高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程教案，共15页。教案主要包含了圆的标准方程，圆的一般方程等内容，欢迎下载使用。
专题2.4 圆的方程一、圆的标准方程圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0)   圆心为         　半径为         二、圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)   圆心为          半径为一、 (a,b)　  r       二、-,-           帮—重点圆的标准方程及一般方程的应用帮—难点求点的轨迹以及有关的最值问题帮—易错斜率是否存在的问题1．圆的标准方程及一般方程标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0)  一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圆关于直线对称的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆的圆心坐标为，半径为．设点关于直线对称的点，则，解得，．对称的圆的方程为．故选：A【名师点睛】本题主要考查对称圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，半径为的圆是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】直线可化为，则当时，不论为何值，，即直线经过定点，所以所求圆的圆心为，由已知所求圆的半径为，所以圆的方程为，即.故选：C【解题技巧】此题难点掌握定点的准确含义，不论参数取为何值，方程中与为一组配对的具体常数值，此组值即可作为定点.2．与圆有关最值问题研究斜率型最值，距离型最值，截距型最值若实数满足，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】实数满足，即故动点是以为圆心，以为半径的圆上的点，则表示点与连线的斜率k，如图所示，直线与圆有交点，相切时是临界状态，当直线与圆相切时有：解得或，故，即.故选：C.【名师点睛】处理与圆有关的最值问题，要充分探究圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用数形结合思想求解.本题可转化为求斜率的最值问题.已知圆，若直线m过且与圆交于两点，则弦长的最小值是（    ）A． B．4 C． D．【答案】D【解析】由圆的圆心坐标，半径，因为直线m过，所以圆心到直线的最大距离就是圆心到点的距离可得，由圆的弦长公式，可得，此时弦长的最小，即弦长的最小值为，故选：D.【解题技巧】本题主要考查了圆的弦长公式，圆的标准方程的应用，其中解答中求得圆的圆心坐标和半径，再利用圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.3．忽略变量的范围　已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2+4y的最大值为　　　　.【错解】因为点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,所以x2+4y=1-y2+4y=-(y-2)2+5,因此当y =2 时，x2+4y取得最大值5.【错因分析】本题中忽略了圆中的变量的取值范围，导致出现错误.【正解】因为点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,所以x2+4y=1-y2+4y=-(y-2)2+5.因为y∈[-1,1],所以当y=1时,x2+4y取得最大值4.【名师点睛】求解圆的问题一定要注意圆的概念，到定点的距离等于定长的点的集合，说明圆中的变量是有范围的，这不能忽视。1．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A． B．C． D．2．圆心为且过原点的圆的方程是（ ）A．                  B．C．                 D．3．已知圆M与直线和都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（  ）A． B．C． D．4．若直线过圆的圆心，则的最小值是（    ）A．16 B．10 C． D．5．在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为（  ）A． B． C． D．6．实数，满足，则下列关于的判断正确的是（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为7．圆（    ）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称8．圆：上的点到直线距离的最大值为______.9．过,圆心在轴上的圆的标准方程为_________．10．已知圆：.（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；（2）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，求出最短弦长；（3）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.     11．经过圆的圆心，且与直线平行的直线方程为（    ）A． B．C． D．12．已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为（ ）A． B． C．2 D．313．已知的三个顶点为，，，过点作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为，，则四边形的面积为（    ）A． B． C． D．14．已知圆过点，，，直线：与圆交于，两点，则（    ）A．3 B．4 C．6 D．815．当方程所表示的圆的面积最大时，直线的倾斜角为（    ）．A． B． C． D．16．已知点A（2,0），圆，圆上的点P满足，则a的取值可能是（    ）A．1 B．-1 C． D．017. 下列说法中正确的是（    ）A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等B．方程能表示平面内的任何直线C．圆的圆心为，半径为D．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是18. 对任意的实数，直线被圆截得的最短弦长为____________19. 设是双曲线上一点，、分别是两圆和上的点，则的最大值为______.20. 已知直线，圆C的圆心在x轴的负半轴上，半径为，且圆心C到直线l的距离为.（1）求圆C的方程；（2）由直线l上一点Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，若，求点Q的坐标.                1．【答案】C【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，点在圆上，排除A故选C2．【答案】D【解析】设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.3．【答案】C【解析】到两直线及的距离都相等的直线方程为，联立方程组，解得.两平行线之间的距离为，所以，半径为，从而圆的方程为. 选.4．【答案】A【解析】可化为：，即圆心，∴由题意，知：，有，故，当且仅当时等号成立；故选：A5．【答案】B【解析】记圆心为 ，直线方程可化为 直线过定点，当 与已知直线垂直时圆的半径最大，最大值为 ，因此圆的标准方程为 ，故选B.6．【答案】CD【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，设过点的直线为，即，则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，所以，即的最大值为，最小值为.故选：CD.7．【答案】ABC【解析】，所以圆心的坐标为.A：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，所以本选项正确；B：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；C：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；D：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以本选项不正确.故选：ABC8．【答案】【解析】由整理得，即圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离，根据圆的性质可得，圆上的点到直线距离的最大值为.故答案为：.9．【答案】【解析】设圆心坐标为，由题意可得：，即：，求解关于实数的方程可得：，则圆心坐标为，圆的半径为：，据此可得：圆的标准方程为.10．【答案】（1）；（2），；（3）或【解析】（1）化圆：为，可得圆心，，设，∵圆心与关于直线对称，∴，解得.∴圆的标准方程为：.（2）直线过定点，且点在圆内，当时，弦长最短，∵，∴，此时最短弦长为.（3）设点到直线的距离为，由，①当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；②当直线的斜率存在时，设直线方程为，，解得.综上，直线的方程为或.11．【答案】B【解析】由圆x2+y2+2y=0得x2+(y+1)2=1，圆心坐标为C(0,−1)，直线2x+3y−4=0的斜率k=−，
∴经过圆心C，且与直线2x+3y−4=0平行的直线方程为y+1=−x，即2x+3y+3=0.
故选B.12．【答案】D【解析】圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，圆心关于的对称点为， 解得故．故选．13．【答案】B【解析】设的外接圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由O（0，0），M（6，0），N（8，4），得，解得 .∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，点（3，5）在圆内部，由题意得最长的弦|AC|＝2×5＝10，点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．根据勾股定理得最短的弦|BD|＝，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S＝|AC|•|BD|＝×10×＝．故选：B．14．【答案】C【解析】设圆：，由圆过点，，，可得，解得，，，故圆：；则圆心到直线：的距离，故.故选：C.15．【答案】B【解析】方程可化为，设圆的半径为，则，∴当时，取得最大值，从而圆的面积最大．此时，直线方程为，斜率，倾斜角为，故选：B16．【答案】ABC【解析】因为圆，设，则，整理得，即，当，等式不成立，当时，，则①，将分别代入①得，均符合.故选：ABC.17. 【答案】BD【解析】对于，若两条直线均平行于轴，则两条直线斜率都不存在，错误；对于，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为，为直线两点式方程；当直线平行于轴，则原方程可化为；当直线平行于轴，则原方程可化为；综上所述：方程能表示平面内的任何直线，正确；对于，圆的方程可整理为，则圆心为，错误；对于，若直线不经过第二象限，则，解得：，正确.故选：.18. 【答案】【解析】由直线可得，故直线过定点，由圆C： ，可得：，圆心，半径,由圆的性质知，当直线与垂直时，直线所截得弦长最短，设圆心到直线的距离为，弦长为，因为，所以，解得，故答案为：19. 【答案】9【解析】如下图所示：设双曲线的左、右焦点分别为、，则点为圆的圆心，点为圆的圆心，当取最大值时，点在该双曲线的左支上，由双曲线的定义可得.由圆的几何性质得，，所以，.故答案为：.20. 【答案】（1）；（2）点Q的坐标为或.【解析】（1）依题意设圆心，由题意得：，解得或，由于，所以，因此圆的方程为.（2）因为，所以.在中，，所以.设，则有解得或，因此点Q的坐标为或.