4.9三角形中的最值、范围问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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4.9  三角形中的最值、范围问题【题型解读】【知识储备】三角形中的最值范围问题处理方法1.利用基本不等式求最值、范围-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。2.转为三角函数求最值、范围-化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的函数，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值、范围问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边【题型精讲】【题型一　与角有关的最值、范围问题】　例1  （2022·全国·高三课时练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－a＝0．(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．【解析】(1)由正弦定理，得2sinBsinA＝sinA，又在△ABC中，sin A>0，故sin B＝，由题意得B＝．(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．由△ABC是锐角三角形，得A∈ ．由cosC＝cos＝－cosA＋sinA，得cosA＋cosB＋cosC＝sin A＋cos A＋＝sin＋∈．故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是．例2  （2022·全国·高三专题练习）已知中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）      （2）,【解析】（1）因为，又，所以，故，由为三角形的内角得；（2）由（1）知，，，因为，所以，所以，所以,，故的取值范围,．【题型精练】1．（2022·全国高三单元测试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为S，若.(1)求角C；(2)求的取值范围.【答案】(1)；  (2).【解析】(1)由题设，，而，所以，又，所以，又，且，所以且，则.(2)由（1），，由，则.所以，故.2．（2022·合肥百花中学高三期末）已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵,\∴，∴由正弦定理得：，即，，则，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.∵，∴，∴的最大值为.故选：C.3．（2022·全国高三课时练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0．(1)若b＝7，a＋c＝13，求△ABC的面积；(2)求sin2A＋sin的取值范围．【解析】(1)因为(2c－a)cosB－bcosA＝0，由正弦定理得(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA＝0，则2sinCcosB－sin(A＋B)＝0，求得cosB＝，B＝．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即49＝(a＋c)2－2ac－2accosB，求得ac＝40，所以△ABC的面积S＝acsinB＝10．(2)sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝－cos2A＋cosA＋1，A∈，令u＝cosA∈，y＝－u2＋u＋1∈．4．（2022·山东潍坊高三期末）在中，，，分别是角，，的对边，并且．（Ⅰ）已知_______，计算的面积；请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．（Ⅱ）求的最大值．【解析】（Ⅰ）∵，∴由余弦定理知，，∵，∴．选择①②：∵，∴，即，解得或（舍负），∴的面积．选择①③：由正弦定理知，，∵，∴∵∴，由构成的方程组，解得，.∴的面积．选择②③：由正弦定理知，，∵，∴，∴的面积．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，∵，∴，∴，故的最大值为1【题型二　与边有关的最值、范围问题】例3　（2022·广西河池·高三期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】是边上的中线， 在中，①，在中，②.又，，由①＋②得.由余弦定理得.，，，即，.故选C.例4　（2022·山东青岛·高三期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)   (2)【解析】(1)在中，，∵，∴，即，由正弦定理得：，∴，∴，又，∴，∴.(2)由正弦定理得：，∴，，∴ ，∵，∴，即，∴，，∴，即.【题型精练】1．（2022·河南·高三期中）在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.【答案】3【解析】如图所示，设，，则，在中，由余弦定理，可得，即，①在中，由余弦定理，可得，即，②由①+②，可得，在中，由余弦定理，可得，即，解得，所以，即的最大值为.故答案为：.2．（2022·甘肃兰州·高三期中）已知分别为三个内角的对边，.(1)求；(2)若 ，求的最大值.【答案】(1)  (2)【解析】(1)解： ，，即，即，得，即，，，又，所以．(2)解：因为，， 由正弦定理 其中，由于，所以当时，3. （2022·四川资阳市高三月考）在锐角中，角，，所对边分别为，，，若，，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，，所以由余弦定理得，所以，所以，由正弦定理得，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，即，解得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围是【题型三　与周长有关的最值、范围问题】例5　（2022·河南·高三阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，即，又，解得，，又，由余弦定理可得：，，即当且仅当时取等号，则周长的最大值是，故选：B例6　（2022·山东济南市高三月考）已知锐角的内角的对边分别为，且.(1)求；(2)当时，求周长的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)∵，∴，∴，∵，∴，∴.(2)∵，∴.∵为锐角三角形，∴，∴由正弦定理可得：，周长，∵，∴，∴周长的取值范围是.【题型精练】1．（2022·陕西高三期中）在中，在线段上，且，，.（1）若，求的面积；    （2）求的周长的最大值。【答案】（1）8     （2）【解析】（1）设，则，在中，由余弦定理知，，解得，∴，，由余弦定理知，，∴，故的面积为.（2）由（1）知，，，，∵，∴cos，在中，由余弦定理知， .∴，设的周长为，则，当且仅当，即时，等号成立，故的周长的最大值为.2．（2022·绵阳南山中学实验学校月考）设锐角的三个内角的对边分别为 且，，则周长的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为△为锐角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因为，所以，又因为，所以；由，即，所以，令，则，又因为函数在上单调递增，所以函数值域为，故选C3. （2022·济南省实验月考）已知在中，角，，的对边分别为，，，满足．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．【答案】（1）【解析】（1）因为，所以，即，所以，整理可得，所以可得，因为，可得，，所以，可得．（2）由正弦定理，且，，所以，；所以．因为为锐角三角形，所以得，解得．所以；即周长的取值范围是.【题型四  与面积有关的最值、范围问题】例7　（2022·贵州金沙·高三阶段练习）在中，，D是BC上一点，且，，则面积的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，，由余弦定理可得，，消去得，又，联立消去x得所以，当且仅当时等号成立，因此.故选：B.例8　（2022·湖南益阳·高三期末）为边上一点，满足，，记，．(1)当时，且，求的值；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)  (2)【解析】(1)设长为，当时，，，则，因为，所以，即所以，得，所以，所以.(2)在中，，则，由正弦定理得，又，所以，，则的面积，又，所以因为，所以，所以当，即时，有最大值.故面积的最大值为：.【题型精练】1．（2022·山东省济宁市高三月考）已知，，分别是内角，，的对边，，当时，面积的最大值为______．【答案】【解析】解:根据正弦定理边角互化结合得,由于，，所以，即，因为，所以因为，所以由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最大值为.故答案为：2.（2022·湖南益阳月考）（多选）设的内角，，所对的边分别为，，，，且，若点是外一点，，.下列说法中，正确的命题是（       ）A．的内角 B．的内角C．的面积为 D．四边形面积的最大值为【答案】ABD【解析】∵，∴，∴，∴．故A正确．又∵．∴，故B正确．由于，由于角无法确定，故C不一定正确.在等边中，设，，在中，由余弦定理可得：，由于，，代入上式可得：；∴四边形的面积，∴当角时，四边形面积的最大值，最大值为，故D正确．故选：ABD．3.（2022·昆明市官渡区第一中学高三月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，．（1）求角的大小和边长的值；      （2）求面积的取值范围．【答案】（1），         （2）【解析】（1），∴，，，，为锐角，，∵，由正余弦定理可得，整理可得，解得．（2），，，，，，，，，，