第18讲 锐角三角函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）

这是一份第18讲 锐角三角函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用），共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，综合题等内容，欢迎下载使用。
第18讲 锐角三角函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）
一、单选题
1．（2022·镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC= 63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α(0°0 ）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F.连接AC，BD.

（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求 ∠OBC 的度数；
（2）若 ∠ACO=∠CBD ，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数 y=-x2+2mx+2m+1 （m是常数，且 m>0 ）的图象上，始终存在一点P，使得 ∠ACP=75° ，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围.
29．（2022·宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点.

（1）【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中，　 　，
所以tan∠BAC=tan∠DCE.
所以∠BAC=∠DCE.
因为∠ACP+∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD.
（2）【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：
（3）【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P.使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明.
30．（2022·泗阳模拟）如图1，探照灯、汽车前灯的反光曲面都是“抛物镜面”，它是由过等腰直角三角形（△ABC）顶点的抛物线绕着对称轴旋转一周所形成的，我们将抛物线和线段AB所围成的封闭图形称之为“碗形”，记作“碗形ABC”，其中抛物线部分叫“标准线”，记作“标准线ACB”，抛物线的顶点C称为“碗顶”，直角三角形的斜边AB的长度称为“碗宽”，碗顶C到AB的距离称为“碗高”.

（1）若碗形ABC的碗宽是20cm，则碗高是　 　cm（直接写出结果）.
（2）如图2，碗形ABC的碗宽为4，点A与坐标原点重合，点B在x轴的正半轴上，点C在x轴下方，求标准线ACB的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）
（3）将（2）中的碗形ABC绕点B顺时针旋转得到碗形A'BC'，旋转角为α，且tanα=12
①标准线ACB、标准线A'C'B和线段AA'围成的封闭图形的面积为 （直接写出结果）.
②过点C'作C'D⊥AB交AB于点D，交A'B于点F.试求FDDC'的值.

答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：

作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆
∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ
∴AO平分∠PAQ
∵∠CAB=120°
∴∠PAO=30°
∵OP=3
∴AO= OPsin30° =6
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠ACB=30°，CD= 12 BC= 33
∴AD= CD·tan30° =3
∴⊙A的半径为3，
∴⊙O与⊙A的半径和为6
∵AO=6
∴⊙O与⊙A相切
∵AD⊥BC
∴BC所在的直线是⊙A的切线
∴BC所在的直线与⊙O相切
∴当 α =360°时，BC所在的直线与⊙O相切
同理可证明当 α =180°时， B″C″ 所在的直线与⊙O相切．
当 B'C' ⊥AO时，即 α =90°时， B'C' 所在的直线与⊙O相切．
∴当 α 为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切
故答案为：C.
【分析】作AD⊥BC，以A为圆心，AD为半径画圆，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ，则∠PAO=30°，根据三角函数的概念可得AO、AD，推出BC所在的直线与⊙O相切，据此解答.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、-4为负整数，是有理数；
B、0.101001为有限小数，是有理数；
C、227为分数，是有理数；
D、cos45°=22，是无理数；
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得cos45°=22；无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可一一判断.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：连接AF.

由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴FA＝FC，
∵BF：FC＝3：5，
∴可以假设BF＝3k，CF＝AF＝5k，
∵∠B＝90°，
∴AB =AF2-BF2=(5k)2-(3k)2=4k，
∴BC＝BF+CF＝8k，
∴tan∠ACB =ABBC=4k8k=12，
故答案为：D.
【分析】连接AF，由作图可知：MN垂直平分线段AC，则FA＝FC，设BF＝3k，则CF＝AF＝5k，利用勾股定理可得AB=4k，则BC＝BF+CF＝8k，然后根据三角函数的概念进行计算.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：过B作直径BD，连接AD，

∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠D＝∠C，
∴sinD＝sinC＝ ABBD=35，
∵AB＝6，
∴BD＝10，
∴⊙O的半径为5.
故答案为：A.
【分析】过B作直径BD，连接AD，根据圆周角定理可得∠BAD＝90°，∠D＝∠C，然后根据正弦函数的概念可得BD的值，进而可得半径.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：过点C作 CE⊥AB 的延长线于点 E ，

∵△DBC 与 △ADB 是等高三角形，
S△ADB:S△DBC=AD:DC=47AC:37AC=4:3
∴S△DBC:S△ABC=3:7
∵BD⊥AB
∴△ADB∼△ACE
∴S△ADBS△ACE=(ADAC)2=(47ACAC)2=1649
∴ABAE=47
∵AB=2
∴AE=72
∴BE=72-2=32
∵∠ABC=150°,
∴∠CBE=180°-150°=30°
∴CE=tan30°⋅BE=32
设 S△ADB=4x,S△DBC=3x
∴S△ACE=494x
∴∴494x=12×72×32
∴x=314
∴3x=3314 ，
故答案为：A.
【分析】过点C作 CE⊥AB 的延长线于点E，根据等高三角形可S△ADB:S△DBC=AD:DC=4:3，从而得出S△DBC:S△ABC=3:7，证明△ADB∼△ACE，利用相似三角形的性质得出ABAE=47，从而求出AE、BE的长，求出∠CBE=30°，从而求出CE=tan30°⋅BE=32，设 S△ADB=4x,S△DBC=3x，可得S△ACE=494x，根据三角形的面积公式建立方程，求出x值即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BD.

∵∠DAB和∠DCB所对的弧长都是弧 BD ，
∴根据圆周角定理知，∠BAD＝∠DCB.
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，根据锐角三角函数的定义知，
tan∠BAD＝tan∠DCB＝ BDAD = 12 ，
故答案为：A.
【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠BAD＝∠DCB，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义tan∠BAD＝tan∠DCB＝BDAD可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由作图可知：CA＝CB＝CD，
∴∠ABD＝90°，点C是△ABC外接圆的圆心，故A，D正确，
∵AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，∠D＝30°，
∴BD＝ 3 AB，故C正确，
∴sin2A+cos2D＝ 34+34≠1 ，故B错误.
故答案为：B.
【分析】由作图可知：CA＝CB＝CD，则∠ABD＝90°，点C是△ABC外接圆的圆心，据此判断A、D；易得△ABC是等边三角形，则∠A＝60°，∠D＝30°，根据三角函数的概念可判断C；根据三角函数的概念可判断D.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过B作EF⊥l1于点E，EF与l2交于点F，则EF⊥l2，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，
在Rt△BCF中，BF＝a•sinα，CF＝a•cosα，
∴BE＝a•cosα，
∴EF＝BE+BF＝asinα+acosα，
即两条平行线间的距离为asinα+acosα.
故答案为：B.
【分析】过B作EF⊥l1于点E，EF与l2交于点F，则EF⊥l2，由正方形的性质可得：AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠CBF，利用AAS证明△ABE≌△BCF，得到BE＝CF，然后根据三角函数的概念表示出BE、BF，接下来根据EF＝BE+BF就可得到两条平行线间的距离.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：设MN=xm，
在Rt△BMN中，∵∠MBN=45°，
∴BN=MN=x，
在Rt△AMN中，tan∠MAN= MNAN ，
∴tan30°= x16+x =33，
解得：x=8( 3 +1)，
则建筑物MN的高度等于8( 3 +1)m.
故答案为：A.
【分析】设MN=xm，则BN=MN=x，然后在Rt△AMN中，根据∠MAN的正切函数可得x的值.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，取 AB 的中点 G ，连接 FG ， FC ， GC ，DE.

∵∠EAF=90° ， tan∠AEF=13 ，
∴AFAE=13 ，
∵AB=6 ， AG=GB ，
∴AG=GB=3 ，
∵AD=9 ，
∴AGAD=39=13 ，
∴AFAE=AGAD ，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠EAF=90° ，
∴∠FAG=∠EAD ，
∴△FAG∼△EAD ，
∴FG：DE=AF：AE=1：3 ，
∵DE=3 ，
∴FG=1 ，
∴点 F 的运动轨迹是以 G 为圆心1为半径的圆，
∵GC=BC2+BG2=310 ，
∴FC≥GC-FG ，
∴FC≥310-1 ，
∴CF 的最小值为 310-1 .
故答案为：A.
【分析】取AB的中点G，连接FG、FC、GC、DE，根据正切函数的概念可得AFAE=13，根据已知条件可得AG=GB=3，推出AFAE=AGAD，由矩形的性质可得∠BAD=∠B=∠EAF=90°，由同角的余角相等可得∠FAG=∠EAD，证明△FAG∽△EAD，由相似三角形的性质可得FG，由勾股定理求出GC，根据两点之间，线段最短的性质可得：当F、G、C共线时，FC取得最小值，据此求解.
11．【答案】256
【解析】【解答】解：如图，作PC⊥AB于点C，

在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴AC=12AP=25 海里， PC=502-252=253 海里，
在Rt△PCB中，PC= 253 海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC= 253 海里，
∴PB=(253)2+(253)2=256 海里，
故答案为： 256 .
【分析】如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，求出∠APC=90°-60°=30°，可得 AC=12AP=25 海里，由勾股定理求出PC=253海里，由于△PCB为等腰直角三角形，可得PC=BC= 253 海里，利用勾股定理求出PB即可.
12．【答案】1010
【解析】【解答】解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，

∵四边形 CDFE 是边长为1的正方形，
∴∠C=90°，
∴AB= 32+42=5 ，
∵S△ABC=S△ACF+S△BCF+S△ABF ，
∴12×3×4=12×3×1+12×4×1+12×5×FM ，
∴ FM=1，
∵BF= (4-1)2+12=10 ，
∴sin∠FBA=110=1010 .
故答案是： 1010 .
【分析】连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由正方形的性质可得∠C=90°，利用勾股定理可得AB的值，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可求出FM的值，由勾股定理可得BF的值，最后根据三角函数的概念求解即可.
13．【答案】43 ＜AD＜2
【解析】【解答】解：以AD为直径，作 ⊙O 与BC相切于点M，连接OM，则OM⊥BC，此时，在 Rt△ABC 的直角边上存在3个不同的点分别和点A、D成为直角三角形，如图，

∵在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=1 ，
∴AB=2，
∵OM⊥BC，
∴sin30°=OMOB=12 ，
设OM=x，则AO=x，
∴x2-x=12 ，解得： x=23 ，
∴AD=2× 23 = 43 ，
以AD为直径，作 ⊙O ，当点D与点B重合时，如图，此时AD=AB=2，

∴在 Rt△ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 AD 长的取值范围是： 43 ＜AD＜2.
故答案是： 43 ＜AD＜2.
【分析】以AD为直径，作○O与BC相切于点M，连接OM，则OM⊥BC，在Rt△ABC的直角边上存在3个不同的点分别和点A、D成为直角三角形，易得AB的值，设OM=x，则AO=x，然后根据sin 30°=OMOB=12可得x的值，进而求得AD；以AD为直径，作○O，当点D与点B重合时，AD=AB=2，据此可得AD的范围.
14．【答案】102
【解析】【解答】解：如图，

设BC=x，则AB=7x，
由题意得： x2+(7x)2=1002 ，解得：x= 102 ，
故答案为： 102 .
【分析】设BC=x，则AB=7x，根据勾股定理建立方程，求出x值即可.
15．【答案】93
【解析】【解答】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，
∴BP＝PD，
∴△BPD是等腰三角形，
∴∠PBD＝30°，
过点P作PH⊥BD于点H，

∴BH＝DH，
∵cos30°＝ BHBP ＝ 32 ，
∴BH＝ 32 BP，
∴BD＝ 3 BP，
∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，
过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝ 12 BC＝3，
∵cos∠ABC＝ 13 ，
∴BGAB=13 ，
∴AB＝9，
∴BD最大值为： 3 BP＝9 3 .
故答案为：9 3 .

【分析】将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，过点P作PH⊥BD于点H，根据等腰三角形的性质，利用三角函数定义求出BD＝ 3 BP，则知当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，最后在Rt△ABG中，根据余弦三角函数求AB，即可解答.
16．【答案】103+1
【解析】【解答】解：如图，

∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=90°，四边形DBCE是矩形，
∴CE=BD=1m，BC=ED=10m，
∵ 树顶A的仰角为60°，
AE=DE·tan∠ADE=10tan60°=10tan60°=103
∴AC=AE+CE=1+103.
故答案为：103+1 .
【分析】利用垂直的定义可证得∠ADE=90°，同时可得到四边形DBCE是矩形，利用矩形的性质可求出CE，DE的长；再利用解直角三角形求出AE的长，根据AC=AE+CE，代入计算求出AC的长.
17．【答案】45
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，

∴AD=3，CD=4，
在Rt△ADC中，AC=AD2+CD2=32+42=5，
∴sinA=CDAC=45.
故答案为：45.
【分析】如图，过点C作CD⊥AB，在Rt△ADC中利用勾股定理求得AC=5，再根据正弦的定义，即一个角的正弦等于这个角的对边比上斜边，代入数据即可求解.
18．【答案】30
【解析】【解答】解：如图所示：

∵某坡面的坡比为1：3，
∴tanA=13=33，
则它的坡角是：30∘.
故答案为30.
【分析】先求出tanA=13=33，再求解即可。
19．【答案】17
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D.

∵∠B=60°，
∴BD=12AB=4，
∴在Rt△ABD中，AD=AB2-BD2=43，
∴在Rt△ACD中，CD=AC2-AD2=1，
∴cosα=CDAC=17.
故答案为：17.
【分析】作AD⊥BC于点D，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=12AB=4，利用勾股定理求出AD、CD，然后根据三角函数的概念进行计算.
20．【答案】6或2
【解析】【解答】解：

∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
当∠AOM=60°时，如图1， AM=OM⋅tan60°=3×3=3 ，
∴AB=2AM=6；
当∠OAM=60°时，如图2， AM=OMtan60°=33=1 ，
∴AB=2AM=2；
综上所述，AB的长为6或2.
故答案为：6或2.
【分析】利用垂径定理可证得AM=BM，利用△AOM中一个角为60°，分情况讨论：当∠AOM=60°时；当∠OAM=60°时，分别根据60°角的正切函数求出AB的长.
21．【答案】解：|-3|+tan45°-(2-1)0
=3+1-1
=3．
【解析】【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、0次幂的运算性质分别化简，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
22．【答案】解：(2022-π)0-|3-2|-tan60°
=1-(2-3)-3
=1-2+3-3
=-1
【解析】【分析】根据0次幂的运算性质、绝对值的性质分别化简，同时代入特殊角的三角函数值，然后去括号，最后进行有理数的减法及合并同类二次根式即可.
23．【答案】解：(12)-1+12-4sin60°
=2+23-4×32
=2+23-23
=2
【解析】【分析】根据负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式即可.
24．【答案】解：原式=2×32+4+27-5-1
=3+4+33-6
=43-2.
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、0次幂、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质分别化简，进而根据二次根式的性质化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
25．【答案】解：原式=2022+1-2×12=2023-1=2022.
【解析】【分析】根据绝对值的性质、0次幂的运算性质以及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
26．【答案】（1）解：如图2，连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H．

在Rt△ABH中，∠ABH=180°-∠ABC=37°，
sin37°=AHAB，所以AH=AB⋅sin37°≈3m，
cos37°=BHAB，所以BH=AB⋅cos37°≈4m，
在Rt△ACH中，AH=3m，CH=BC+BH=6m，
根据勾股定理得AC=CH2+AH2=35≈6.7m，
答：A、C两点之间的距离约6.7m．
（2）解：如图2，过点A作AG⊥DC，垂足为G，
则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m，AG=OD，
所以CG=CD-GD=5m，
在Rt△ACG中，AG=35m，CG=5m，
根据勾股定理得AG=AC2-CG2=25≈4.5m．
∴OD=AG=4.5m．
答：OD的长为4.5m．
【解析】【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据三角函数的概念可得AH、BH，由CH=BC+BH可得CH，然后利用勾股定理进行计算；
（2）过点A作AG⊥DC，垂足为G，则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m，AG=OD，则CG=CD-GD=5m，利用勾股定理可得AG，据此解答.
27．【答案】（1）解：设 BE=x ，则 EC=4-x ，

∴AE=EC=4-x ，
在 RtΔABE 中， AB2+BE2=AE2 ，
∴(22)2+x2=(4-x)2 ，
∴x=1 ，
∴BE=1 ， AE=CE=3 ，
∵AE=EC ，
∴∠1=∠2 ，
∵∠ABC=90∘ ，
∴∠CAB=90∘-∠2 ，
∴∠CAB=90∘-∠1 ，
由折叠可知 ΔFAC≅ΔBAC ，
∴∠FAC=∠CAB=90∘-∠1 ， AF=AB=22 ，
∴∠FAC+∠1=90∘ ，
∴∠FAE=90∘ ，
在 RtΔFAE 中， EF=AF2+AE2=(22)2+32=17
（2）解：过F作FM⊥BC于M，

∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a，则EC=3-a，
在 Rt△FME 中， FM2=FE2-EM2 ，
在 Rt△FMC 中， FM2=FC2-MC2 ，
∴FE2-EM2=FC2-MC2 ，
∴(17)2-a2=42-(3-a)2 ，
∴a=53 ，
∴EM=53 ，
∴FM=(17)2-(53)2=832 ，
∴sin∠CEF=FMEF=83217=85134
【解析】【分析】（1）设BE=x，则AE=EC=4-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得x，据此可得BE、AE、CE的值，根据等腰三角形的性质得∠1=∠2，由折叠得△FAC≌△BAC，得到∠FAC=∠CAB，AF=AB，结合∠1+∠CAB=90°可得∠FAC+∠1=90°，则∠FAE=90°，然后利用勾股定理可得EF；
（2）过F作FM⊥BC于M，设EM=a，则EC=3-a，在Rt△FME、Rt△FMC中，由勾股定理建立方程，求解可得a及FM的长，然后根据三角函数的概念进行计算.
28．【答案】（1）解：当 y=0 时， -x2+2mx+2m+1=0 .
解方程，得 x1=-1 ， x2=2m+1 .
∵点A在点B的左侧，且 m>0 ，
∴A(-1，0) ， B(2m+1，0) .
当 x=0 时， y=2m+1 .
∴C(0，2m+1) .
∴OB=OC=2m+1 .
∵∠BOC=90° ，
∴∠OBC=45° .
（2）解：方法一：如图1，连接AE.

∵y=-x2+2mx+2m+1=-(x-m)2+(m+1)2 ，
∴D(m，(m+1)2) ， F(m，0) .
∴DF=(m+1)2 ， OF=m ， BF=m+1 .
∵点A，点B关于对称轴对称，
∴AE=BE .
∴∠EAB=∠OCB=45° .
∴∠CEA=90° .
∵∠ACO=∠CBD ， ∠OCB=∠OBC ，
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC ，
即 ∠ACE=∠DBF .
∵EF∥OC ，
∴tan∠ACE=AECE=BECE=BFOF=m+1m .
∴m+1m=(m+1)2m+1 .
∵m>0 ，
∴解方程，得 m=1 .
方法二：如图2，过点D作 DH⊥BC 交BC于点H.

由方法一，得 DF=(m+1)2 ， BF=EF=m+1 .
∴DE=m2+m .
∵∠DEH=∠BEF=45° ，
∴DH=EH=22DE=22(m2+m) ，
BE=2BF=2(m+1) .
∴BH=BE+HE=22(m2+3m+2) .
∵∠ACO=∠CBD ， ∠AOC=∠BHD=90° ，
∴△AOC∽△DHB .
∴OAOC=DHBH .
∴12m+1=22(m2+m)22(m2+3m+2) ，即 12m+1=mm+2 .
∵m>0 ，
∴解方程，得 m=1 .
（3）解： 0