2022-2023学年广东省惠州市高三上学期第二次调研考试 数学（PDF版）

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惠州市2023届高三第二次调研考试试题数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号12345678答案CBBCDADD1．【解析】∵由解得，∴，又，∴，故选C.2．【解析】∵复数在复平面内对应的点位于实轴上，∴，即. 故选B.【另解】复数对应点在实轴上，则必须是平方差的形式，所以.3．【解析】从2，4，6，8中任取2个不同的数，设样本空间为，则，共12个样本点，取出2个数之差的绝对值为4的事件有4个样本点，∴所求概率为，故选B.4．【解析】在上的投影向量为，故，则.【另解】本题由数形结合可知，故选C.5．【解析】底面积，∴底面圆的半径，∴底面圆周长为，∴扇形半径，则圆锥的高，则圆锥的体积，故选D.6．【解析】由，解得，又∵函数图象关于点对称，∴，，且，∴，，且，∴，则，∴，故选A. 7．【解析】当时，，则，∴当时，，由选项知，则，由数形结合可知当 时，函数取得最小值，解得，故选D.8．【解析】如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两个相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为，所截面积，∴，由祖暅原理知，两个几何体的体积相等，即  【注】本题作出图形后结合题意估算可得答案，但风险巨大.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.题号9101112全部正确选项ACADBCBC9．【解析】，即，则，，，所以A正确；显然有，所以B不正确；亦有，所以D不正确；又，相除得，因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，故C正确；所以选AC.10．【解析】由题意得，则焦点，准线l的方程是，故A正确；，当点M在线段的延长线上时等号成立，∴的最大值为2，故B错误；如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则，当点M在线段上时等号成立，∴的最小值为5，故C不正确；设点，线段的中点为D，则，∴以线段为直径的圆与y轴相切，D正确，所以选AD.11．【解析】对于A，，所以第75百分位数为，故A错误；对于B，对称轴为，则，故B正确；对于C，由，可得，即，∴，故M，N相互独立，故C正确；对于D，因为，所以不能根据作出判断，故D错误；故选：BC12．【解析】由题意，可得，，易知，则，，则在有解，求导得：，令，解得，可得下表：+0–m↗极大值↘则当时，m取得最大值为，当时，，当时，，则m的取值范围为，也即；故选BC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空3分，第二空2分。13．–256；  14．；  15．；  16．2（3分），（2分）13．【解析】展开式的通项公式为：，展开式中含x项为：，∴展开式中含项的系数为–256.14．【解析】数形结合可知切点分别为、，∴直线的截距式方程为，即.15．【解析】函数，当时，方程. 解得，函数有一个零点，则当时，函数须有两个零点，即，在时有两个解. 设，数形结合可知，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，∴，且，解得.16．【解析】设直线l：的倾斜角为，则且，可得.设双曲线C的左焦点为，连接、，设，则，根据双曲线的定义得，，分别在、中利用余弦定理得，，结合化简得，可得，故双曲线C的离心率为.设双曲线的两条渐近线为：，：，故可设点、，将点M、N的坐标分别代入直线的方程得，两式相乘得，∵点是双曲线C上的点，可得，则.∵，又∵，则，，∴双曲线C的方程为.四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分，其中第一小问6分，第二小问4分）【解析】（1）（法1）∵是公差为2的等差数列，∴，即，∴，………………………………………………1分则，…………………………………………………………………2分∴，即，………………………3分则，，，…，，……4分当时，累加得，∴（）；……………………5分【注：有累加的思想可得这1分】当时，满足上式，∴（）；……………………6分【注：无验证不得这1分】（法2）∵是公差为2的等差数列，∴，即，∴，………………………………………………1分，∴，猜想：（）……………………………………………………2分下面用数学归纳法证明：当时，，显然成立.   ………………………………………3分假设当（，）时成立，即.………………………4分则当时，.  ………………………………5分得成立.  …………………………………6分【注：不是完全平方式不得这1分】综上，（）.（2）（法1）   …………………………………………1分……………………2分则 …………3分所以…………………………………………………………………4分（法2） ………………………………………………1分则………………………………2分 ………………………………………3分所以    …………………………4分 18．（本小题满分12分，其中第一小问5分，第二小问7分）【解析】（1）选择条件①连接，，，（如图）因为四边形为矩形，则四边形为平行四边形，   ………………………………………………………………1分则P分别是，的中点，………………………2分且N是中点，∴  ……………………………………………………3分∵面，面 …4分【注：无写全这两个条件，不得这1分】∴面  ……………………………………5分（1）选条件②连接，，（如图）∵F、H、N分别是棱、、的中点，∴  ………………………………………………1分∵面，面，    …………2分【注：无写全这两个条件，不得这1分】∴面 ……………………………………………………………………3分同理可证：面  【注：完整证明出上述线面平行的其中一个可得3分】又面，面，，∴面面……4分∵面，∴平面  …………………………………………5分【注：选条件③不能得出结论，故选条件③不得分】（2）（法1）∵为菱形，且，∴，则以D为原点，，，为x、y、z轴正方向建立如图空间直角坐标系.  …………….1分∴，，，，，，∴， ………………………………………2分设为平面的一个法向量，∴…………3分【注：写出方程组可得1分】不妨令，则  …………………………………………………4分可取是平面的一个法向量.   ……………………………………5分 ……………………………………6分∴平面与平面夹角的余弦值为 …………………………………7分（法2）∵为菱形，∴，设，取的中点为，则面以O为原点，，，为x、y、z轴正方向建立如图空间直角坐标系.   …………………………………………1分∵为等边三角形，∴∴，，，，，∴， …………………………………………2分设为平面的一个法向量，∴，…………3分【注：写出方程组可得1分】不妨令，则  ……………………………………………………4分同理可得：是平面的一个法向量………………………………5分∴………………………6分∴平面与平面夹角的余弦值为   ………………………………7分 19．（本小题满分12分，其中第一小问6分，第二小问6分）【解析】（1）（法1）由正弦定理，得，  …………………………………1分即，∴，……2分∵，∴，即，………3分∵A为三角形内角，故，∴，…………………………4分∵，………………………………5分【注：无此步骤，不得这1分】∴ ………………………………………………………………………6分（法2）由余弦定理，代入得……1分化简得……………………………………………………2分∵，∴ ……………………………………………………3分所以 ……………………………………………4分∵，……………………………………5分【注：无此步骤，不得这1分】∴ ……………………………………………………………………………6分（2）（法一）由（1）得，解得，…………1分∵，…………………………2分∴， ………………………………………………3分当且仅当，取得最小值2，此时，，………………4分中，由余弦定理，得 ………………………………………………………5分∵，∴是直角三角形. ……………………………………………6分（法二）由（1）得，解得，………………1分∵，∴，∵，∴结合余弦定理可得  …………2分化简得中，由余弦定理，得∴ ………………………………3分当且仅当时取等号，即取得最小值2，又，所以，，…………………………………………………4分此时 ……………………………………………………………5分∵，∴是直角三角形.    ………………………………………6分 20．（本小题满分12分，其中第一小问3分，第二小问6分，第三小问3分）【解析】（1）样本中仅参加某一类课后服务的学生共有（人）………1分故样本中上个月至少参加了两类课后服务活动的学生共有（人）…2分由此，可估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率……3分（2）（法一）从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为，…1分X的可能取值为0，1，2，3，……………………………………………………………2分，，， ………………4分【注：求出四个概率共2分，任意一个正确可给1分，全部正确才给2分】X的分布列为：X0123P……………………………………………………………………………………………5分所以X的数学期望 …………………6分（法二）从全校学生中随机抽取1人，上个月仅参加学业辅导的概率为，……1分由题意可知随机变量X服从二项分布，故， …………………………3分X的分布列为（，1，2，3）…………………………5分【注：表达式1分，范围1分】X的数学期望 …………………………………………………6分（3）由题意可知 ……………………………………1分随机变量Y服从二项分布，即故（，），………………2分∴   ……………………………………………………………………3分 21．（本小题满分12分，其中第一小问4分，第二小问8分）【解析】（1）由，得（c为半焦距），…………………………1分∵点在椭圆E上，则. ………………………………2分又，解得，，. …………………………3分∴椭圆E的方程为. ……………………………………………4分（2）（法一）由（1）知），当直线l的斜率存在时，设直线l：，…1分由消去y，得 ……………………2分显然，设，则， ……………………………………………3分则 ………………………4分由，得直线为  ∴ …………………5分同理可得直线为  ∴∴ …………………6分∴ ……………………………………………7分当直线l的斜率不存在时，，，∴  ……8分综上所述，（法二）由（1）知.设直线l：，……………………………………1分由消去x，整理得  ……………………2分显然，设，则，.  …………………………………………3分∴. ………………………………………………………………4分直线的斜率，直线的斜率. ………………………5分∵. ………………………………………6分又，，，∴. ……………7分∴.   ……………………………………………………………………8分（法三）由（1）知.设直线l：， …………………………………1分由消去x，整理得 ………………………2分显然，设，则，.  ……………………………………………3分∴. …………………………………………………………………4分由，得直线为  ∴  ………………5分同理可得直线为  ∴…………………………6分∴. …………………………………7分∴. …………………………………………8分 22．（本小题满分12分，其中第一小问5分，第二小问7分）【解析】（1）函数的定义域为，且  ………1分当时，恒成立，则函数在上单调递增； …………2分当时，令，解得，由，解得；由，解得， ……………3分则函数单调递减区间为，单调递增区间为…………4分综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. …5分（2）由（1）知，解得.  …………………………………………1分∴∵对于任意实数时，存在正实数，，使得，∴即， ……………………………2分设，构造函数，则，………3分当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，………………4分则，故.设函数，………………………………5分∵，可知函数在上单调递减，故， …………………………6分解得或（舍去），故的最小正整数值为3.  ……………………………………………………7分