2021马鞍山高三下学期一模考试数学（理）试题含答案

这是一份2021马鞍山高三下学期一模考试数学（理）试题含答案，共8页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知，，，则，已知函数 则方程的解的个数为等内容，欢迎下载使用。
马鞍山市2021年高三第一次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 A．   B．   C．   D． 2．若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数  A．    B．    C．    D． 3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 A．    B．    C．    D．                 4．为了解学生参加“阳光体育”活动的情况，某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，已知所得样本数据都在区间内，样本频率分布直方图如图所示，则该样本数据的中位数的估计值为A．60    B． 65    C．66.25    D．72.25 5．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则A．若，，则    B．若，，，则C．若，，，则   D．若，，，则6．在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到A、B、C、D四个班级进行宣讲，每个班级分配一位老师．若甲不分配到A班，丁不分配到D班，则分配方案的种数为A．12    B．14    C．16    D．24 7．已知函数（，）的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则 A．    B．    C．    D． 8．已知，，，则A．   B．   C．   D． 9．已知点为抛物线准线上一点，点为焦点，为坐标原点，在抛物线上，且，则的最小值为A．    B．   C．   D． 10．已知函数 则方程的解的个数为A．3    B．4    C．5    D．6 11．在等差数列中，，且它的前项和有最小值，则当时，的最大值为    A．7    B．8    C．13    D．14 12．已知函数，则不等式的解集是  A．   B．  C．  D．  二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a，b，则|a-b|=   ▲  ．14．在平面直角坐标系中，点是单位圆上第一象限内的点，,若，则的值为   ▲  ．15．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于两点，且，则的面积为   ▲  ．16．已知正方形的边长为4，是的中点，沿把折起，使点到达点的位置，且，则三棱锥的外接球的表面积为  ▲  ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知的内角，，的对边分别是，，，满足．（1）若，，求的面积；（2）求的值．  18．（12分）智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下： 经常应用偶尔应用或者不应用总计农村40  城市60  总计10060160从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是．（1）补全列联表，判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望．附：，．0.10.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828      19．（12分）如图，已知三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点D为SC的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．       20．（12分）已知椭圆，右焦点为，短轴长为． （1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段中点为，线段中点为,且（为坐标原点），求所有满足条件的直线方程．    21．（12分）已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：．参考数据：．            （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程与的直角坐标方程；（2）求上的动点到距离的取值范围．             23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．  
2021年高中毕业班第一次教学质量监测理科数学参考答案 一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案BDBCDBABCCCA 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．      14．     15．     16． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（1）因为，由正弦定理，，即，若，由余弦定理，得，又，所以，而，所以，所以．                               （6分）（2）由，知．  （12分） 18．（1） 经常应用偶尔应用或者不应用总计农村404080城市602080总计10060160                                                                         （2分）    ．                         （4分）所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关．                      （6分）                                                                                                               （2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则的可能取值为0，1，2．（7分）      ，，，．             所以的分布列为：012                                                                        （10分）     的数学期望．                         （12分）19．（1）因为SC=4，点D为SC的中点，所以，又，所以是等边三角形，所以DCA=，所以SA=，所以SC2=SA2+AC2， SAAC．    （3分）又，得SAAB，又，所以SA平面ABC，又SA平面SAB，所以平面SAB平面ABC．                                                       （5分）（2）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，在平面ABC内过点A垂直于AB的直线为y轴，AS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则，，，，所以，所以，． （7分）设为平面的法向量，由得令,得．       （9分）而平面的一个法向量，所以．         （11分）设二面角的平面角为，则．                         （12分）方法2：取AC中点E，连接DE，则DE平面ABC，过点E作EFAB于F，连接DF，DFE为二面角D-AB-C的平面角．                                                （8分）在中，，，，所以．（10分）    因为二面角S-AB-D的平面角与二面角D-AB-C的平面角互余，    所以二面角S-AB-D的正弦值为．                                      （12分） 20．（1）由已知得，，，所以椭圆的方程为．（5分）（2）易知直线斜率存在，设直线方程为：．联立，消去得，则．设，，则，．               （7分）∵，∴，即：．                          （9分）∵，∴，∴，解得，，，          （11分）   所以满足条件的直线方程为：、和．         （12分）注：①若考生从图形特征仅分析出的结果，得1分；    ②第（2）小题中取的中点，由转化为解决，请酌情给分．21．（1）解：函数的定义域为，．               （1分）    ①当时，，则在上单调递增；    ②当时，由得，且时，单调递减；时，单调递增．    综上，时，在上单调递增；          时，在单调递减，在单调递增．     （5分）（2）证明：①当时，显然有；②当时，令在时单调递减，所以只需证明，即．                                  （6分）令（），则，显然单调递增，，，所以存在唯一，使，且时，单调递减；时，单调递增，所以．                                 （8分）因为，所以，即，所以．   （10分）又因为，所以，所以，从而，所以．                                       （11分）所以，故待证不等式成立．                                  （12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（1）∵直线的参数方程为（为参数），∴消去参数，得的普通方程为．                    （2分）∵曲线的极坐标方程为，      ∴，      ∴的直角坐标方程为，即．       （5分）（2）曲线的参数方程为（为参数），设上的动点为，则上的动点到距离．   （8分）∵，则上的动点到距离的最大值是，最小值是，∴上的动点到距离的取值范围是．              （10分）23．（1）由不等式可得：，可化为：或或          （3分）解得：或，所以原不等式的解集为．          （5分）（2）因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．                                        （7分）要对任意恒成立，只需，即：，所以或，解得：或，所以，实数的取值范围为．                         （10分）