2021学年3.1 函数的概念及其表示精品第2课时导学案

这是一份2021学年3.1 函数的概念及其表示精品第2课时导学案，共9页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
3.1.2函数的表示法第2课时  分段函数【学习目标】课程标准学科素养1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)1、数形结合2、数学运算【自主学习】分段函数1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的        的函数．2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的     ；各段函数的定义域的交集是      ．注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分段函数由几个函数构成．(　　)(2)分段函数的图象不一定是连续的．(　　)2.下列给出的式子是分段函数的是(　　)①f(x)＝②f(x)＝③f(x)＝④f(x)＝A．①②　　　B．①④　  C．②④　  D．③④【经典例题】题型一  分段函数求值点拨：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．（2）已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．（3）求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。例1 已知函数f(x)＝(1)求f(f(f(－2)))的值；(2)若f(a)＝，求a.   【跟踪训练】1 已知f(x)＝(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)≥，求x的取值范围；(3)求f(x)的值域．      题型二 分段函数的应用例2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．     【跟踪训练】2自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝x是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．(1)试将自行车厂的利润y表示为月产量x的函数；(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？       【当堂达标】1.设函数f(x)＝则f[f(3)]＝(　　)A.     B．3     C.       D.2. (多选)设函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝(　　 )A．2   B．－2   C．4     D．－43.函数y＝x＋的图象是(　　)A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D4.设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．5.已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)．(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．      6.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；(2)画出y＝f(x)的图象；(3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．      【课堂小结】1.分段函数是一个函数，而不是几个函数．2.分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．3.分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．        【参考答案】【自主学习】对应关系  并集   空集【小试牛刀】1.(1)×　 (2) √　　2.B 解析：结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.【经典例题】例1 解：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1,1]；当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．综上，a＝2或a＝±.【跟踪训练】1 解：　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．（2）由于f＝，结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1.所以f(x)的值域为[0,1].例2 解：设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．由题意得函数的解析式如下：y＝函数图象如图所示：【跟踪训练】2 解：　(1)依题设，总成本为20 000＋100x，则y＝(2)当0<x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，则当x＝300时，ymax＝25 000.当x>400时，y＝60 000－100x是减函数，则y<60 000－100×400＝20 000.综上可知，当月产量x＝300件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25 000元．【当堂达标】1.D 解析：∵f(3)＝<1，∴f[f(3)]＝2＋1＝.2.AD 解析：由或得a＝－4或a＝2.3.C 解析：对于y＝x＋，当x＞0时，y＝x＋1；当x＜0时，y＝x－1.即y＝故其图象应为C.4.(4，＋∞) 解析：当a≥0时，f(a)＝a－1>1，解得a>4，符合a≥0；当a<0时，f(a)＝>1，无解．5.解： (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x，∴f(x)＝(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．6.解： (1).(2)y＝f(x)的图象如图所示． (3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，解得4≥x≥1；当4<x≤8时，8≥2，符合；当8<x≤12时，2(12－x)≥2，解得11≥x>8；∴x的取值范围是1≤x≤11.