高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第1课时导学案及答案，共11页。


1．通过实例理解指数函数的概念，了解指数函数在生活中的应用．
2．掌握指数函数图象和性质．
3．会应用指数函数的性质求函数的定义域、值域．
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
温馨提示：指数函数解析式的3个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
温馨提示：(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0(2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的大致图象．
1．观察下列从数集A到数集B的对应：
①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x；
②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x.
(1)这两个对应能构成函数吗？
(2)这两个函数有什么特点？
[答案] (1)能 (2)底数为常数，指数为自变量
2．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象与y＝2x的图象有何关系？
[答案] 关于y轴对称
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝x2是指数函数．( )
(2)指数函数的图象位于x轴的上方．( )
(3)函数y＝ax－1的图象过定点(0，－1)．( )
(4)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x的值域是[0，＋∞)．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
题型一 指数函数的概念
【典例1】 (1)下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是( )
A．0B．1
C．2D．3
(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3B．a＝1
C．a＝3D．a>0且a≠1
[思路导引] 形如“y＝ax(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数．
[解析] (1)形如“y＝ax(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B.
(2)由指数函数的概念可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－22＝1，,a>0，,a≠1，))得a＝3.
[答案] (1)B (2)C
判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
[针对训练]
1．函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.
[解析] ∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，
∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.
[答案] 0或1
2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(－2)＝________，f(1)＝________.
[解析] 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
∵f(2)＝9，
∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.
∴f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9)，f(1)＝3.
[答案] eq \f(1,9) 3
题型二 指数函数的图象
【典例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
[解析] (1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.
(2)因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．
[答案] (1)D (2)(3,4)
处理指数函数图象问题的3个策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
[针对训练]
3．函数y＝2－|x|的大致图象是( )
[解析] y＝2－|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≥0.,2x，x<0，))画出图象，可知选C.
[答案] C
4．函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
[解析] 令x＋3＝0得x＝－3，
此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.
即函数y＝2ax＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．
[答案] (－3,4)
题型三 指数函数的定义域与值域
【典例3】 求下列函数的定义域和值域：
[思路导引] 利用整体换元的方法求解．
[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，
因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，
故函数y＝eq \r(1－3x)的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，
所以0≤1－3x<1，
所以eq \r(1－3x)∈[0,1)，
即函数y＝eq \r(1－3x)的值域为[0,1)．
“y＝af(x)”型函数定义域、值域的求法
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围，即函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域问题，应分以下两步求解：
①由定义域求出u＝f(x)的值域；
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．
[针对训练]
5．求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝3eq \r(5x－1)；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3.
[解] (1)由5x－1≥0，得x≥eq \f(1,5)，
所以所求函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥\f(1,5))).
由eq \r(5x－1)≥0，得y≥1，
所以所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.
又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3>0，
∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3的值域为(0,16]．
课堂归纳小结
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质分底数a>1,03．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x
∈R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)xB．y＝－3x
C．y＝3x－1D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x
[解析] 由指数函数的定义知a>0且a≠1，故选D.
[答案] D
2．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))x的图象可能是( )
[解析] 0[答案] C
3．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是( )
A．[1，＋∞)B．[2，＋∞)
C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)
[解析] y＝2x在R上是增函数，且21＝2，故选B.
[答案] B
4．指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．
[解析] 由题意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x)＝2x，故f(－3)＝2－3＝eq \f(1,8).
[答案] eq \f(1,8)
5．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－1的值域是________．
[解析] ∵x2－1≥－1，
∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－1≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝2，又y>0，
∴函数值域为(0,2]．
[答案] (0,2]
课后作业(二十七)
复习巩固
一、选择题
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－1.
A．0个B．1个
C．3个D．4个
[解析] 由指数函数的定义可判定，只有②正确．
[答案] B
2．函数y＝eq \r(2x－1)的定义域是( )
A．(－∞，0)B．(－∞，0]
C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)
[解析] 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
[答案] C
3．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点( )
A．(0,1)B．(0，－1)
C．(－1,0)D．(1,0)
[解析] 当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．
[答案] C
4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
[解析] 当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.
[答案] A
5．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00B．a>1，且b>0
C．01，且b<0
[解析] 函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0[答案] C
二、填空题
6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.
[解析] 由指数函数的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a＋2＝1，,a＋1>0，,a＋1≠1，))解得a＝1.
[答案] 1
7．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．
[解析] 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝3，))
所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋3，所以f(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2＋3＝4＋3＝7.
[答案] 7
8．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))则函数f(x)的值域是________．
[解析] 由x<0，得0<2x<1；由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－2－x<0，∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
[答案] (－1,0)∪(0,1)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
[解] (1)∵f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，
∴a2－1＝eq \f(1,2)，则a＝eq \f(1,2).
(2)由(1)知，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1，x≥0.
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．
(2)令u＝x2－2x＋2，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u，
又u＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∵0≤x≤3，
∴当x＝1时，umin＝1，当x＝3时，umax＝5.
故1≤u≤5，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5≤y≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1，
故所求函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,32)，\f(1,2))).
综合运用
11．下列函数值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝4eq \f(1,2－x)B．y＝eq \r(1－2x)
C．y＝eq \r(3x－1)D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1－x
[解析] ∵1－x∈R，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1－x∈(0，＋∞)，故选D.
[答案] D
12．已知0[解析] 由于0[答案] C
13．若定义运算a⊙b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a[解析] 当x>0时，3x>3－x, f(x)＝3－x，f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；当x<0时，3x<3－x，f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．综上， f(x)的值域是(0,1]．
[答案] (0,1]
14．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
[解析] 作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
[答案] [1，＋∞)∪{0}
15．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值．
[解] 设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴eq \f(1,3)≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.