为真命题,故A不正确.对于B,含有量词“存在”,不是全称量词命题,故B不正确;对于C,∃m∈R,x2+mx+1=0无解,为存在量词命题,故C不正确;对于D,∀x∈N,x3>x2,是全称量词命题,当x=1或0时,则x3=x2,故为假命题,满足题意,故D正确.故选D.

4.对给出的下列命题:①∀x∈R,-x2<0;②∃x∈Q,x2=5;③∃x∈R,x2-x-1=0;④若p:∀x∈N,x2≥1,则其否定为∃x∈N,x2<1.其中是真命题的是(　　)

A.①③ B.②④ C.②③ D.③④

答案D

解析①中,当x=0时,-x2=0,假命题;②中,x2=5,x=±,±是无理数,假命题;③中,当x=时,x2-x-1=0,真命题;④中,全称量词命题的否定是存在量词命题,真命题,故③④是真命题.

5.(2020江苏邗江中学月考)已知“命题p:∃x∈R,使得ax2+2x+1<0成立”为真命题,则实数a满足(　　)

A.[0,1) B.(-∞,1)

C.[1,+∞) D.(-∞,1]

答案B

解析若a=0时,不等式ax2+2x+1<0等价为2x+1<0,解得x<-,结论成立.当a≠0时,令y=ax2+2x+1,要使ax2+2x+1<0成立,则满足或a<0,解得0<a<1或a<0,综上a<1.故选B.

6.(2020广东佛山高二月考)“有些三角形的外角至少有两个钝角”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案任意三角形的外角最多有一个钝角

解析可知存在量词命题的否定是全称量词命题,则该命题的否定是“任意三角形的外角最多有一个钝角”.

7.(2020上海建平中学高三月考)设常数a∈R,命题“存在x∈R,使x2+ax-4a≤0”为假命题,则a的取值范围为　　　　　. 

答案(-16,0)

解析命题:“存在x∈R,使x2+ax-4a≤0”为假命题,即任意x∈R,x2+ax-4a>0恒成立,则Δ<0,即a2+16a<0,解得-16<a<0,故实数a的取值范围为(-16,0).

8.写出下列命题的否定并判断真假:

(1)某些梯形的对角线互相平分;

(2)被8整除的数能被4整除.

解(1)命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.

(2)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.

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9.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定是(　　)

A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2

B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2

C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2

D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2

答案D

解析将“∀”改写为“∃”,“∃”改写为“∀”,再否定结论可得,命题的否定为“∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2”.

10.(2020河南商丘高三月考)设命题p:∀x<-1,x2+>0,则命题p的否定为(　　)

A.∃x<-1,x2+≤0 B.∃x≥-1,x2+≤0

C.∀x<-1,x2+≤0 D.∀x≥-1,x2+≤0

答案A

解析因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题p的否定为“∃x<-1,x2+≤0”.故选A.

11.(2020河南高三月考)已知命题p:∀x∈R,2x2+5x+4>0,则命题p的真假以及否定分别为(　　)

A.真命题,∀x∈R,2x2+5x+4≤0

B.假命题,∀x∈R,2x2+5x+4≤0

C.真命题,∃x∈R,2x2+5x+4≤0

D.假命题,∃x∈R,2x2+5x+4≤0

答案C

解析对于函数y=2x2+5x+4,Δ=25-32<0,故命题p为真命题.命题p的否定为∃x∈R,2x2+5x+4≤0.故选C.

12.已知a>0,函数y=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程y=2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是(　　)

A.∃x∈R,y≤y' B.∃x∈R,y≥y'

C.∀x∈R,y≤y' D.∀x∈R,y≥y'

答案C

解析f(x)=ax2+bx+c=ax+2+(a>0),∵2ax0+b=0,∴x0=-,当x=x0时,函数f(x)取得最小值,∴∀x∈R,f(x)≥f(x0),从而A,B,D为真命题,C为假命题.

13.(2020江苏淮安高三月考)已知命题p:∀x∈R,mx2+2>0;命题q:∃x∈R,x2-2mx+1≤0,若p,q都为真命题,则实数m的取值范围是(　　)

A.[1,+∞) B.(-∞,-1]

C.(-∞,-2] D.[-1,1]

答案A

解析若命题p为真命题,则m=0或解得m≥0;若命题q为真命题,则Δ2≥0,即4m2-4≥0,解得m≤-1或m≥1.综上,实数a的取值范围是[1,+∞).故选A.

14.(多选)(2020江苏江浦高级中学期中)下列存在量词命题是真命题的有(　　)

A.有的集合中不含有任何元素

B.存在对角线不互相垂直的菱形

C.∃x∈R,满足3x2+2>0

D.有些整数只有两个正因数

答案ACD

解析由空集中不含任何元素,故A正确;由菱形的对角线互相垂直,故B错误;因为3x2+2≥2>0,故C正确;素数只有两个正因数,故D正确.故选ACD.

15.(多选)下列命题正确的有(　　)

A.“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”

B.“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题

C.“至少存在一个实数x,使得|x|≥0”是含有存在量词的真命题

D.“能被3整除的整数,其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题

答案BCD

解析对于A,“实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,所以A错误;对于B,“三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B正确;对于C,“至少存在一个实数x,使得|x|≥0”含有存在量词,且为真命题,所以C正确;对于D,“能被3整除的整数,其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D正确.综上可知,正确命题为BCD.

16.(多选)(2020湖北襄阳期中)若“∃x∈M,|x|≤-x”为假命题,“∀x∈M,x≤3”为真命题,则集合M可以是(　　)

A.{x|0<x≤3} B.{x|1<x<2}

C.{x|x≤3} D.{x|x>0}

答案AB

解析因为“∃x∈M,|x|≤-x”为假命题,所以“∀x∈M,|x|>-x”为真命题,所以x∈M,x>0,若“∀x∈M,x≤3”为真命题,所以x的取值范围是{x|0<x≤3}.故集合M可以是{x|0<x≤3}的子集.故选AB.

17.(2020山东潍坊高一检测)若“方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根”是真命题,则a的取值范围是　　　　. 

答案aa<且a≠0

解析由题意知解得故a的取值范围为aa<且a≠0.

18.(2020山西高一月考)已知命题p:∃m∈{m|-1≤m≤1},a2-5a+3<m+2,若p是假命题,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 

答案{a|a≤0或a≥5}

解析因为命题p是假命题,可得命题“∀m∈{m|-1≤m≤1},a2-5a+3≥m+2”为真命题,即∀m∈{m|-1≤m≤1},a2-5a+3≥m+2恒成立,可得a2-5a+3≥3,即a2-5a≥0,解得a≤0或a≥5,即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥5}.

19.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.

(1)对任意非零实数x1,x2,若x1<x2,则;

(2)对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;

(3)∃x∈R,使得x2+1=0;

(4)每个正方形都是平行四边形.

解(1)全称量词命题.当x1=-1,x2=1时,-1<1,则,所以该命题为假命题.

(2)全称量词命题.由题得Δ=-3<0,所以方程无实根,故该命题为假命题.

(3)存在量词命题.∀x∈R,使得x2+1>0,故该命题为假命题.

(4)全称量词命题.{正方形}⫋{平行四边形},则每个正方形都是平行四边形,故该命题为真命题.

20.已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0,命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0,若p假q真,求实数a的取值范围.

解因为命题p是假命题,

所以“∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则(a-1)2-4>0,解得a<-1或a>3.

因为命题q:∃x∈R,ax2-2ax-3>0是真命题,

所以当a=0时,-3<0,不满足题意;

当a<0时,(-2a)2+12a>0,所以a<-3.

当a>0时,函数y=ax2-2ax-3的图象开口向上,一定存在满足条件的x,故a<-3或a>0.

综上,实数a的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).

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21.已知命题p:“至少存在一个实数x∈[1,2],使不等式x2+2ax+2-a>0成立”的否定为假命题,试求实数a的取值范围.

解由题意知,命题p为真命题,即x2+2ax+2-a>0在[1,2]上有解,令y=x2+2ax+2-a,则只需x=1或x=2时,y>0即可,∴1+2a+2-a>0或4+4a+2-a>0,解得a>-3或a>-2,即a>-3.故实数a的取值范围为(-3,+∞).