2021-2022学年福建省福州市鼓楼区屏东中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年福建省福州市鼓楼区屏东中学高二（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知空间两点A（2，1，1），B（3，2，1），下列选项中的与共线的是（ ）
A．（1，0，1）B．（2，1，1）C．（2，﹣2，0）D．（2，2，0）
2．（5分）若直线ax+y﹣a+1＝0与直线（a﹣2）x﹣3y+a＝0垂直，则实数a的值为（ ）
A．﹣1或3B．1或﹣3C．﹣1或﹣3D．1或3
3．（5分）过点A（3，5）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的切线，则切线的方程为（ ）
A．x＝3或3x+4y﹣29＝0B．y＝3或3x+4y﹣29＝0
C．x＝3或3x﹣4y+11＝0D．y＝3或3x﹣4y+11＝0
4．（5分）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）若直线y＝ax+1与连接A（2，3），B（﹣3，2）的线段总有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，]B．（﹣∞，]∪[1，+∞）
C．[，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）
6．（5分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为（ ）
A．B．7C．2D．9
7．（5分）已知F是椭圆1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（ ）
A．10B．11C．13D．21
8．（5分）过点P（﹣1，0）的直线与圆E：（x﹣3）2+y2＝4相切于M，N两点，且这两点恰好在椭圆C：1（a＞b＞0）上，设椭圆的右顶点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
（多选）9．（5分）给出下列命题，其中为假命题的是（ ）
A．已知为平面α的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l∥α
B．已知为平面α的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，，则l与α所成角为
C．若三个向量，，两两共面，则向量，，共面
D．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z使得
（多选）10．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
（多选）11．（5分）设椭圆C：1的左、右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率e
B．||的最大值为3
C．△PF1F2面积的最大值为2
D．||的最小值为2
（多选）12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足λμ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值
C．当λ时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒过定点 ．
14．（5分）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x²+my²﹣6mx﹣7＝0的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于 ．
15．（5分）直线l经过（2，0），且与圆O：x²+y²＝36交于M，N两点，则线段MN的中点G的轨迹方程为 ．
16．（5分）已知A（0，0，﹣x），B（1，，2），C（x，，2）三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且x2x4，则x＝ ，与的夹角为 ．
四、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（10分）已知直线x﹣2y+3＝0与直线3x+y+2＝0交于点P，本题所求直线方程均写出一般式．
（1）求过点P且平行于直线3x+4y﹣5＝0的直线l1的方程，并求出两平行线之间的距离；
（2）求过点P并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l2的方程．
18．（12分）已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．
19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC，点P、Q分别为A1B1、BC的中点，C1Q与底面ABC所成角的正切值为2．
（1）求异面直线BP与QC1所成角的余弦值；
（2）求点C与平面AQC1的距离．
20．（12分）设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
21．（12分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点P到焦点距离的最小值与最大值之比为，过F1且垂直于长轴的椭圆C的弦长为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F1的直线与椭圆C相交的交点A、B与右焦点F2所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．
22．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且．
（1）求证：A1B⊥AC1；
（2）求直线A1B与平面A1B1C1所成角的正弦值；
（3）在线段C1C上是否存在点M，使得二面角M﹣A1B1﹣C1的平面角为90°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年福建省福州市鼓楼区屏东中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。选对得5分，选错得0分.
1．（5分）已知空间两点A（2，1，1），B（3，2，1），下列选项中的与共线的是（ ）
A．（1，0，1）B．（2，1，1）C．（2，﹣2，0）D．（2，2，0）
【分析】求出向量，根据λ，λ∈R且唯一存在，即可判断与共线．
【解答】解：由点A（2，1，1），B（3，2，1），
所以（1，1，0），
对于A，（1，0，1），不满足λ，所以与不共线；
对于B，（2，1，1），不满足λ，所以与不共线；
对于C，（2，﹣2，0），不满足λ，所以与不共线；
对于D，（2，2，0），满足2，所以与共线．
故选：D．
【点评】本题考查了空间向量的共线定理应用问题，是基础题．
2．（5分）若直线ax+y﹣a+1＝0与直线（a﹣2）x﹣3y+a＝0垂直，则实数a的值为（ ）
A．﹣1或3B．1或﹣3C．﹣1或﹣3D．1或3
【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：直线ax+y﹣a+1＝0与直线（a﹣2）x﹣3y+a＝0垂直，
∴a（a﹣2）+1×（﹣3）＝0，
解得a＝﹣1或a＝3．
故选：A．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）过点A（3，5）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的切线，则切线的方程为（ ）
A．x＝3或3x+4y﹣29＝0B．y＝3或3x+4y﹣29＝0
C．x＝3或3x﹣4y+11＝0D．y＝3或3x﹣4y+11＝0
【分析】由题意可得：圆的圆心与半径分别为：（2，3）；1，再结合题意设直线为：kx﹣y﹣3k+5＝0，进而由点到直线的距离等于半径即可得到k，求出切线方程．
【解答】解：由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：（2，3）；1，
当切线的斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为：kx﹣y﹣3k+5＝0，
由点到直线的距离公式可得：1
解得：k，
所以切线方程为：3x﹣4y+11＝0
当切线的斜率不存在时，直线为：x＝3，
满足圆心（2，3）到直线x＝3的距离为圆的半径1，
x＝3也是切线方程；
故选：C．
【点评】本题主要考查由圆的一般方程求圆的圆心与半径，以及点到直线的距离公式，容易疏忽斜率不存在的情况．
4．（5分）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．
【解答】解：，
，
，
，
∵，，，
∴，
故选：A．
【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．
5．（5分）若直线y＝ax+1与连接A（2，3），B（﹣3，2）的线段总有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，]B．（﹣∞，]∪[1，+∞）
C．[，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）
【分析】根据题意，分析可得点A、B在直线y＝ax+1的两侧或在直线上，由二元一次不等式的几何意义可得（2a﹣3+1）（﹣3a﹣2+1）≤0，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若直线y＝ax+1与线段AB总有公共点，
则点A、B在直线y＝ax+1的两侧或在直线上，
则有（2a﹣3+1）（﹣3a﹣2+1）≤0，解可得：a≥1或a，
即a的取值范围为（﹣∞，]∪[1，+∞）；
故选：B．
【点评】本题考查线性规划的应用，涉及直线与线段相交的含义，属于基础题．
6．（5分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为（ ）
A．B．7C．2D．9
【分析】由，
得222即可计算答案．
【解答】解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴，．
∵，
∴222
＝62+42+82+2×6×8cs120°＝68，
∴CD＝2
故选：C．
【点评】本题考查了向量的运算和数量积运算，属于中档题．
7．（5分）已知F是椭圆1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（ ）
A．10B．11C．13D．21
【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义转化，结合三角形两边之差小于第三边及两点间的距离公式求解．
【解答】解：如图，
由椭圆1，得F（﹣6，0），则椭圆右焦点为F′（6，0），
则|PM|+|PF|＝|PM|+2a﹣|PF′|＝16+（|PM|﹣|PF′|）
≤16+|MF′|＝1616+5＝21．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆中最值的求法，考查化归与转化思想，考查椭圆定义的应用，是中档题．
8．（5分）过点P（﹣1，0）的直线与圆E：（x﹣3）2+y2＝4相切于M，N两点，且这两点恰好在椭圆C：1（a＞b＞0）上，设椭圆的右顶点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设过点P的直线方程为x＝my﹣1，直线与圆相切得出m的值，然后求出切点M、N的坐标，求出点A的坐标，将点M的坐标代入椭圆方程求出b的值，进而求出c的值，最终可求出椭圆的离心率．
【解答】解：设过点P（﹣1，0）的直线方程为x＝my﹣1，联立直线与圆E相切可得：，
得m＝±，所以切线方程为xy﹣1或xy﹣1．
此时，切点为M（2，）或N（2，），
又椭圆的右顶点为A（a，0），因为四边形PMAN为平行四边形，a＝5，
又交点（2，）在椭圆上，所以，1，得b2，
所以，c2＝25，
因此，椭圆的离心率为e．
故选：D．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合问题，解决本题的关键在于将平行四边形这个条件进行转化，同时也考查了计算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
（多选）9．（5分）给出下列命题，其中为假命题的是（ ）
A．已知为平面α的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，则l∥α
B．已知为平面α的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，，则l与α所成角为
C．若三个向量，，两两共面，则向量，，共面
D．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z使得
【分析】A举反例判断；B求直线与平面成角证明即可；C举反倒判断；D举反例判断即可．
【解答】解：对于A，当l在α上时，满足，但l∥α不成立，所以A为假命题；
对于B，如图1，过l上一点P，作PH⊥α于H，连接OH，则直线OH为直l在平面α上的投影，
则∠POH为l与α所成角，∠POH，所以B为真命题；
对于C，如图，当向量，，构成四面体时，向量，，两两共面，但向量，，不共面，所以C为假命题，
对于D，当三个向量，，共面α时，平面α外向量，不存在实数x，y，z使得，所以D为假命题．
故选：ACD．
【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了空间向量基本概念，属于基础题．
（多选）10．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0
B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1
【分析】两圆 的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项A；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B．
求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项CD．
【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，
∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x﹣y＝0，故A正确；
∵O1（1，0），O2（﹣1，2），O1O2所在直线斜率为﹣1，
∴线段AB的中垂线的方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B正确；
圆O1：x2+y2﹣2x＝0的圆心为O1（1，0），半径r1＝1，
圆心O1（1，0）到直线x﹣y＝0的距离d．
∴P到直线AB距离的最大值为1，
圆O1与圆O2公共弦AB的长为2，故C错误，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查垂径定理以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
（多选）11．（5分）设椭圆C：1的左、右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率e
B．||的最大值为3
C．△PF1F2面积的最大值为2
D．||的最小值为2
【分析】由椭圆方程求得a，c的值，得到椭圆离心率判断A；由到椭圆右焦点距离最大的点是左顶点判断B；求出△PF1F2面积的最大值判断C；设出P的坐标，利用向量的坐标加法运算及向量模的求法判断D．
【解答】解：由椭圆C：1，得a＝2，b＝1，∴c，
则e，故A正确；
由椭圆性质：到椭圆右焦点距离最大的点是左顶点，可得的最大值为a+c＝2，故B错误；
当P在椭圆短轴的一个端点时，△PF1F2面积的最大值为，故C错误；
设P（2csθ，sinθ）（0≤θ＜2π），，F2（，0），
则，，
则（﹣4csθ，﹣2sinθ），||，
∴当csθ＝0时，||的最小值为2，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查向量的坐标运算及斜率模的求法，是中档题．
（多选）12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足λμ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值
C．当λ时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
【分析】判断当λ＝1时，点P在线段CC1上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；当μ＝1时，点P在线段B1C1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当λ时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，则点P在线段M1M上，分别取点P在M1，M处，得到均满足A1P⊥BP，即可判断选项C；当μ时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，则点P在线的DD1上，证明当点P在点D1处时，A1B⊥平面AB1D1，利用过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，即可判断选项D．
【解答】解：对于A，当λ＝1时，μ，即，所以，
故点P在线段CC1上，此时△AB1P的周长为AB1+B1P+AP，
当点P为CC1的中点时，△AB1P的周长为，
当点P在点C1处时，△AB1P的周长为，
故周长不为定值，故选项A错误；
对于B，当μ＝1时，，即，所以，
故点P在线段B1C1上，
因为B1C1∥平面A1BC，
所以直线B1C1上的点到平面A1BC的距离相等，
又△A1BC的面积为定值，
所以三棱锥P﹣A1BC的体积为定值，故选项B正确；
对于C，当λ时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，
因为，即，所以，
则点P在线段M1M上，
当点P在M1处时，A1M1⊥B1C1，A1M1⊥B1B，
又B1C1∩B1B＝B1，所以A1M1⊥平面BB1C1C，
又BM1⊂平面BB1C1C，所以A1M1⊥BM1，即A1P⊥BP，
同理，当点P在M处，A1P⊥BP，故选项C错误；
对于D，当μ时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，
因为，即，所以，
则点P在线的DD1上，
当点P在点D1处时，取AC的中点E，连结A1E，BE，
因为BE⊥平面ACC1A1，又AD1⊂平面ACC1A1，所以AD1⊥BE，
在正方形ACC1A1中，AD1⊥A1E，
又BE∩A1E＝E，BE，A1E⊂平面A1BE，
故AD1⊥平面A1BE，又A1B⊂平面A1BE，所以A1B⊥AD1，
在正方体形ABB1A1中，A1B⊥AB1，
又AD1∩AB1＝A，AD1，AB1⊂平面AB1D1，所以A1B⊥平面AB1D1，
因为过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒过定点 （1，﹣1） ．
【分析】将直线l整理成关于k的方程，构造x和y的方程组，解之即可．
【解答】解：将直线l的方程整理可得（x﹣y﹣2）k+（x+y）＝0，
令，解得x＝1，y＝﹣1，
所以直线l恒过定点（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题考查直线恒过定点问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x²+my²﹣6mx﹣7＝0的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于 ．
【分析】由于x2+my2﹣6mx﹣7＝0是圆，可得m＝1，通过圆心和半径计算a，b，c，即得解．
【解答】解：由于x2+my2﹣6mx﹣7＝0是圆，∴m＝1，
即：圆x2+y2﹣6x﹣7＝0，
其中圆心为（3，0），半径为4，
那么椭圆的长轴长为8，即c＝3，a＝4，，
那么短轴长为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆的方程，椭圆的几何性质等知识，属于基础题．
15．（5分）直线l经过（2，0），且与圆O：x²+y²＝36交于M，N两点，则线段MN的中点G的轨迹方程为 x2+y2﹣2x＝0 ．
【分析】根据圆的几何性质可得关系式kMN•kOG＝﹣1，设出G点坐标，代入方程整理可得．
【解答】解：因为直线l过（2，0），
当直线斜率存在时，设直线l：y＝k（x﹣2），
设线段MN的中点坐标为G（x，y），
由于直线y＝k（x﹣2）与圆O：x2+y2＝36交于M、N两点，
则kMN•kOG＝﹣1，
即，
整理得x2+y2﹣2x＝0，
当直线l斜率不存在时，
直线l的方程为：x＝2，
此时M，N关于x轴对称，中点为（2，0），也满足上式，
故线段MN的中点G的轨迹方程为x2+y2﹣2x＝0，
故答案为：x2+y2﹣2x＝0．
【点评】本题考查了动点的轨迹方程，属于基础题．
16．（5分）已知A（0，0，﹣x），B（1，，2），C（x，，2）三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且x2x4，则x＝ ﹣1 ，与的夹角为 ．
【分析】由共面向量定理得x+2x+4＝1，由此求出x＝﹣1，（1，，1），（﹣1，，1），由此能求出与的夹角．
【解答】解：A（0，0，﹣x），B（1，，2），C（x，，2），
∵点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且x2x4，
∴x+2x+4＝1，
解得x＝﹣1，
∴（1，，1），（﹣1，，1），
∴cs，
∴与的夹角为．
故答案为：﹣1；．
【点评】本题考查实数值、向量夹角的求法，考查共面向量定理、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（10分）已知直线x﹣2y+3＝0与直线3x+y+2＝0交于点P，本题所求直线方程均写出一般式．
（1）求过点P且平行于直线3x+4y﹣5＝0的直线l1的方程，并求出两平行线之间的距离；
（2）求过点P并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l2的方程．
【分析】（1）首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程，根据点到直线的距离求解．
（2）根据截距式方程的求法解答．
【解答】解：（1）由，得P（﹣1，1）．
设直线l1的方程为3x+4y+λ＝0，代入点P坐标得λ＝﹣1，
所以直线l1的方程为3x+4y﹣1＝0．
所以两平行线间的距离d．
（2）当直线l2过坐标原点时，直线l2的方程为y＝﹣x，即x+y＝0；
当直线l2不过坐标原点时，设直线l2的方程为，代入点P坐标得a＝﹣2，
所以直线l2的方程的方程为，即x﹣y+2＝0．
综上所述，直线l2的方程为x+y＝0或x﹣y+2＝0．
【点评】本题考查了两条直线互相垂直（平行）与斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．
【分析】（1）先求得线段AB的垂直平分线方程，与2x+y＝0联立，求得圆心即可；
（2）根据圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求得圆心C关于直线x﹣y+1＝0的对称点即可．
【解答】解：（1）已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），
则线段AB的垂直平分线方程为：y+1＝x﹣2，即 x﹣y﹣3＝0，
又圆心在直线2x+y＝0上，
联立，解得，
所以其圆心为C（1，﹣2），R＝|AC|＝2，
所以圆C的标准方程（x﹣1）2+（y+2）2＝4；
（2）设圆D的圆心为D（x，y），
因为圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，
所以，解得，
所以圆D的标准方程是 （x+3）2+（y﹣2）2＝4．
【点评】本题主要考查圆的方程的求解，解析几何中的对称问题等知识，属于中等题．
19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC，点P、Q分别为A1B1、BC的中点，C1Q与底面ABC所成角的正切值为2．
（1）求异面直线BP与QC1所成角的余弦值；
（2）求点C与平面AQC1的距离．
【分析】（1）由已知求得C1C＝2，以B为坐标原点，分别以BC、BA、BB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出、的坐标，由两向量所成角的余弦值求解异面直线PB与QC1所成角的余弦值；
（2）求出平面AQC1的法向量及的坐标，由向量法求点C与平面AQC1的距离．
【解答】解：（1）∵C1C⊥平面ABC，∴∠C1QC为C1Q与底面ABC所成角，
即tan∠C1QC2，∴C1C＝2．
以B为坐标原点，分别以BC、BA、BB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），Q（1，0，0），C1（2，0，2），P（0，1，2），
则（0，1，2），（1，0，2），
设异面直线PB与QC1所成角的大小为θ，
∴csθ，
则异面直线BP与QC1所成角的余弦值为；
（2）设平面AQC1的法向量为（x，y，z），
由（1）知，（1，﹣2，0），（2，﹣2，2），
由，取y＝1，得（2，1，﹣1）．
又（0，0，2），
∴点C与平面AQC1的距离d．
【点评】本题考查空间角的求法，训练了利用空间向量求点到平面的距离，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
【分析】（1）先得到F的坐标，再求出点A的方程，根据两点式可得直线方程，
（2）法一：分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明．
法二：结合斜率公式，以及韦达定理，即可求解．
【解答】解：（1）c1，
∴F（1，0），
∵l与x轴垂直，
∴x＝1，
由，解得或，
∴A（1.），或（1，），
∴直线AM的方程为yx，yx，
证明：（2）法一：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2，
直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB，
由y1＝kx1﹣k，y2＝kx2﹣k得kMA+kMB，
将y＝k（x﹣1）代入y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
∴x1+x2，x1x2，
∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）＝0
从而kMA+kMB＝0，
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA＝∠OMB，
综上∠OMA＝∠OMB．
法二：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＜0，
由题意可知，∠OMA，∠OMB均为锐角，
要证∠OMA＝∠OMB，只需证tan∠OMA＝tan∠OMB，即证，
只需证（x1﹣1）（2﹣x2）＝﹣（x2﹣1）（1﹣x1），即3（x1+x2）﹣2x1x2﹣4＝0①，
将y＝k（x﹣1）代入y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
∴x1+x2，x1x2②，
将②代入①可得，，即原式成立．
【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以韦达定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
21．（12分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点P到焦点距离的最小值与最大值之比为，过F1且垂直于长轴的椭圆C的弦长为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F1的直线与椭圆C相交的交点A、B与右焦点F2所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）P到焦点距离的最小值与最大值之比为可得a，c的关系，过F1且垂直于长轴的椭圆C的弦长为3．可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出a，b，c的值，进而求出椭圆的方程．
（2）设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出AB的纵坐标之差的绝对值的表达式，令函数，由函数的单调性求出△ABF2的面积的最大值，可得三角形内切圆的半径的最大值，进而求出内切圆的最大值．
【解答】解：（1）P到焦点的最大值和最小值分别为：a+c，a﹣c，
由题意可得，①
F1且垂直于长轴的椭圆C的弦长为3②，
又a2＝b2+c2③，
由①②③可得a2＝4，b2＝3，c＝1，
所以椭圆C的标准方程为：1；
（2）由（1）可得左焦点F1（﹣1，0），
假设存在这样的直线AB，由于直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立整理可得：（4+3m2）y2﹣6my﹣9＝0，
可得：y1+y2，y1y2，
所以|y1﹣y2|，
令t≥1，
可得：m2＝t2﹣1，所以，t≥1时f（t）单调递减，所以t＝1时，f（t）最大为，
所以|y1﹣y2|的最大值为：123，
所以S|F1F2|•|y1﹣y2|•2c•3＝3，
设△ABF2的内切圆的半径为r，
因为△ABF2的周长为4a＝4×2＝8，
S•4a•r＝4r，
所以4r≤3，r的最大值为，这时内切圆的半径最大．且S内切圆＝πr2，
即存在这样的内切圆的面积的最大值为．
【点评】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合，三角形内切圆的半径的求法，属于中档题．
22．（12分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且．
（1）求证：A1B⊥AC1；
（2）求直线A1B与平面A1B1C1所成角的正弦值；
（3）在线段C1C上是否存在点M，使得二面角M﹣A1B1﹣C1的平面角为90°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）方法一：作DE⊥AC交AB于点E，分别以DE，DC，DA1所在直线为x，y，z轴通过向量的数量积求解证明AB⊥AC1．
方法二：证明AC1⊥A1C．证明BC⊥AC，BC⊥A1D，然后证明BC⊥面ACC1A1，推出AC1⊥BC，即可证明AC1⊥面A1BC，推出A1B⊥AC1．
（2）方法一：求出面A1B1C1的一个法向量，结合，利用空间向量的数量积求解直线A1B与平面A1B1C1所成角的正弦函数值即可；
方法二：说明∠A1BD即为所要求，在Rt△A1BD中，转化求解即可．
（3）方法一：不存在，设，（0≤λ≤1）求出面MA1B1的一个法向量，利用向量的数量积为：0，转化求解判断即可．
方法二：面A1B1D⊥面A1B1C1，推出CC1与面A1B1D的交点N为CC1与A1D的交点，且，所以在线段CC1上不存在点M满足要求．
【解答】证明：（1）方法一：作DE⊥AC交AB于点E，分别以DE，DC，DA1所在直线为x，y，z轴建系，
所以，，
，所以A1B⊥AC1．
方法二：在Rt△ADA1中，得AA1＝2，∠A1AD＝60°
所以四边形ACC1A1为菱形，得AC1⊥A1C．
又BC⊥AC，BC⊥A1D，AC∩A1D＝D，AC，A1D⊂面ACC1A1，所以BC⊥面ACC1A1，
因为AC1⊂面ACC1A1，所以AC1⊥BC，
又因为A1C∩BC＝C，A1C，BC⊂面A1BC
所以AC1⊥面A1BC，因为A1B⊂面A1BC，所以A1B⊥AC1．
（2）方法一：因为面A1B1C1∥面ABC，所以面A1B1C1的一个法向量为，
因为，所以，，，
设线A1B与平面A1B1C1所成角为α，．
方法二：因为面A1B1C1∥面ABC，所以线A1B与平面A1B1C1所成的角等于A1B与面ABC所成的角，所以∠A1BD即为所要求．
在Rt△A1BD中，，，，
线A1B与平面A1B1C1所成角的正弦值为．
（3）方法一：不存在，设，（0≤λ≤1），，
设面MA1B1的一个法向量为
有，，得λ＝﹣1．
所以不存在点M满足要求．
方法二：面A1B1D⊥面A1B1C1，
CC1与面A1B1D的交点N为CC1与A1D的交点，
且，所以在线段CC1上不存在点M满足要求．
【点评】本题考查二面角以及直线与平面所成角的求法，直线与平面的位置关系的综合应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
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