1.2逻辑用语与充分、必要条件（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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1.2  逻辑用语与充分、必要条件【题型解读】【知识储备】1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p 2．集合判断法判断充分条件、必要条件若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则（1）若，则是的充分条件；（2）若，则是的必要条件；（3）若，则是的充分不必要条件；（4）若，则是的必要不充分条件；（5）若，则是的充要条件；（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.3.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x) 特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)【题型精讲】【题型一　充分、必要条件的判定】必备技巧  充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．例1　（2021·浙江）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（　　）  A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B.【解析】若但= 不一定成立, 故充分性不成立;若时,一定成立,故必要性成立, 故“ ”是“ ”的必要不充分条件故答案为：B.例2　（2022·天津·一模）设，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式可得，，又，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.例3　（2022·全国·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线与直线平行”因为，所以直线，直线，与平行，故充分条件成立；当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故充要条件成立．故选：A．【题型精练】1. （2022·天津河东·一模）“且”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当且时，不成立，因为时，无意义，所以充分性不成立.当时，有可能得到且，所以不是必要条件.因此“且”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.2．（2022•福州模拟）“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：，，，①若“ “，则，即，所以具有充分性；②若，则，不一定可以推到，如，，，但，所以不具有必要性；故选：．3．（2022·湖北·模拟预测）在等比数列中，已知，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵公比，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴且，∴且，即“”是“”的充分不必要条件．故选：A．4. （2022·河北·模拟预测）“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，则要满足，解得：，因为，但故“”是“”的必要不充分条件.故选：B【题型二　根据充分、必要条件求参数范围】必备技巧  根据充分、必要条件求参数范围(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．例4　（2022·江西新余·高三期末）已知”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（　　）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】D【解析】由，得或，因为”的必要不充分条件是“或”，所以，解得，所以实数a的最大值为1，故选：D例5　（山西省吕梁市交城县2022届高三核心模拟（下）理科数学（一）试题）“，使得成立”的充要条件是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，等价于，又，当且仅当时等号成立，即，故．故选：A．例6　（2022·全国·高三专题练习）已知集合，设.(1)若p是q的充要条件，求实数a的值；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(3)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解析】(1)，因为p是q的充要条件，所以，∴；(2)因为p是q的充分不必要条件，所以且，∴，即；(3)因为p是q的必要不充分条件，所以且，∴.【题型精练】1．（2022·浙江·高三专题练习）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得：；由，则，可得；∵成立的一个充分不必要条件是，∴，可得.故选：D.2. （2022·重庆·一模）已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】若函数为奇函数，由于函数的定义域为R，∴，∴,即,∴∴；当时，，即为奇函数的充分必要条件是或，是的非充分非必要条件；是的非充分非必要条件；是的充分不必要条件；故选：C.3. （2022·全国·高三专题练习）已知集合，非空集合，若是成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是___________.【答案】【解析】由题意得，，由是成立的一个充分而不必要条件，得，即解得，，故答案为：.【题型三　全称命题与特称命题的真假】必备技巧  全称命题与特称命题的真假判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立例7　（2022·北京四中高三期中）下列命题中的假命题是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】对A：取，则成立，故选项A正确；对B：当时，没有意义，故选项B错误；对C：取，则成了，故选项C正确；对D：由指数函数的性质有成立，故选项D正确.故选：B.例8　【多选】（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题，其中假命题为（       ）A．，；B．，；C．，；D．是的充要条件.【答案】ABC【解析】.，所以该命题是假命题；.当时，所以该命题是假命题；.当时，左边，右边，所以该命题是假命题；.时，时，所以是的充要条件，所以该命题是真命题.故选：ABC例9　（2022·江西·二模）已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】当时，显然成立；当时，可知不成立；由辅助角得，所以所以的最大值为5，所以为假.故选：B【题型精练】1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）（1），使，只需；（2），恒成立，只需；（3），，成立，只需；（4），，，只需．【答案】（2）（3）【解析】对于（1），，使，只需，故（1）错误；对于（2），，恒成立，即恒成立，应需，故（2）正确；对于（3），，，成立，即需，故（3）正确；对于（4），，，，，应需，故（4）错误．综上，正确的命题是（2）（3）．故答案为：（2）（3）．2. （2022·陕西模拟）下列命题中，真命题的是（       ）A．函数的周期是 B．C．函数是奇函数. D．的充要条件是【答案】C【解析】由于，所以函数的周期不是，故选项A是假命题；当时，故选项B是假命题；函数的定义域关于原点对称，且满足，故函数是奇函数，即选项C是真命题；由得且，所以“”的必要不充分条件是“”，故选项D是假命题故选：C3. （2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（       ）A．B．C．D．已知，则对于任意的，都有【答案】B【解析】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；选项B，，，故该选项正确；选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.故选：B.【题型四  含有量词的命题的否定】必备技巧  对全称命题、特称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；(2)对原命题的结论进行否定．例10　（山东省潍坊市2022届高三下学期二模数学试题）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（       ）A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解【答案】D【解析】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；故只有D满足题意；故选：D例11　（重庆市南开中学校2022届高三第九次质量检测数学试题）命题“，”的否定为（       ）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】由全称命题的否定为特称命题，故原命题否定为“，”.故选：A例12  （2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由存在量词命题的否定知原命题的否定为：，.故选：C.【题型精练】1．【多选】（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）下列说法正确的是（       ）A．命题：，的否定是：，；B．，是的充要条件；C．是的充分非必要条件；D．是命题：，恒成立的充分非必要条件【答案】AC【解析】对A，，的否定是，，A正确；对B，或，故，是的充分不必要条件，故B错；对C，或，所以是的充分非必要条件，故C正确；对D，，恒成立的条件为所以是命题：，恒成立的必要不充分条件故选：AC2. （湖南省衡阳市第八中学2022届高三下学期第六次月考（开学考试）数学试题）下列有关命题的说法正确的是(          )A．若，则B．“”的一个必要不充分条件是“”C．若命题：，，则命题：，D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么【答案】C【解析】A：若，则方向相反且，故A错误；B：若，则，故“”是“”的充分条件，故B错误；C：命题：，，则其否定为：，，故C正确；D：如果，，，则无法判断α、β的位置关系，故D错误.故选：C.3. （2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（       ）A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解【答案】D【解析】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；故只有D满足题意；故选：D【题型五  根据命题的真假求参】必备技巧  根据命题的真假求参(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．例13　（2022·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，命题“，”是真命题.当时，则有，不合乎题意；当时，由，可得，则有，，当且仅当时，等号成立，所以，.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.例14　（河南省信阳市罗山县2021-2022学年高三上学期第一次调研考试数学（文）试题）设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C．(- D．(-【答案】B【解析】命题p：，x所以：，，由是真命题可得，，因为，当且仅当时，等号成立，所以，故选：B例15  （2021·山东临沂模拟）若，，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】，，则，由基本不等式可得，当且仅当即时，等号成立，所以，因此实数的取值范围是.故答案为：.【题型精练】1．（2022·湖北·江夏一中高三阶段练习）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________.【答案】【解析】当，有，则，，使得成立，等价于，，即，在上恒成立，参变分离可得：，当，，当时取等，所以，故答案为：.2. （2022·全国·高三专题练习）若命题p：“，”是真命题，则k的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知恒成立，所以，解得，故选：D3. （2022·广东·石门中学模拟预测）若“”为假命题，则实数a的取值范围为_____.【答案】【解析】因为“”为假命题，所以恒成立，即在恒成立，所以且，又因为在上是增函数，所以，所以.故答案为：.