8.11圆锥曲线中证明、探究性模型（精练）

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8.11  圆锥曲线中证明、探究性模型【题型解读】【知识必备】一、圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．二是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等；解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想的充分体现．无论证明什么结论，要对已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求条件和结论间的联系，从而确定解题思路及转化方向．二、存在性问题的解题步骤探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．一般步骤为：(1)假设满足条件的元素(常数、点、直线或曲线)存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；(2)解此方程(组)或不等式(组)；(3)若方程(组)有实数解，则元素(常数、点、直线或曲线)存在，否则不存在．三、解决存在性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．【题型精讲】【题型一  证明数量关系问题】例1  （2022·全国·高三专题练习）设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．      【跟踪精练】1. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，直线l1：x＝4与x轴的交点为G，过点M(1，0)且不与x轴重合的直线l2交椭圆E于点A，B．当l2垂直于x轴时，△ABG的面积为．(1)求椭圆E的方程；(2)若AC⊥l1，垂足为C，直线BC交x轴于点D，证明：|MD|＝|DG|．       【题型二  证明位置关系问题】例2 （2022·青岛高三模拟）已知点A(－4，0)，直线l：x＝－1与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设C与x轴交于E，F两点，P是直线l上一点，且点P不在C上，直线PE，PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线．       【跟踪精练】1.已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(0，1)，离心率e＝，圆C：x2＋y2＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN．(1)求椭圆T的方程；(2)求证：PM⊥PN．  【题型三 探究常数型问题】例3  （2022·全国高三专题练习）已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4．直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E交于A，B两个相异点，且＝λ．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在m，使＋λ＝4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．       【题型精练】1.（2022·山西太原五中高三期末）已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，其离心率为，又抛物线x2＝4y在点P(2，1)处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(－4，0)，斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于A，B两点，直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1k＋k2k＝λk1k2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．             【题型四  探究存在点问题】例4 　（2022·湖北模拟）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)．(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．      【题型精练】1. （2022·德阳三模）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F2(2，0)，点B(2，－)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程．(2)若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N．在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．       【题型五  探究直线型问题】例5 　（2022·湖北模拟）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(2，0)，点P在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|＝|F1N|(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．        【题型精练】1. （2022·德阳三模）如图所示，已知椭圆G：＋y2＝1，与x轴不重合的直线l经过左焦点F1，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点．(1)若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率．(2)是否存在直线l，使得|AM|2＝|CM||DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．