2020荆州中学高二7月双周考数学试题含答案

2019-2020学年湖北省荆州中学高二下学期

期末质量检查模拟试题（数学）

一、单选题

1．已知为虚数单位，，则复数的虚部为(    )

A． B．1 C． D．

2．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有(　　)

A．36种     B．30种     C．42种     D．60种

3．已知学生贾天才考试中每一道简单题做对的概率为，每一道中等题做对的概率为，每一道难题有三个选项，其中正确答案有且只有一项，贾天才面对难题时，他极有自知之明，答案完全凭感觉随机蒙一个。在贾天才参加的某次考试中，简单题有8道题，做对一题得5分，做错或不做得0分；中等题有有6道题，做对一题得10分，做错或不做得0分；难题有3道题，做对一题得15分，做错或不做得0分.则贾天才在本次考试中所得分数的数学期望为（    ）

A．70分 B．145分 C．95分 D．85分

4．已知圆上存在不同两点关于直线对称，则实数(    )

A． B． C． D．

5.已知椭圆与抛物线有一个公共焦点，椭圆的离心率是0和1的等差中项，则椭圆的长轴长为(    )

A． B． C． D．

6．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

根据表中数据可得回归直线方程，据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为15万元，则m的值为(    )

A．8.0 B．8.5 C．9.6 D．8.8

7．已知抛物线上一点到该抛物线焦点距离为， 为已知抛物线上任意一点，则的取值范围为 (    )

A． B． C． D．

8．若焦点在轴上的双曲线的离心率为，则该双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为(    )

A． B． C． D．

9．已知是单位向量，点的坐标为 ,则点的坐标为 (    )

A．或 B．或

C．或 D．选项A、B、C都不对

10．如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，事件A：甲的平均成绩超过乙的平均成绩；事件B：乙在4次考试中成绩的中位数不高于90分，则的值为 (    )

A． B． C． D．

11．已知是函数的一个极值点，直线与函数的图象恰有两个不同交点，则实数的取值范围是(    )

A．       B．      C．    D．

12．已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则实数n的取值范围是(　　)

A．(－1,3)      B．(－1，)       C．     D．

二、填空题

13. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为_______.

14．的展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项，则该展开式的常数项是__________．（用数字作答）

15．已知某批零件的长度误差（单位）服从正态分布，若，，现从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率_____________．

16．在三棱锥中，若，则该三棱锥外接球的体积为_________．

三、解答题

17. (本小题满分10分)已知数列的前项和满足

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和。

18．(本小题满分12分)2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．

(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

(2)现从该校一年级全体学生中，随机抽取了12名学生，发现12名学生中对冰球有兴趣的学生频率恰好等于之前抽取的100名学生中对冰球有兴趣的学生频率，再从被抽取的12名学生中随机抽取3名学生，求抽取的3名学生中至少含有一名对冰球没兴趣的学生的概率。

附表：

，

19．(本小题满分12分)如图，在多面体中，四边形为菱形，∥，⊥，且平面⊥平面

(1)求证：⊥；

(2)若求二面角的余弦值．

20．(本小题满分12分)已知函数

(1)当时，判断在定义域上的单调性；

(2)若在上的最小值为，求实数的值.

21． (本小题满分12分)已知曲线 与x轴交于两点，且点在点左侧，点P为x轴上方的一个动点，是线段的中点，直线 (为坐标原点)的斜率与直线的斜率之积为－4.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点的直线与分别交于点 (均异于点)，在三角形中，为锐角，求直线的斜率的取值范围．

22．(本小题满分12分)已知函数

(1)当时，若函数恰有一个零点，求的取值范围；

(2)当时，恒成立，求的取值范围．

2019-2020学年湖北省荆州中学高二下学期

期末质量检查模拟试题（数学）参考答案

一、单选题

二、填空题

13、     14、     15、      16、

三、解答题

17.解：         首项未考虑的学生，扣除2分，全对得5分，只有首项正确，给1分

         第二问只要错位相减法基本过程到位，结果不正确这一问给3分，完全正确（包括化简非最简形式）这一问给5分

18解　(1)根据已知数据得到如下列联表：

根据列联表中的数据，得到

K2＝＝≈3.030.

K2≈3.030>2.706，所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.5分

(2)由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是       7分

故抽取的12名学生中对冰球有兴趣的学生人数为，没有兴趣的人数3人

所以概率为       算式正确，结果不对扣2分

19解　(1)证明：连接AC，由四边形ABCD为菱形可知AC⊥BD，1分

∵平面BED⊥平面ABCD，且交线为BD，

∴AC⊥平面BED，∴AC⊥ED，

又AF∥DE，∴AF⊥AC，3分

∵AF⊥AD，AC∩AD＝A，∴AF⊥平面ABCD，

∵CD⊂平面ABCD，∴AF⊥CD.                                     4分

(2)设AC∩BD＝O，过点O作DE的平行线OG，

由(1)可知OA，OB，OG两两互相垂直，

则可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，                          6分

设AF＝AD＝ED＝2a(a>0)，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，F(a,0,2a)，E(0，－a,4a)，

所以＝(－a，a,0)，＝(0,0,2a)，＝(0，－2a，4a)，

＝(a，－a,2a)，                                             8分

设平面ABF的法向量为m＝(x，y，z)，

则即

取y＝，则m＝(1，，0)为平面ABF的一个法向量，

同理可得n＝(0,2,1)为平面FBE的一个法向量.                       10分

则cos〈m，n〉＝＝，

又二面角A－FB－E的平面角为钝角，则其余弦值为－.             12分

20. 解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x)＝＋＝.

∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.

(2)由(1)可知：f ′(x)＝，

①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，

∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去). 

②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，

∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).

③若－e<a<－1，令f ′(x)＝0，得x＝－a.

当1<x<－a时，f ′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数；

当－a<x<e时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－.

综上可知：a＝－.

21解：(1)易知A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)(y>0)，因为DO∥PA，所以kDOkPB＝kPAkPB，

则kAPkBP＝·＝－4，整理，得＋x2＝1(y>0)，

所以动点P的轨迹C2的方程为＋x2＝1(y>0).                             5分

(没有y的范围扣1分)

(2)由(1)知，上半椭圆C2的方程为＋x2＝1(y>0)．

易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，

代入C2的方程整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)

设点M的坐标为(xM，yM)，

∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根，

由求根公式得xM＝，从而yM＝，

∴点M的坐标为，                                        7分

同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)，    8分

＝，＝(－k，－k2－2k)．

由题意可知·>0，

即[k－4(k＋2)]>0，

∴k－4(k＋2)<0，解得k>－，                                       10分

因为y′＝(－2x)|x＝1＝－2，即直线l与抛物线在B处相切时，切线的斜率为－2.

而直线l与两曲线有交点，必须k<－2.

所以直线l的斜率的取值范围为－<k<－2.                             12分

22解：　(1)函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，

当m＝－时，g(x)＝aln x＋x2，所以g′(x)＝＋2x＝，1分

①当a＝0时，g(x)＝x2，x>0时无零点，                              2分

②当a>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为g(1)＝1，所以g(x0)·g(1)<0，此时函数g(x)恰有一个零点，       4分

③当a<0时，令g′(x)＝0，解得x＝，

当0<x< 时，g′(x)<0，所以g(x)在上单调递减；

当x>时，g′(x)>0，所以g(x)在上单调递增．

要使函数g(x)恰有一个零点，

则g＝aln  －＝0即a＝－2e，

综上所述，若函数g(x)恰有一个零点，则a＝－2e或a>0.                 6分

(2)令h(x)＝f(x)－(1－m)x2＝mx2－(2m＋1)x＋ln x，根据题意，当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0恒成立，又h′(x)＝2mx－(2m＋1)＋＝，          7分

①若0<m<，则x∈时，h′(x)>0恒成立，所以h(x)在上是增函数，且h(x)∈，所以不符合题意.                               8分

②若m≥，则x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函数，且h(x)∈(h(1)，＋∞)，所以不符合题意.                                  9分

③若m≤0，则x∈(1，＋∞)时，恒有h′(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)上是减函数，于是“h(x)<0对任意x∈(1，＋∞)都成立”的充要条件是h(1)≤0，即m－(2m＋1)≤0，解得m≥－1，故－1≤m≤0.                                                   11分

综上，m的取值范围是[－1,0].                                       12分