23版新高考一轮分层练案(十三)　开普勒行星运动定律和万有引力定律

一轮分层练案(十三)　开普勒行星运动定律和万有引力定律

1．火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)

A．0.2　　　　　　　　　　 B．0.4

C．2.0  D．2.5

【答案】B　由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小F地＝；质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小F火＝。二者的比值＝＝0.4，B正确，A、C、D错误。

2．(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有(　　)

A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍

B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍

C．由F＝可知，甲的向心力是乙的

D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍

【答案】CD　两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由＝可得v＝ ，则乙的速度是甲的倍，选项A错误；由ma＝可得a＝，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误；由F＝结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2倍，选项D正确。

3．中国月球探测工程首席科学家欧阳自远在第22届国际天文馆学会大会上透露，我国即将开展深空探测，计划将在2020年实现火星的着陆巡视，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出飞行N圈所用时间为t，已知地球质量为M，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。仅利用以上数据，可以计算出的物理量有(　　)

A．火星的质量

B．火星的密度

C．火星探测器的质量

D．火星表面的重力加速度

【答案】B　由题意可知火星探测器绕火星表面运行的周期T＝，由GM＝gR2和G＝m2r，可得火星的质量为M火＝，由于火星半径未知，所以火星质量不可求，故选项A错误；由M火＝ρ·πr3及火星质量表达式可得ρ＝，则密度可求出，故选项B正确；天体运动问题中，在一定条件下只能计算出中心天体的质量(本题中无法求出)，不能计算出环绕天体的质量，故选项C错误；根据g火＝a＝2r＝，由于火星半径未知，所以火星表面重力加速度不可求，故选项D错误。

4．人造地球卫星的轨道示意图如图所示，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道。已知地球的半径R＝6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)(　　)

A．3 h  B．8 h

C．15 h  D．20 h

【答案】A　根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R2＝42 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1。地球同步卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三定律可知，＝，解得T1＝3 h，选项A正确。

5．据报道科学家们在火星上发现了第一个液态水湖，这表明火星上很可能存在生命。假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周所用的时间为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为(　　)

A.  B.

C.  D.

【答案】A　绕地球表面运动的天体由牛顿第二定律可知

G＝mg，同理，对绕火星表面运动的天体，有＝m2R1，结合两个公式可解得M火＝，故A正确。

6．我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　)

A．m  B．m

C．m  D．m

【答案】B　由G＝mg，解得火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比＝＝0.4，即火星表面的重力加速度g火＝0.4g。着陆器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由v0－at0＝0可得a＝。由牛顿第二定律有F－mg火＝ma，解得F＝m(0.4g＋)，选项B正确。

7.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项图所示的四个F随x的变化关系图像正确的是(　　)

【答案】A　令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有g＝。由于地球的质量为M＝πR3·ρ，所以重力加速度的表达式可写成g＝。根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力，g′＝r，当r<R时，g与r成正比；当r>R时，g与r平方成反比。即质量一定的小物体受到的引力大小F在地球内部与r成正比，在外部与r的平方成反比。故A正确。

8．(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则(　　)

A．g′∶g＝1∶5  B．g′∶g＝5∶2

C．M星∶M地＝1∶20  D．M星∶M地＝1∶80

【答案】AD　由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t＝，因此得＝＝，选项A正确，选项B错误；由G＝mg得M＝，因而＝＝×2＝，选项C错误，选项D正确。

9．科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星进行考察。一质量为m的物体，假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得的读数为F1，在火星赤道上宇航员用同一个弹簧测力计测得的读数为F2，通过天文观测测得火星的自转角速度为ω，引力常量为G，将火星看成是质量分布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为(　　)

A.，  B.，

C.，  D.，

【答案】A　在火星的两极，宇航员用弹簧测力计测得的读数F1等于万有引力，即G＝F1，在火星的赤道上，物体受到的万有引力减去重力等于向心力，有G－F2＝mω2R，联立解得R＝，又M＝πR3ρ，解得ρ＝，选项A正确，选项B、C、D错误。

10．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为(　　)

A.  B.

C.  D.

【答案】C　设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有g＝G。由于地球的质量M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝＝＝πGρR。根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝。根据万有引力提供向心力G＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误。

11．20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动，已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是(　　)

A.，  B.，

C.，  D.，

【答案】D　根据牛顿第二定律可知F＝ma＝m，所以飞船质量m＝。飞船做圆周运动的周期T＝，得半径r＝，根据万有引力提供向心力可得G＝m，得星球质量M＝＝，故选项D正确。

12．(多选)“雪龙号”极地考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是G1；在南极附近测得该物体的重力为G2。已知地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量分布均匀的球体，且海水的密度和船的总质量均不变，忽略其他星体对考察船及该物体的影响，由此可知(　　)

A．“雪龙号”考察船在南极时的吃水深度与在赤道时相同

B．“雪龙号”考察船在南极时的吃水深度比在赤道时大

C．地球的密度为

D．当地球的自转周期为T时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力

【答案】ACD　“雪龙号”考察船航行时，竖直方向上有mg＝F浮＝ρ液gV排，故m＝ρ液V排，因海水的密度和船的总质量均不变，故“雪龙号”考察船航行时排水量不变，即在南极时的吃水深度与在赤道时相同，A正确，B错误；设地球的质量为M，半径为R，被测物体的质量为m，被测物体在赤道上时，G＝G1＋mR，被测物体在南极附近时，G＝G2，地球的体积V′＝πR3，地球的密度ρ′＝，联立解得ρ′＝，C正确；当放在地球赤道地面上的被测物体不再对地面有压力时，有G2＝mR，联立解得T′＝T，D正确。

13.开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图所示，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T。月球的半径为R，引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求：

(1)月球的密度；

(2)在轨道Ⅱ上运行的时间。

解析：(1)由万有引力充当向心力得G＝m2r，

解得M＝

月球的密度ρ＝，解得ρ＝。

(2)椭圆轨道的半长轴a＝，

设嫦娥三号在椭圆轨道上运行周期为T1，

由开普勒第三定律，有＝，

嫦娥三号在轨道Ⅱ上运行的时间t＝，

解得t＝ 。

【答案】(1)　(2)