2022届陕西省西安市长安区第一中学高三下学期六模数学（理）试题含解析

这是一份2022届陕西省西安市长安区第一中学高三下学期六模数学（理）试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届陕西省西安市长安区第一中学高三下学期六模数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出函数的值域，再利用交集的定义计算作答.【详解】函数的值域是，即，而，所以.故选：D2．已知是虚数单位，复数满足，则的最小值为（       ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】因为复数满足，所以复平面内复数对应的点在圆上，所以在复平面内的几何意义是圆上的点与的距离，即可求出结果．【详解】解：复数满足，设，，则，即，复平面内复数对应的点在圆上，在复平面内的几何意义是圆上的点与的距离，则的最小值为：，故选：A．3．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，将a，b，c分别与1和0比较，得到结论.【详解】因为所以故选：C【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（    ）A．36 B．40 C．48 D．50【答案】C【详解】解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375．5．已知函数，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角公式余弦公式将函数化成二次型函数，再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：因为所以当时取得最小值；故选：C6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（    ）A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】D【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.7．将函数（其中）的图像向右平移个单位长度，所得图像关于直线对称，则的最小值是（       ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，，即可求出，由此求得的最小值．【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得，的图象关于直线对称，，，，，，的最小值为，故选：D．8．李生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数.2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则不能组成孪生素数的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出不超过16的素数，用列举法求出所有素数对及不能组成孪生素数的个数即可计算作答.【详解】不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，任取两个素数组成不同素数对有：，，共有15对，它们等可能，其中是孪生素数，因此不能组成孪生素数的个数是12，所以不能组成孪生素数的概率为.故选：C9．已知在中，三个内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则角B的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的导函数，依题意无变号零点，等价为判别式，从而得到再利用余弦定理求出的范围，即可得解；【详解】解：因为，所以，若无极值点，即无变号零点，又二次函数开口向上，所以恒成立，等价为判别式，即，得，所以，因为，，所以的最大值为；故选：C．10．如图，设点P在内且为的外心，若，△BPC，△APC，△APB的面积分别为，x，y，则xy的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，令，用表示出x，y，再结合三角变换求解作答.【详解】因，点P是的外心，令外接圆半径为r，则有，解得，令，点P在内，则，且，，显然，因此，当，即时，取最小值-1，，所以xy的最大值是.故选：B11．如图所示，在三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（       ）A．40π B．20π C．32π D．80π【答案】A【分析】设中点为，连接，过点作，进而根据已知条件证明三棱锥的外接球的球心在上，再设外接球的半径为，球心为，中点为，连接，再根据几何关系得，进而代入数据计算即可得答案【详解】设中点为，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，，过点作，因为平面平面，平面平面所以平面，平面，所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，则由得，由得，又因为，所以为等腰直角三角形，设球心为，中点为，连接，则，所以，即，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：A12．若对任意，恒有，则实数的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可.【详解】由题意可知，不等式变形为.设，则.当时，即在上单调递减.当时，即在上单调递增.则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.所以，即在上单调递增.若使得对任意，恒有成立.则需对任意，恒有成立.即对任意，恒有成立，则在恒成立.设则.当时，，函数在上单调递增当时，，函数在上单调递减则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.所以，即，则实数的最小值为.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.二、填空题13．的展开式中的系数为___________.(用数字填写答案)【答案】【分析】先求展开式的通项公式，进而得当时和当时的项，再根据乘法原则计算即可得答案.【详解】解：由二项式定理得展开式的通项公式为：，故当时，，当时，,所以的展开式中的项为：，故的展开式中的系数为：.故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的运用、求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力.本题解题的关键在于根本就通项公式求得当时，，当时，,再结合乘法运算即可.14．设等差数列的前n项和为，若，，，则当满足成立时，n的最小值为___________.【答案】31【分析】根据给定条件，分析等差数列的单调性，结合前n项和公式即可求出的n的最小值.【详解】等差数列的前n项和为，，由得：，即，数列的公差，因此，数列是首项为正的递减数列，又，则当时，，而，因此，当时，，所以当满足成立时，n的最小值为31.故答案为：3115．在中，，，，，则___________.【答案】【分析】利用表示，再利用数量积运算律计算作答.【详解】在中，因，，则，，又，，所以.故答案为：16．已知抛物线C：的焦点为F，点，过点F的直线与此抛物线交于A，B两点，若．且，则p＝______．【答案】3【分析】设直线的方程，与抛物线联立求出两根和之及两根之积，求出直线，的斜率之和，可得斜率之和为0，可得直线，关于轴对称，过作轴，准线的垂线，由题意可得，可得直线的参数，再由弦长公式求出的值．【详解】解：设直线，设，，联立，整理可得：，可得，，所以，所以可得，所以，又为锐角，解得，设，如图作轴交于，由题意可得在抛物线的准线上，作准线，作，垂足为，则，所以，所以，所以，所以．故答案为：3．三、解答题17．设.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；单调递减区间是（Ⅱ） 面积的最大值为【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由 结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知由 可得由 可得所以函数 的单调递增区间是 ； 单调递减区间是（Ⅱ）由 得由题意知为锐角，所以由余弦定理：可得：即： 当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为【解析】1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.18．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）作图，由对应比例证明，即可证明平面；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得对应平面向量的坐标，求解出法向量，利用向量夹角计算公式代入计算.【详解】(1)连接，交于点，连接，由题意，四边形为平行四边形，所以，因为E为中点，∴，∴，且相似比为，∴，又∵，为，中点，∴，∴，又平面，平面，∴平面.(2)连接，因为，，所以，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面和平面的法向量分别为，则，，所以，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是11∶13，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．(1)完成下面列联表，并判断是否有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？ 有兴趣没有兴趣合计男   女 75 合计  600(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出3人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)表格见解析，有(2)分布列见解析，【分析】（1）根据题目所给的数据填写列联表，计算,依据题目中的表格，得出结论;（2）根据分层抽样的定义求出抽取的8人中男生和女生的人数，再确定出X的所有可能取值为0，1，2，3，并分别求出其相应的概率，利用期望公式即可求解.【详解】(1)根据题意得男生有275人，女生有325人；对冰壶运动有兴趣的人数为400人，对冰壶运动无兴趣的人数为200人，对冰壶运动无兴趣的男生为200-75=125人，对冰壶运动有兴趣的男生为275-125=150人，对冰壶运动有兴趣的女生为325-75=250人，得到如下列联表： 有兴趣没有兴趣合计男150125275女25075325合计400200600所以，则有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．(2)对冰壶运动有兴趣的一共有400人，从中抽取8人，抽到的男生人数为（人），女生人数分别为（人）．X的所有可能取值为0，1，2，3．，，，，所以X的分布列是：X0123P则．20．已知椭圆C：的左焦点为，离心率为，过的直线与椭圆交于M，N两点，当MN⊥x轴时，.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点H（0，-1）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点的坐标结合离心率，列出等式即可求解；（2）设直线PQ方程，代入椭圆结合韦达定理，表示出点G坐标，根据面积公式结合函数关系即可得解.【详解】(1)设，，，，，，得，所以椭圆C的方程；(2)由题可得直线PQ斜率一定存在，设其直线方程，，整理得：，，直线FQ的方程，设，，△PQG面积，令，，，，，所以△PQG面积的取值范围.21．已知函数，是的导函数，且有两个零点.（1）讨论的单调性；（2）若，求证：.【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）函数的定义域为，令，故，由于，进而得函数，的解集，进一步得函数的单调区间；（2）由（1）得，进而，再结合不等式即可证得.【详解】解：（1）函数的定义域为，，设，，由于所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在单调递减，在单调递增.（2）证明：因为是函数有两个零点，所以，所以，所以所以下面先证：，只需证：，只需证：，设，故只需证：，只需证故设，，所以在上单调递增，故，所以成立，故成立，所以因为，所以，所以，所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，证明不等式等，考查运算求解能力，是难题.本题第二问解题的关键在于利用不等式进行放缩求解.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）设点M的极坐标为，射线分别交，于A，B两点（异于极点），当时，求．【答案】（1），；（2）2.【分析】（1）消去参数求出曲线的普通方程，利用极坐标与普通方程的互化，求解极坐标方程即可；（2）设，，通过联立方程组可得和，说明，通过，转化求解即可.【详解】（1）（α为参数），∴曲线C1的普通方程为，即，，∴曲线的极坐标方程为，∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的直角坐标方程为．（2）依题意设，∴由，可得，由，得．，，∵OM是圆的直径，．∴在直角中，，∵在直角中，，，即，．23．已知函数，．（1）解不等式：；（2）记的最小值为，若实数满足，试证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）先将函数解析式写成分段函数的形式，分，，三种情况，求解不等式，即可得出结果；（2）根据函数单调性，确定的最小值，得到，再由展开后利用基本不等式即可求出最小值，从而可得结论成立.【详解】（1）易知，因为，所以，或，或所以，或，或，所以，所以不等式的解集为（2）由（1）知，所以在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.