《高考总复习》数学 第二章 第17讲 导数与函数的极值、最值[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第二章 第17讲 导数与函数的极值、最值[配套课件]，共39页。PPT课件主要包含了题组一，走出误区，图2-17-1，fx的最小值点，处切线的斜率大于零，题组二，走进教材，A1－e，B－1，C－e等内容，欢迎下载使用。

利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤
(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 y＝f(x)并确定定义域；
(2)求导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0；
(3)判断使 f′(x)＝0 的点是极大值点还是极小值点；
(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答，
即获得优化问题的答案.
1.(多选题)函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图 2-17-1
所示，以下命题错误的是(
A.－3 是函数 y＝f(x)的极值点B.－1 是函数 y＝f(x)的最小值点
C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D.y＝f(x)在 x＝0 处切线的斜率小于零
解析：根据导函数的图象可知当 x ∈( － ∞ ，－ 3) 时 ，
f′(x)<0，在 x∈(－3，1)时，f′(x)≥0，
∴函数 y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，函数 y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，则－3 是函数 y＝f(x)的极值点，∵函数 y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，则－1 不是函数 y＝
∵函数 y＝f(x)在 x＝0 处的导数大于 0，则 y＝f(x)在 x＝0
所以命题错误的选项为 BD.答案：BD
x＝________时，f(x)有极大值，极大值为________.解析：f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，当 x<－2 时，f(x)单调递增；当－22 时，f(x)单调递增.
所以当 x＝－2 时，f(x)有极大值，极大值为 f(－2)＝
3.(选修 2－2P32A 组第 6 题改编)函数 f(x)＝ln x－x 在区间
(0，e]上的最大值为(
当 x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以当 x＝1 时，f(x)取得最大值 ln 1－1＝－1.故选 B.答案：B
4.(2016 年四川)已知 a 是函数 f(x)＝x3－12x 的极小值点，
解析：f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令 f′(x)＝0，得x＝－2，或 x＝2.易得 f(x)在(－2，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.故 f(x)极小值为 f(2)，由已知，得 a＝2.故选 D.答案：D
极值点，则 f(x)的极小值为(
A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1
解析：由题可得 f′(x) ＝(2x ＋a)ex － 1 ＋(x2 ＋ax －1)ex － 1 ＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1令 f′(x)>0，解得 x<－2 或 x>1，所以 f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)单调递增，在(－2，1)单调递减所以 f(x)极小值为 f(1)＝(1－1－1)e1－1＝－1，故选 A.答案：A
5.(2017年全国Ⅱ)若 x＝－2是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的
因为 f′(－2)＝0，所以 a＝－1，f(x)＝(x2－x－1)ex－1，故
1.(多选题)如图 2-17-2 是函数 y＝f(x)导函数 y＝f′(x)的图
象，下列选项中正确的是(
A.在 x2 处导函数 y＝f′(x)有极大值B.在 x1，x4 处导函数 f′(x)有极小值C.在 x3 处函数 f(x)有极大值
D.在 x5 处函数 f(x)有极小值
解析：根据导函数 f′(x)的图象可知：x1，x4 的两侧 f′(x)左减右增，所以在 x1，x4 处导函数 y＝f′(x)有极小值；x2 的两侧 f′(x)左增右减，所以在 x2 处导函数 y＝f′(x)有极大值.根据导函数 f′(x)的图象可知：x3 的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在 x3 处函数 y＝f(x)有极大值.x5 的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在 x5 处函数 y＝f(x)有极小值.而x1，x2，x4 左右两侧导函数符号相同，原函数 f(x)不取得极值.
故选 ABCD.答案：ABCD
2.(2020 年广东湛江二模)函数 f(x)＝ax3－6x 的一个极值点
为 1，则 f(x)的极大值是(
解析：f(x)＝ax3－6x，可得 f′(x)＝3ax2－6，f(x)＝ax3－6x的一个极值点为 1，所以 3a－6＝0，解得 a＝2，因为 f′(x)＝6(x－1)(x＋1)，所以 f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数，所以 x＝－1 时，函数取得极大值：f(－1)＝4.故选 C.答案：C
(1) 若 x ＝1 是 f(x) 的极大值点，则实数 a 的取值范围为________；(3)若 f(x)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是________.
①若 a≥0，当 00，f(x)单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴x＝1 是 f(x)的极大值点.
∵x＝1 是 f(x)的极大值点，
综合①②，得实数 a 的取值范围是 a>－1.
(2)由 f′(1)＝0，得 b＝1－a，从而 b＝－2，∴a－b＝5.(3)f′(x)＝0 有两正根，即 ax2＋(1－a)x－1＝0 有两正根，
∴实数 a 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，0).
(2)5 (3)(－∞，－1)∪(－1，0)
【规律方法】(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数 f(x)的定义域；
②求 f′(x)，令 f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；③把函数 f(x)的间断点[即 f(x)的无定义点]的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
④确定 f′(x)在各个开区间内的符号，根据 f′(x)的符号判
定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性.
(2)可导函数极值存在的条件：
①可导函数的极值点 x0 一定满足 f′(x0)＝0，但当 f′(x1)＝0 时，x1 不一定是极值点.如 f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x＝0 不是极值点；
②可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)
＝0，且在 x0 左侧与右侧 f′(x)的符号不同.
[例 1] (2020 年北京)已知函数 f(x)＝12－x2.(1)求曲线 y＝f(x)的斜率等于－2 的切线方程；(2)设曲线 y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t)，求 S(t)的最小值.解：(1)因为 f(x)＝12－x2，所以 f′(x)＝－2x，设切点为(x0，12－x0)，则－2x0＝－2，即 x0＝1，所以切点为(1，11)，
由点斜式可得切线方程：y－11＝－2(x－1)，即 2x＋y－13＝0.(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t，12－t2)处的切线方程为：y－(12－t2)＝－2t(x－t)，
不妨设 t>0(t<0 时，结果一样)，
由 S′(t)>0，得 t>2，由 S′(t)<0，得 0也是最小值为 S(2)＝
【题后反思】求函数 f(x)在[a，b]上的最大值、最小值的步
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)；
(3)将函数 f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大
【考法全练】(全国百所名校大联考)已知函数 f(x)＝2xcs x.(1)求函数 g(x)＝2sin x＋x2－f(x)的最值；
解：(1)g(x)＝2sin x＋x2－2xcs x 定义域为 R，g′(x)＝2cs x＋2x－2cs x＋2xsin x＝2x(1＋sin x)，∵1＋sin x≥0，∴x>0 时，g′(x)≥0；x<0 时，g′(x)≤0，∴g(x)的单调减区间为(－∞，0)，单调增区间为(0，＋∞)，∴g(x)有最小值 g(0)＝0，没有最大值.
∴h′(x)＝m(x)≤m(0)＝0，∴h(x)在[0，1]上是减函数，
考点 3 利用导数解决生活中的优化问题
[例 2]请你设计一个包装盒.如图 2-17-3 所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x cm.图 2-17-3
(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(单位：cm2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积 V(单位：cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解：设包装盒的高为 h(单位：cm)，底面边长为 a(单位：cm)，由已知得
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当 x＝15 时，S 取得最大值.
由 V′＝0 得 x＝0(舍去)或 x＝20.
当 x∈(0，20)时，V′>0；当 x∈(20，30)时，V′<0.所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值.
【题后反思】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求f′(x)>0 和 f′(x)<0 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.
【考法全练】用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的
解析：设四角截去的小正方形边长为 x cm，则 V＝(48－2x)2x＝4x3－4×48x2＋482x(0V′＝12x2－8×48x＋482＝12(x2－8×4x＋48×4)＝12(x－
当 00；当 8⊙运用分类讨论思想讨论函数中的参数问题
(2)令 F(x)＝f(x)＋g(x)，试讨论函数 y＝F(x)极值点的个数.解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝(x－1)cs x－sin x，∴f′(x)＝(－x＋1)sin x，
(2)F(x)＝f(x)＋g(x)，F′(x)＝f′(x)＋g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，令 h(x)＝x－sin x，则 h′(x)＝1－cs x≥0，所以 h(x)＝x－sin x 在(－∞，＋∞)上为增函数，又 h(0)＝0，
所以当 x>0 时，h(x)＝x－sin x>0，当 x<0 时，h(x)＝x－sin x<0.①若 a>0 时，
当 x<0 时，F′(x)>0 恒成立，故 F(x)在(－∞，0)上单调递
当 x>a 时，F′(x)>0 恒成立，故 F(x)在(a，＋∞)上单调递
当 0当 x>0 时，F′(x)>0 恒成立，故 F(x)在(0，＋∞)上单调递
当 x0 恒成立，故 F(x)在(－∞，a)上单调递
当 a③当 a＝0 时，F′(x)＝x(x－sin x)，
∴F(x)在 R 上单调递增，无极值点.
当 x>1 时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当 0单调递增.由题意 f(f(x0))＝x0，
若 f(x0)>x0，则 f(f(x0))>f(x0)>x0 与条件不符，所以 f(x0)>x0不成立；若 f(x0)分别画出 y＝－m 与 y＝g(x)的图象，如图 D17 所示：