2022-2023学年山东省青岛市市南区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市市南区九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1. 已知，那么下列等式中，不一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用配方法解下列方程时，配方正确的是(    )

A. 化为
B. 化为
C. 化为
D. 化为

4. 由两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是(    )
    

A. 两个转盘转出蓝色的概率一样大
B. 如果转盘转出了蓝色，那么转盘转出蓝色的可能性变小了
C. 先转动 转盘再转动 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
D. 游戏者配成紫色的概率为

5. 在四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6. “一带一路”国际合作高峰论坛于年月日至日在北京举行，在论坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付台清洁能源公交车，以客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一带一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果．预计到年，福田公司将向海外出口清洁能源公交车达到台．设平均每年的出口增长率为，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，点是菱形对角线上一点，于点，且连接，若菱形的周长为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交边于点，连接、下列结论：≌；；；其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

9. 已知关于的方程一个根为，则另一个根是______ ．
10. 一个不透明纸袋中装有黑白两种颜色的小球个，为了估计两种颜色的球各有多少个，现将纸袋中的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率稳定在，据此可以估计黑球的个数约是______．
11. 如图，，已知，，，则线段的长为______．

12. 如图，是矩形的边上一个动点，矩形的两条边、的长分别为和，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是______．

13. 如图，四边形是矩形，，，，，，那么的长为______．

14. 如图，在中，中线、相交于点，连接，下列结论：；；；；其中正确的个数有______写序号．

三、解答题（本题共10小题，共78分）

15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
    已知：矩形，
    求作：菱形，使点，分别在边，上．

16. 如图，三个顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍得．
    在图中第一象限内画出符合要求的；不要求写画法
    的面积是：______．

17. 解方程：
    ；
    ．
18. 在一个不透明的口袋中装有张相同的纸牌，它们分别标有数字，，，，随机地一次摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题．
    计算两次摸取纸牌上数字之和为的概率；
    甲、乙两人进行游戏，如果两次摸取纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸取纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．
19. 如图，某小区要建一个长方形的花园，花园的一边靠墙墙长，另三边用木栏围成，并留出一个宽的入口，木栏长花园的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

20. 如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接．
    证明：四边形是平行四边形；
    判断四边形的形状，并说明理由．

21. 如图，一路灯距地面米，身高米的小方从距离灯的底部点米的处，沿所在的直线行走到点时，人影长度增长米，求小方行走的路程．

22. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为只，且每日产出的产品全部售出，已知生产只熊猫的成本为元，售价每只为元，且、与的关系式分别为，．
    当日产量为只时，每日获利多少元？
    当日产量为多少时每日获得的利润为元？
23. 已知正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于点，，于点．
    
    如图，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系：______ ；
    如图，当绕点旋转到时，中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
    如图，已知，于点，且，，求的长可利用得到的结论
24. 如图，在中，，，点从点出发，沿方向以每秒速度向终点运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，将沿翻折，点的对应点为点设点运动的时间为秒．
    若的面积为，请用表示；
    为何值时，与相似？
    为何值时，四边形为菱形？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
无法得到．
故选：．
利用比例的性质可判断、、的变形正确．
本题考查了比例的性质：灵活运用比例的性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质进行计算．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据题意得到，然后解不等式即可．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故选B．

3.【答案】 

【解析】解：错误，应为化为，不符合题意；
B.错误，化为，不符合题意；
C.错误，化为，不符合题意；
D.化为，正确，符合题意．
故选：．
配方法的步骤：将常数项移到方程的右侧．将二次项系数化为结合直接开方法进行解答即可．根据配方法的步骤，对每个方程都做这样的变形，由此便可以解答本题．
本题考查解一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：、盘转出蓝色的概率为，盘转出蓝色的概率为，此选项错误；
B、如果转盘转出了蓝色，那么转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；
C、由于、两个转盘是相互独立的，先转动 转盘再转动 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；
D、画树状图如下：

由于共有种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有种，
所以游戏者配成紫色的概率为，
故选：．
根据概率的定义和列树状图求概率分别对每个选项逐一判断可得．
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】 

【解析】解：在四边形中，，
四边形是菱形，
当时，
菱形是正方形．
故选：．
利用菱形的判定方法结合正方形的判定进而得出答案．
此题主要考查了正方形的判定以及菱形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意：年为台．
则；
故选：．
根据题意得出年的台数为台，年为台，列出方程即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
平分，
，，
点到的距离等于，
菱形的周长为，
，
的面积，
故选：．
利用菱形的性质求出点到的距离等于，由三角形面积公式可得出答案．
本题主要考查了菱形的性质和角平分线的性质，运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：正确．
理由：
，，，
≌；
正确．
理由：
，设，则．
在直角中，根据勾股定理，得，
解得．
；
正确．
理由：
，，
，
是等腰三角形，．
又≌；
，，
，
；
错误．
理由：

，，和等高，
：：，
．
故不正确．
正确的个数有个．
故选：．
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证≌；在直角中，根据勾股定理可证；通过证明，由平行线的判定可得；由于，求得面积比较即可．
本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
 

9.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个根为，
根据题意得，解得，
即方程的另一个根是．
故答案为．
设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后解一元一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

10.【答案】个 

【解析】解：根据题意估计黑球的个数约是个，
故答案为：个．
用球的总个数乘以黑球的频率的稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得．
故答案为：．
根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握定理及其推论并灵活运用．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．
 

12.【答案】 

【解析】

【解答】
解：连接，

矩形的两条边、的长分别为和，
，，，，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】
此题考查了矩形的性质，勾股定理以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
首先连接，由矩形的两条边、的长分别为和，可求得，的面积，然后由求得答案．  

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
∽，
：：：：，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质可得，由相似三角形的判定与性质可得，再根据勾股定理可得答案．
此题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：、是的中线，即、是和的中点，
是的中位线，
，即，
∽，，
，
故正确，错误，正确；
设，
，
，
，
是的中点，
，
，
，故正确．
故答案为：．
、是的中线，即、是和的中点，是的中位线，则，，∽，根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质即可判断．
本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形的面积公式和等高三角形面积的关系是解题的关键．
 

15.【答案】解：如图，菱形为所作．
 

【解析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．连结，作的垂直平分线交于、交于，利用矩形的性质可得垂直平分，则四边形为菱形．
 

16.【答案】 

【解析】解：
；
的面积，故答案为．
延长到，使，同法得到其余点的对应点，顺次连接即可；
把所求三角形的面积分割为矩形的面积减去若干直角三角形的面积即可．
考查位似图形的画法及相关计算；得到关键点的位置是解决本题的关键；网格中三角形面积的求法通常整理为规则图形的面积的和或者差．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

18.【答案】解：根据题意，列表如下：

由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有种，它们出现的可能性相等．
两次摸取纸牌上数字之和为记为事件有个，；
这个游戏公平，理由如下：
两次摸出纸牌上数字之和为奇数记为事件有个，，
两次摸出纸牌上数字之和为偶数记为事件有个，，
两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平． 

【解析】先列表展示所有可能的结果数为，再找出两次摸取纸牌上数字之和为的结果数，然后根据概率的概念计算即可；
从表中找出两次摸出纸牌上数字之和为奇数的结果数和两次摸出纸牌上数字之和为偶数的结果数，分别计算这两个事件的概率，然后判断游戏的公平性．
本题考查了关于游戏公平性的问题：先利用图表或树形图展示所有可能的结果数，然后计算出两个事件的概率，若它们的概率相等，则游戏公平；若它们的概率不相等，则游戏不公平．
 

19.【答案】解：花园的面积能达到，理由如下：
设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
由题意得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去．
当时，，符合题意．
即花园的面积能达到，
设计方案为：垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为米． 

【解析】设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，由题意：花园的面积为，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是矩形，理由如下：
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论；
由菱形的性质得，则，即可得出结论，
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，
∽，
，
，
解得；
所在的直线行走到点时，人影长度增长米，
，
同理可得∽，
，
即，
解得．
答：小方行走的路程为． 

【解析】利用身高与影长成正比可以求得的长，然后在利用相似三角形求得的长即可．
本题考查的是相似三角形在实际生活中的中心投影应用，根据题意得出相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例求解是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：当时，
元，
答：当日产量为只时，每日获利元；
由题意得：，
解得：，不符合题意舍去．
答：当日产量为只时每日获得的利润为元． 

【解析】由题意列式计算即可；
由题意：每日获得的利润为元，列出一元二次方程，解方程即可．
此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答此题的关键．
 

23.【答案】； 

【解析】解：正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
成立，理由如下：
延长至，使，如图：

四边形是正方形，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
又，
≌，
，是和对应边上的高，
．
分别沿，翻折和，得到和，分别延长和交于点，如图：

沿，翻折和，得到和，
，，，
四边形是正方形，
．
由可知，设，则，，
在中，由勾股定理，得，
，
解得，
．
由可得≌，从而可证，≌，即可得；
延长至，使，由≌得，，从而可证≌，根据全等三角形对应边上的高相等即可得；
分别沿，翻折和，得到和，分别延长和交于点，可证四边形是正方形，设，在中，由勾股定理列方程即可得答案．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

24.【答案】解：如图，在中，，，，
，

过作于，
，
，
∽，
，
，
，
；
当与相似，
则或，
或，
解得或，
当为或时，与相似；
如图，过点作于点，连接．

由题意知，点、关于对称，
垂直平分．
，．
根据菱形的性质，若四边形是菱形，则，
，
由知，
，
四边形是矩形，
，即．
又，，
，
解得，．
若四边形为菱形，则的值为． 

【解析】如图，根据勾股定理得到，过作于，根据相似三角形的性质即可得到结论；
根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论；
如图，过点作于点，连接由题意知，点、关于对称，根据线段垂直平分线的性质得到，根据矩形的性质得到，即于是得到结论．
本题是考查的是菱形的性质、二次函数的解析式的确定依据二次函数的性质，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理依据二次函数的性质是解题的关键．