高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质第2课时教学设计

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第2课时　单调性与最值 学 习 目 标核 心 素 养1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养.2.结合函数图象，培养直观想象素养. 解析式y＝sin xy＝cos x图象值域[－1,1][－1,1]单调性在＋2kπ，k∈Z上单调递增，在＋2kπ，k∈Z上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减最值x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.1．函数y＝－cos x在区间上是(　　)A．增函数　　　 B．减函数C．先减后增函数   D．先增后减函数C　[因为y＝cos x在区间上先增后减，所以y＝－cos x在区间上先减后增．]2．函数y＝sin x的值域为________．　[因为≤x≤，所以≤sin x≤1，即所求的值域为.]3．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为________．　[当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，此时x＝2kπ－，k∈Z.]4．若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是________．[0,2]　[因为－1≤cos x≤1，要使cos x＝m－1有意义，须有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.]正弦函数、余弦函数的单调性【例1】　(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．[思路点拨]　(1)确定a的范围→y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．(2)确定增区间→令u＝＋2x→y＝sin u的单调递增区间．(1)(－π，0]　[(1)因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．](2)[解]　令u＝＋2x，函数y＝sin u的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．1．(1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为________．(2)已知函数y＝cos，则它的单调减区间为________．(1)，　(2)(k∈Z)　[(1)由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)．又x∈，所以函数y＝sin，x∈的单调递减区间为－，－，，.(2)y＝cos＝cos，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴单调递减区间是(k∈Z)．]利用三角函数的单调性比较大小【例2】　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin与sin；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos与cos.[思路点拨]　→[解]　(1)∵－＜－＜－＜，∴sin＞sin.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin 16°＜sin 66°，从而－sin 16°＞－sin 66°，即sin 196°＞cos 156°.(3)cos＝cosπ＝cos＝cosπ，cos＝cosπ＝cos＝cos.∵0＜＜π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，∴cosπ＜cos，即cos＜cos.三角函数值大小比较的策略1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.2不同名的函数化为同名的函数.3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　)A．sin α＜sin β　　 B．cos α＜sin βC．cos α＜cos β   D．cos α ＞cos β(2)比较下列各组数的大小：①cos，cos；②cos 1，sin 1.(1)B　[α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞，α＞－β，α∈，－β∈，所以cos α＜cos＝sin β.](2)[解]　①cos＝cos，cos＝cos，因为0＜＜＜π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以cos＞cos，即cos＞cos.②因为cos 1＝sin，而0＜－1＜1＜且y＝sin x在上单调递增，所以sin＜sin 1，即cos 1＜sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题[探究问题]1．函数y＝sin在x∈[0，π]上最小值是多少？提示：因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图象可知函数的最小值为－.2．函数y＝Asin x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？提示：不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.【例3】　(1)函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________．(2)已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．[思路点拨]　(1)先用平方关系转化，即cos2x＝1－sin2x，再将sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题．(2)先由x∈求2x－的取值范围，再求sin2x的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．(1)[－4,0]　[y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．](2)[解]　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴f(x)max＝a＋b＝，f(x)min＝－a＋b＝－2.由得1．求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合．[解]　因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2，所以当sin x＝－1时，ymin＝－4，此时x的取值集合为.2．将本例(1)中函数改为y＝cos2x＋sin x，x∈R结果又如何？[解]　y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－2＋.因为－1≤sin x≤1，所以－1≤y≤，所以函数y＝cos2x＋sin x，x∈R的值域为.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：1y＝asin2x＋bsin x＋ca≠0，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.2y＝Asinωx＋φ＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sinωx＋φ的范围，最后得最值.1．确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行．2．函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形.1．思考辨析(1)y＝sin x在(0，π)上是增函数．(　　)(2)cos 1＞cos 2＞cos 3.(　　)(3)函数y＝－sin x，x∈的最大值为0.(　　)[提示]　(1)错误．y＝sin x在上是增函数，在上是减函数．(2)正确．y＝cos x在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cos 1＞cos 2＞cos 3.(3)正确．函数y＝－sin x在x∈上为减函数，故当x＝0时，取最大值0.[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2．y＝2cos x2的值域是(　　)A．[－2,2]　　　　 B．[0,2]C．[－2,0]   D．RA　[因为x∈R，所以x2≥0，所以y＝2cos x2∈[－2,2]．]3．sin________sin(填“＞”或“＜”)．＞　[sin＝sin＝sin，因为0＜＜＜，y＝sin x在上是增函数，所以sin＜sin，即sin＞sin.]4．函数y＝1－sin 2x的单调递增区间．[解]　求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin 2x的单调递减区间，由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是(k∈Z)．