2021-2022学年湖北省武汉市青山区高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市青山区高二（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市青山区高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．
1．（5分）已知直线l、m，平面α、β，l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（5分）设A是空间一定点，为空间内一非零向量，满足条件•＝0的点M构成的图形是（　　）
A．圆 B．直线 C．平面 D．线段
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，若A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，CD的中点，则A1B1与平面D1EF所成的角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知直线l与直线3x﹣2y＝6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为（　　）
A．15x﹣10y﹣6＝0 B．15x﹣10y+6＝0
C．6x﹣4y﹣3＝0 D．6x﹣4y+3＝0
6．（5分）经过点P（2，﹣3）作圆（x+1）2+y2＝25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（　　）
A．x﹣y﹣5＝0 B．x﹣y+5＝0 C．x+y+5＝0 D．x+y﹣5＝0
7．（5分）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（　　）
A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0.5 D．0.5，0.48
8．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2＝4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（　　）
A．﹣＝1 B．﹣x2＝1
C．y2﹣＝1 D．﹣＝1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．
（多选）9．（5分）经过点B（3，4），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（　　）
A．x﹣y+1＝0 B．x+y﹣7＝0 C．2x﹣y﹣2＝0 D．2x+y﹣10＝0
10．（5分）直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（　　）
A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1
（多选）11．（5分）抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D，则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（　　）
A．A与B是互斥事件但不是对立事件
B．A与C是互斥事件也是对立事件
C．A与D是互斥事件
D．C与D不是对立事件也不是互斥事件
（多选）12．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，若圆锥曲线E以A，B焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率可以是（　　）
A．+1 B． C． D．﹣1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．
13．（5分）设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中，正确结论的序号为　 　．
14．（5分）直线l过点A（2，1），且原点到直线l的距离为，则直线l方程是 　 　．
15．（5分）过椭圆＝1的一个焦点F1的弦AB与另一个焦点F2围成的△ABF2的周长是 　 　．
16．（5分）已知直线y＝与双曲线（a＞0，b＞0）交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．
17．（10分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
（1）求甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少；
（2）求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少．
18．（12分）已知直线方程为y+2＝k（x+1）．
（1）若直线的倾斜角为135°，求k的值；
（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：
（1）EF∥平面PCD；
（2）平面PAB⊥平面PCD．

20．（12分）已知定圆C：x2+（y﹣3）2＝4，过A（﹣1，0）的一条动直线l与圆C相交于P、Q两点，
（1）当l与定直线m：x+3y+6＝0垂直时，求出l与m的交点N的坐标，并证明l过圆心C；
（2）当|PQ|＝2时，求直线l的方程．
21．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA＝PB＝PC＝PD＝BC＝DA＝a，AB＝CD＝a，过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于点E．
（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；
（2）求AE与PC所成角的余弦值；
（3）求BD与平面EAC所成角的正弦值．

22．（12分）已知椭圆C：的离心率为，长轴长为2，F为椭圆的右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过点的直线m与椭圆C交于两点A1，A2，且以A1A2为直径的圆经过原点，求直线m的斜率；
（3）点M是以长轴为直径的圆O上一点，圆O在点M处的切线交直线x＝3于点N，求证：过点M且垂直于ON的直线l过定点．

2021-2022学年湖北省武汉市青山区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．
1．（5分）已知直线l、m，平面α、β，l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，l⊥m是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，②分析当l⊥m时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．
【解答】解：根据题意，分两步来判断：
①当α∥β时，
∵l⊥α，且α∥β，
∴l⊥β，又∵m⊂β，
∴l⊥m，
则α∥β是l⊥m的充分条件，
②若l⊥m，不一定α∥β，
当α∩β＝l时，又由l⊥α，则l⊥m，但此时α∥β不成立，
即α∥β是l⊥m的不必要条件，
则α∥β是l⊥m的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质．
2．（5分）设A是空间一定点，为空间内一非零向量，满足条件•＝0的点M构成的图形是（　　）
A．圆 B．直线 C．平面 D．线段
【分析】由 •＝0得 ⊥或 ＝，从而可判断M点在过A且以为法向量的平面上．
【解答】解：由 •＝0得 ⊥或 ＝，
∴M点在过A且以 为法向量的平面上．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查平面的法向量，属基础题．
3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，若A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
【分析】设，，，求得，再由空间向量基本定理得结论．
【解答】解：设，，，
则＝+＝+＝＝，
＝，
＝，
∵M、N∉平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C．
故选：B．

【点评】本题考查直线与平面位置关系的判定，训练了向量方法的应用，考查逻辑推理能力，是基础题．
4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，CD的中点，则A1B1与平面D1EF所成的角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由正方体的性质得EF⊥平面CDD1C1，从而平面D1EF⊥平面CDD1C1，作DH⊥D1F，则DH⊥平面D1EF，由A1B1∥CD，得∠DFH就是A1B1与平面D1EF所成的角，由此能求出A1B1与平面D1EF所成的角的正弦值．
【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴由正方体的性质得EF⊥平面CDD1C1，
∴平面D1EF⊥平面CDD1C1，
在平面CDD1C1内，作DH⊥D1F，则DH⊥平面D1EF，
∵A1B1∥CD，∴∠DFH就是A1B1与平面D1EF所成的角，
则A1B1与平面D1EF所成的角的正弦值为：
sin∠DFH＝＝＝．
故选：B．

【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5．（5分）已知直线l与直线3x﹣2y＝6平行，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为（　　）
A．15x﹣10y﹣6＝0 B．15x﹣10y+6＝0
C．6x﹣4y﹣3＝0 D．6x﹣4y+3＝0
【分析】设直线l的方程为3x﹣2y+c＝0，根据直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，可得﹣﹣＝1，求出c的值，再得到直线l的方程．
【解答】解：由直线l的斜率与直线3x﹣2y＝6的斜率相等，
设直线的方程为3x﹣2y+c＝0，
根据直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，
可得﹣﹣＝1，解得c＝﹣，
故直线l的方程为3x﹣2y﹣＝0，即15x﹣10y﹣6＝0，
故选：A．
【点评】本题主要考查两条直线平行的条件，直线在坐标轴上的截距，属于基础题．
6．（5分）经过点P（2，﹣3）作圆（x+1）2+y2＝25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（　　）
A．x﹣y﹣5＝0 B．x﹣y+5＝0 C．x+y+5＝0 D．x+y﹣5＝0
【分析】点P为弦AB的中点，可知直线AB与过圆心和点P的直线垂直，可求AB 的斜率，然后求出AB的直线方程．
【解答】解：点P为弦AB的中点，可知直线AB与过圆心和点P的直线垂直，
所以，圆心和点P的连线的斜率为：﹣1，
直线AB 的斜率为1，所以直线AB 的方程：y+3＝x﹣2，即x﹣y﹣5＝0
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的斜率，直线的点斜式方程，是基础题．
7．（5分）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（　　）
A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0.5 D．0.5，0.48
【分析】利用频率的计算公式能求出频率；利用概率的定义能求出概率．
【解答】解：在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，
发现正面朝上出现了48次，
那么出现正面朝上的频率为：＝0.48，
概率为0.5．
故选：C．
【点评】本题考查频率和概率的求法，考查频率计算公式、概率的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2＝4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（　　）
A．﹣＝1 B．﹣x2＝1
C．y2﹣＝1 D．﹣＝1
【分析】确定抛物线的焦点坐标和准线方程，双曲线的离心率，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为，可得FF1＝，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线的方程为x＝﹣1，
双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的e＝＝，
由P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与
到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为，
由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离为|PF|，
可得|PF|+|PF1|的最小值为，
当P，F，F1三点共线，可得最小值|FF1|＝＝，
即有c＝，
由c2＝a2+b2，
解得a＝2，b＝1，
即有双曲线的方程为﹣x2＝1．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．
（多选）9．（5分）经过点B（3，4），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（　　）
A．x﹣y+1＝0 B．x+y﹣7＝0 C．2x﹣y﹣2＝0 D．2x+y﹣10＝0
【分析】由题意可设方程为x+y＝m，或x﹣y＝m，代值计算即可．
【解答】解：与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则截距相等或互为相反数，
可设方程为x+y＝m，或x﹣y＝m，
将点（3，4）代入，可得m＝7或m＝﹣1，
故直线方程为x﹣y+1＝0或x+y﹣7＝0．
故选：AB．
【点评】本题考查了截距式方程，属于基础题．
10．（5分）直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（　　）
A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1
【分析】把圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r，根据直线与圆有两个不同交点得到直线与圆相交，即圆心到直线的距离d小于半径r，求出m的范围，即可作出判断．
【解答】解：圆方程整理得：（x﹣1）2+y2＝2，
∴圆心（1，0），半径r＝，
∵直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0有两个不同交点，
∴直线与圆相交，即d＜r，
∴＜，即|m+1|＜2，
解得：﹣3＜m＜1，
则直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x+1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1，
故选：A．
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆有两个不同的交点即为直线与圆相交．
（多选）11．（5分）抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D，则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（　　）
A．A与B是互斥事件但不是对立事件
B．A与C是互斥事件也是对立事件
C．A与D是互斥事件
D．C与D不是对立事件也不是互斥事件
【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
【解答】解：抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6“为事件A，“向上的点数是1，2“为事件B，
“向上的点数是1，2，3“为事件C，“向上的点数是1，2，3，4“为事件D，
在A中，A与B不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故A正确；
在B中，A与C是互斥事件，也是对立事件，故B正确；
在C中，A与D能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在D中，C与D能同时发生，不是对立事件也不是互斥事件，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，若圆锥曲线E以A，B焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率可以是（　　）
A．+1 B． C． D．﹣1
【分析】判断三角形的直角顶点，利用圆锥曲线的定义转化求解即可．
【解答】解：（ⅰ）△ABC为等腰直角三角形，如果C＝，圆锥曲线E为椭圆，e＝＝＝，
（ⅱ）△ABC为等腰直角三角形，如果C＝，A或B为直角，圆锥曲线E为椭圆，
e＝＝＝．
（ⅲ）△ABC为等腰直角三角形，如果C＝，A或B为直角，圆锥曲线为双曲线，e＝＝＝．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆锥曲线的应用，离心率的求法，考查计算能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．
13．（5分）设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中，正确结论的序号为　①②　．
【分析】由同垂直于同一平面的两直线平行，可判断①；由同垂直于同一直线的两平面平行，可判断②；考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断③．
【解答】解：α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，
对于①，若m⊥α，n⊥α，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得m∥n，故①正确；
对于②，若m⊥α，m⊥β，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得α∥β，故②正确；
对于③，若α⊥γ，β⊥γ，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断α、β相交，则α∥β不正确．
故答案为：①②．
【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直，考查空间想象能力与推理能力，属于基础题．
14．（5分）直线l过点A（2，1），且原点到直线l的距离为，则直线l方程是 　2x+y﹣5＝0　．
【分析】设方程为kx﹣y﹣2k+1＝0，由距离公式可得关于k的方程，解之可得k值，可得方程，注意验证直线无斜率时的情形．
【解答】解：当直线无斜率时，方程为x＝2，到原点的距离为2，不满足题意，
当直线有斜率时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1＝0，
由点到直线的距离公式可得＝，解之可得k＝﹣2，
故方程为﹣2x﹣y﹣2×（﹣2）+1＝0，化为一般式可得2x+y﹣5＝0．
故答案为：2x+y﹣5＝0．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，涉及直线方程的求解，属基础题．
15．（5分）过椭圆＝1的一个焦点F1的弦AB与另一个焦点F2围成的△ABF2的周长是 　8　．
【分析】由椭圆的方程知，长半轴a＝2，利用椭圆的定义知，△ABF2的周长为4a，从而可得答案．
【解答】解：∵椭圆的方程为＝1，
∴a＝2，又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，
则△ABF2的周长l＝|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝2a+2a＝4a＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考椭圆的简单性质，着重考查椭圆定义的应用，属于基础题．
16．（5分）已知直线y＝与双曲线（a＞0，b＞0）交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是　（）　．
【分析】由直线y＝与双曲线（a＞0，b＞0）交于两点，推导出4b2＞a2，由此能够推导出离心率的取值范围．
【解答】解：把直线y＝代入双曲线（a＞0，b＞0），
并整理，得，
∵直线y＝与双曲线（a＞0，b＞0）交于两点，
∴4b2＞a2，即b2＞，
∴c2＝a2+b2＞a2+＝，
∴c＞，
∴e＝＞．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意一元二次方程的解的个数的应用．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．
17．（10分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
（1）求甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少；
（2）求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少．
【分析】5个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有20种情况，把3个选择题记为x1、x2、x3，2个判断题记为p1、p2．
（1）求出“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况，和“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况，根据概率公式计算即可；
（2）求出“甲、乙都抽到判断题”的情况，根据互斥事件的概率公式计算即可．
【解答】解：5个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有20种情况，
把3个选择题记为x1、x2、x3，2个判断题记为p1、p2．“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：
（x1，p1），（x1，p2），（x2，p1），（x2，p2），（x3，p1），（x2，p2），共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：（p1，x1），（p1，x2），（p1，x3），（p2，x1），（p2，x2），（p2，x3），共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：（x1，x2），（x1，x3），（x2，x1），（x2，x3），（x3，x1），（x3，x2），共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：（p1，p2），（p2，p1），共2种，
（1）“甲抽到选择题，乙轴到判断题”的概率为＝，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为+＝．
（2）“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1﹣＝．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是不重不漏的列举满足条件的基本事件，属于基础题．
18．（12分）已知直线方程为y+2＝k（x+1）．
（1）若直线的倾斜角为135°，求k的值；
（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
【分析】（1）直根据线的倾斜角求出斜率；
（2）求出直线与x轴、y轴交点坐标，写出△AOB的面积，利用基本不等式求出面积的最小值，以及对应直线l的方程．
【解答】解：（1）直线方程为y+2＝k（x+1），
若直线的倾斜角为135°，则斜率k＝tan135°＝﹣1；
（2）令x＝0，得y＝k﹣2，
令y＝0，得x＝﹣1，
则，解得k＜0，
所以直线与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，k﹣2），
所以△AOB的面积为S△AOB＝•|OA|•|OB|＝•|﹣1|•|k﹣2|＝（﹣k++4）≥（2+4）＝2+2＝4，
当且仅当﹣k＝，即k＝﹣2时取等号，
所以△AOB面积的最小值为4，
此时直线l的方程为y+2＝﹣2（x+1），即2x+y+4＝0．
【点评】本题考查了直线的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：
（1）EF∥平面PCD；
（2）平面PAB⊥平面PCD．

【分析】（1）取PC中点G，连接DG、FG．由三角形中位线定理可得GF∥BC，GF＝BC．再由已知得到DE∥BC，DE＝BC，可得GF∥DE，GF＝DE，则四边形DEFG为平行四边形，得到EF∥DG．由直线与平面平行的判定可得EF∥平面PCD；
（2）由底面ABCD为矩形，得CD⊥AD．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得CD⊥平面PAD．得到CD⊥PA．进一步得到PA⊥平面PCD．从而可得平面PAB⊥平面PCD．
【解答】证明：（1）取PC中点G，连接DG、FG．
在△PBC中，∵F，G分别为PB，PC的中点，∴GF∥BC，GF＝BC．
∵底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴GF∥DE，GF＝DE，则四边形DEFG为平行四边形，
∴EF∥DG．
又∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，
EF∥平面PCD；
（2）∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD．
∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．
又∵PA⊥PD，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，∴PA⊥平面PCD．
∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．
【点评】本题考查空间中直线与平面平行，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
20．（12分）已知定圆C：x2+（y﹣3）2＝4，过A（﹣1，0）的一条动直线l与圆C相交于P、Q两点，
（1）当l与定直线m：x+3y+6＝0垂直时，求出l与m的交点N的坐标，并证明l过圆心C；
（2）当|PQ|＝2时，求直线l的方程．
【分析】（1）根据题意可设直线l的方程为3x﹣y+n＝0，将点A的坐标代入直线l的方程，可求得n的值，再将直线l、m的方程联立，可得出这两条直线的交点N的坐标，将圆心C的坐标代入直线l的方程可证得结论成立；
（2）利用勾股定理可求得圆心C到直线l的距离，对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，即可得出直线l的方程．
【解答】解：（1）当直线l与定直线m：x+3y+6＝0垂直时，可设直线l的方程为3x﹣y+n＝0，
将点A的坐标代入直线l的方程可得n﹣3＝0，则n＝3，
此时，直线l的方程为3x﹣y+3＝0，
联立可得，即点，
圆心C的坐标为（0，3），因为3×0﹣3+3＝0，故直线l过圆心C．
（2）设圆心C到直线l的距离为d，则．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，此时圆心C到直线l的距离为1，合乎题意；
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，
由题意可得，解得，此时直线l的方程为，即4x﹣3y+4＝0．
综上所述，直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长公式等知识，属于中等题．
21．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA＝PB＝PC＝PD＝BC＝DA＝a，AB＝CD＝a，过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于点E．
（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；
（2）求AE与PC所成角的余弦值；
（3）求BD与平面EAC所成角的正弦值．

【分析】（1）设AC∩BD＝O，则O为AC，BD的中点，连接PO，OE，推导出PO⊥AC，PO⊥BD，从而PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，DA为x轴，AB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D的余弦值；
（2）求出，，利用向量法能求出AE与PC所成角的余弦值；
（3）求出，利用向量法能求出BD与平面EAC所成角的正弦值．
【解答】解：（1）设AC∩BD＝O，则O为AC，BD的中点，连接PO，OE，
∵PB∥平面AEC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面AEC＝OE，则OE∥PB，
∵O为BD中点，∴E为PD中点，
∵PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，同理可证PO⊥BD，
∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD，
∵AB＝，BC＝a，∴AO＝＝＝a，∴PO＝＝，
以O为坐标原点，DA为x轴，AB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

A（，﹣），B（），C（﹣，），D（﹣），P（0，0，），E（﹣，﹣），
＝（﹣a，﹣a，0），＝（﹣，），
设平面AEC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝，得＝（），
平面ACD的法向量＝（0，0，1），
设二面角E﹣AC﹣D的平面角为θ，
则二面角E﹣AC﹣D的余弦值cosθ＝＝；
（2）＝（﹣），＝（﹣），
cos＜＞＝＝＝，
∴AE与PC所成角的余弦值为；
（3）＝（﹣a，﹣，0），
cos＜，＞＝＝＝﹣，
∴BD与平面EAC所成角的正弦值为．

【点评】本题考查空间角的运算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22．（12分）已知椭圆C：的离心率为，长轴长为2，F为椭圆的右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过点的直线m与椭圆C交于两点A1，A2，且以A1A2为直径的圆经过原点，求直线m的斜率；
（3）点M是以长轴为直径的圆O上一点，圆O在点M处的切线交直线x＝3于点N，求证：过点M且垂直于ON的直线l过定点．
【分析】（1）由题意中离心率和长轴长可求出a，b，c，即可求出椭圆方程；
（2）设出A1与A2的坐标即直线m的方程，把直线m与椭圆方程进行联立写出韦达定理，由题意以A1A2为直径的圆经过原点可得，化简即可求出直线m的斜率；
（3）由题意可知圆O的方程，设N和M点坐标，由|ON|2＝3+|MN|2和直线MN的方程的化简，即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可知，，则，
椭圆的离心率，c＝1，b2＝a2﹣c2＝2，
所以椭圆C：；
（2）由题意可知，直线m的斜率存在且不为0，设直线m的方程为：，
设A1（x1，y1），A2（x2，y2），
联立方程组，消去y，整理得，
所以，，所以，
由以A1A2为直径的圆经过原点，所以，即x1x2+y1y2＝0，
所以，解得k＝±2，
经检验，满足Δ＞0，所以k＝±2；
（3）证明：由题意可得圆O的方程：x2+y2＝3，设N（3，t），M（x0，y0），且，
由|ON|2＝3+|MN|2，所以，
所以，所以3x0+ty0﹣3＝0，①
当t＝0时，x0＝1，直线l的方程为x＝1，
直线l过椭圆C的右焦点F（1，0），
当t≠0时，直线MN的斜率为且过（x0，y0），
所以，因此ty﹣ty0＝﹣3x+3x0，②
将①代入②中可得，ty＝﹣3（x﹣1），故直线l过椭圆C的右焦点F（1，0），
综上所述，直线l过椭圆C的右焦点F（1，0）．
【点评】本题考查题意的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线恒过定点问题，向量的坐标运算，考查转化思想，计算能力，属于难题．
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