专题22 不等式选讲-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编（全国通用版）（原卷版+解析版）

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2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题22 不等式选讲
一、解答题
1．(2022年全国甲卷理科·第23题)已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则．
【答案】(1)见解析： (2)见解析：
解析：(1)证明：由柯西不等式有，
所以，当且仅当时，取等号，所以；
(2)证明：因为，，，，由(1)得，
即，所以，
由权方和不等式知，
当且仅当，即，时取等号，
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第23题
2．(2022年全国乙卷理科·第23题)已知a，b，c都是正数，且，证明：
(1)；
(2)；

【答案】解析：证明：因为，，，则，，，
所以，
即，所以，当且仅当，即时取等号．
小问2详解】
证明：因为，，，
所以，，，
所以，，

当且仅当时取等号．

【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第23题
3．(2021年高考全国甲卷理科·第23题)已知函数．

(1)画出和的图像；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)图像见解析；(2)
解析：(1)可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

(2)，
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或(舍去)，
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值函数的图像及其应用
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第23题
4．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数．
(1)当时，求不等式的解集;
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)．(2)．
解析：(1)当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，故或，
所以的解集为．

(2)依题意，即恒成立，
，故，
所以或，
解得．
所以的取值范围是．
【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．


【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第23题
5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数．
(1)画出的图像；

(2)求不等式的解集．
【答案】(1)详解解析；(2)．
【解析】(1)因为，作出图象，如图所示：
(2)将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．
所以不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．


【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题
6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)或；(2)．
解析：(1)当时，．
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或．
(2)(当且仅当时取等号)，
，解得：或，
的取值范围为．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．

【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
7．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
(1)证明：ab+bc+ca1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将化为分段函数，求出与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于的不等式，即可解出的取值范围．
解析：(Ⅰ)当a=1时，不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，
等价于或或，解得，
所以不等式f(x)>1的解集为．
(Ⅱ)由题设可得，，
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，所以△ABC的面积为．
由题设得＞6，解得．
所以的取值范围为(2，+∞)．
考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第24题
22．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．
设函数=
(Ⅰ)证明：2；
(Ⅱ)若，求的取值范围．
【答案】解析：(Ⅰ)，
仅当时等号成立，所以2．
(Ⅱ)=
当时，=，解得
当时，=，解得
综上所述，的取值范围为．
考点：(1)三角不等式的运用(2)分类讨论的思想
难度：B
备注：高频考点





【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2014高考数学课标2理科·第24题
23．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
若,且．
(1)求的最小值;
(2)是否存在,使得，并说明理由．
【答案】解析:(1)由,得,且当时等号成立,
故,且当时等号成立,
∴的最小值为．
(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾,
所以不存在,使得成立．
考点:(1)证明不等式的基本方法;(2)反证法的应用
难度:B
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\均值不等式与柯西不等式
【题目来源】2014高考数学课标1理科·第24题
24．(2013高考数学新课标2理科·第24题)设均为正数，且，证明：
(Ⅰ)；(Ⅱ)
【答案】证明：(1)由得
.
由题设得，
即.
所以，即.
(2)因为，
故，
即.
所以.
考点：(1)7.1.1不等式的性质；(2)7.1.3不等式性质的应用；(3)7.3.1利用基本不等式证明简单不等式
难度：C
备注：高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第24题
25．(2013高考数学新课标1理科·第24题)选修4—5：不等式选讲
已知函数=,=．
(Ⅰ)当=2时，求不等式＜的解集；
(Ⅱ)设＞-1,且当∈[，)时，≤,求的取值范围．
【答案】(1)　　(2)(-1，]．
解析：当=-2时，不等式＜化为，
设函数=，=，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是．


(Ⅱ)当∈[，)时，=，不等式≤化为，
∴对∈[，)都成立，故，即≤，
∴的取值范围为(-1，]．
考点：(1)12．3．1含绝对值不等式的解法；(2)12．3．3含绝对值的恒成立问题．
难度：Ｂ
备注：高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第24题

一、解答题
1．(2022年全国甲卷理科·第23题)已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则．
【答案】(1)见解析： (2)见解析：
解析：(1)证明：由柯西不等式有，
所以，当且仅当时，取等号，所以；
(2)证明：因为，，，，由(1)得，
即，所以，
由权方和不等式知，
当且仅当，即，时取等号，
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2022年全国甲卷理科·第23题
2．(2022年全国乙卷理科·第23题)已知a，b，c都是正数，且，证明：
(1)；
(2)；

【答案】解析：证明：因为，，，则，，，
所以，
即，所以，当且仅当，即时取等号．
小问2详解】
证明：因为，，，
所以，，，
所以，，

当且仅当时取等号．

【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第23题
3．(2021年高考全国甲卷理科·第23题)已知函数．

(1)画出和的图像；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)图像见解析；(2)
解析：(1)可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

(2)，
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或(舍去)，
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值函数的图像及其应用
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第23题
4．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数．
(1)当时，求不等式的解集;
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)．(2)．
解析：(1)当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，故或，
所以的解集为．

(2)依题意，即恒成立，
，故，
所以或，
解得．
所以的取值范围是．
【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．


【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第23题
5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数．
(1)画出的图像；

(2)求不等式的解集．
【答案】(1)详解解析；(2)．
【解析】(1)因为，作出图象，如图所示：
(2)将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．
所以不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．


【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第23题
6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)或；(2)．
解析：(1)当时，．
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或．
(2)(当且仅当时取等号)，
，解得：或，
的取值范围为．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．

【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题
7．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
(1)证明：ab+bc+ca1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将化为分段函数，求出与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于的不等式，即可解出的取值范围．
解析：(Ⅰ)当a=1时，不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，
等价于或或，解得，
所以不等式f(x)>1的解集为．
(Ⅱ)由题设可得，，
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，所以△ABC的面积为．
由题设得＞6，解得．
所以的取值范围为(2，+∞)．
考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第24题
22．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．
设函数=
(Ⅰ)证明：2；
(Ⅱ)若，求的取值范围．
【答案】解析：(Ⅰ)，
仅当时等号成立，所以2．
(Ⅱ)=
当时，=，解得
当时，=，解得
综上所述，的取值范围为．
考点：(1)三角不等式的运用(2)分类讨论的思想
难度：B
备注：高频考点





【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值的成立问题
【题目来源】2014高考数学课标2理科·第24题
23．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲
若,且．
(1)求的最小值;
(2)是否存在,使得，并说明理由．
【答案】解析:(1)由,得,且当时等号成立,
故,且当时等号成立,
∴的最小值为．
(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾,
所以不存在,使得成立．
考点:(1)证明不等式的基本方法;(2)反证法的应用
难度:B
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\均值不等式与柯西不等式
【题目来源】2014高考数学课标1理科·第24题
24．(2013高考数学新课标2理科·第24题)设均为正数，且，证明：
(Ⅰ)；(Ⅱ)
【答案】证明：(1)由得
.
由题设得，
即.
所以，即.
(2)因为，
故，
即.
所以.
考点：(1)7.1.1不等式的性质；(2)7.1.3不等式性质的应用；(3)7.3.1利用基本不等式证明简单不等式
难度：C
备注：高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\不等式的证明
【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第24题
25．(2013高考数学新课标1理科·第24题)选修4—5：不等式选讲
已知函数=,=．
(Ⅰ)当=2时，求不等式＜的解集；
(Ⅱ)设＞-1,且当∈[，)时，≤,求的取值范围．
【答案】(1)　　(2)(-1，]．
解析：当=-2时，不等式＜化为，
设函数=，=，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是．


(Ⅱ)当∈[，)时，=，不等式≤化为，
∴对∈[，)都成立，故，即≤，
∴的取值范围为(-1，]．
考点：(1)12．3．1含绝对值不等式的解法；(2)12．3．3含绝对值的恒成立问题．
难度：Ｂ
备注：高频考点
【题目栏目】选修部分\不等式选讲\含绝对值不等式的解法
【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第24题