高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念优秀课后作业题

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5．2．2 同角三角函数的基本关系
【知识点梳理】
知识点一：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
知识点诠释：
（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；
（2）是的简写；
（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．
知识点二：同角三角函数基本关系式的变形
1、平方关系式的变形：
，，
2、商数关系式的变形
，．
【方法技巧与总结】
（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值．
①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；
②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；
③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解．
求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取．
（2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的．
（3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）．
【题型归纳目录】
题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题
题型三：与关系的应用
题型四：利用同角关系化简三角函数式
题型五：利用同角关系证明三角恒等式

【典型例题】
题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
例1．（2022·全国·高一课时练习）已知是第二象限角，，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】任意角的三角函数
∵，∴，
，是第二象限角∴.
故选：A
例2．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边在直线上，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设知：，即，且，
所以，而终边在第二或四象限，
所以.
故选：C
例3．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得．又，所以，．结合得，，所以．
故选：B．
变式1．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且，所以，
．
故选：C．
变式2．（2022·河南·新乡市第一中学高一阶段练习）（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为，所以，所以.
故选：B
变式3．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知，且，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，则，
故选：D
变式4．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，.
故选：D
变式5．（2022·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，∴或，
因为，，所以.
由及得，∴，
所以．
故选：A
【方法技巧与总结】
利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：
（1）巧用“1”进行变形，如等．
（2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．
题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题
例4．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故选：C．
例5．（2022·全国·高一课时练习）若，则的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以

.
故选：A
例6．（2022·全国·高一课时练习）已知，则＝（    ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【解析】因为
所以




故选：A
变式6．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习）若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于函数，
令，解得，所以，所以函数恒过定点，
又点在角的终边上，所以，
所以；
故选：A
变式7．（2022·云南德宏·高一期末）若，则（    ）
A． B．-3 C． D．3
【答案】B
【解析】由，
故选：B
变式8．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
故
故选:C.
变式9．（2022·陕西汉中·高一期中）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得．
故选：C.
变式10．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知，则（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】．
故选：B．
【方法技巧与总结】
①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值；
②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值．
题型三：与关系的应用
例7．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则______．
【答案】
【解析】，解得.
因为，，所以.
所以，
又，所以．
故答案为：
例8．（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．
【答案】
【解析】因为，平方得，所以，
所以．
故答案为：
例9．（2022·上海南汇中学高一阶段练习）已知，则的值为_____．
【答案】【解析】因，则，即，
而，，于是有，
所以.
故答案为：
变式11．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
由，得，
所以，
故答案为：
变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知，则sin αcos α的值为_____．
【答案】
【解析】，两边平方得：，即，解得：.
故答案为：
变式13．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期中）已知，则_________．
【答案】
【解析】由题意得，
所以，
所以
因为，所以，
所以，又，
解得，
所以.
故答案为：
变式14．（2022·浙江省桐庐中学高一阶段练习）已知，，则 __________ .
【答案】
【解析】因为，所以，即，
因为，
所以，
所以.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
三角函数求值中常见的变形公式
（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；.
（2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号．
题型四：利用同角关系化简三角函数式
例10．（2022·江苏·高一）若0