人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时学案

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  第2课时　利用基本不等式求最值1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．　基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(　　)(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　)(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　　)(4)若x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×题型一  利用基本不等式求最值【典例1】　(1)若x>0，求y＝4x＋的最小值；(2)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；(3)已知x>2，求x＋的最小值；(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[思路导引]　利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解]　(1)∵x>0，∴由基本不等式得y＝4x＋≥2 ＝2＝12，当且仅当4x＝，即x＝时，y＝4x＋取最小值12.(2)∵0<x<，∴3－2x>0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取“＝”．∴y的最大值为.(3)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝6.当且仅当x－2＝，即x＝4时，x＋取最小值6.(4)∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16.当且仅当＝且＋＝1时等号成立，即x＝4，y＝12时等号成立．∴当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16.[变式]　(1)本例(3)中，把“x>2”改为“x<2”，则x＋的最值又如何？(2)本例(3)中，条件不变，改为求的最小值．[解]　(1)∵x<2，∴2－x>0，∴x＋＝x－2＋＋2＝－＋2≤－2 ＋2＝－2.当且仅当2－x＝，即x＝0时，x＋取最大值－2.(2)＝＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6当且仅当x－2＝，即x＝4时，原式有最小值6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．[针对训练]1．已知x，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．[解析]　∵x，y>0，∴＋＝1≥2 ，得xy≤3，当且仅当＝即x＝，y＝2时，取“＝”号，∴xy的最大值为3.[答案]　32．已知x，y>0，且x＋y＝4，则＋的最小值为________．[解析]　∵x，y>0，∴(x＋y)＝4＋≥4＋2，当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号，又x＋y＝4，∴＋≥1＋，故＋的最小值为1＋.[答案]　1＋3．若x<3，则实数f(x)＝＋x的最大值为________．[解析]　∵x<3，∴x－3<0，∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2 ＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取“＝”号．∴f(x)的最大值为－1.[答案]　－1题型二  利用基本不等式解决实际问题【典例2】　如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[思路导引]　设每间虎笼长x m，宽y  m，则问题是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值．[解]　(1)设每间虎笼长x  m，宽为y  m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．解法二：∵2x＋3y＝18，∴S＝xy＝·(2x)·(3y)≤·2＝＝.(以下同解法一)(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．[针对训练]4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000 m2的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)[解]　设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.于是每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋＝560＋48(x≥10)，当x＋取最小时，y有最小值．∵x>0，∴x＋≥2 ＝30，当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．课堂归纳小结1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意：(1)x，y一定要都是正数；(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用．3．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.1．已知y＝x＋－2(x>0)，则y有(　　)A．最大值为0   B．最小值为0C．最小值为－2   D．最小值为2[答案]　B2．已知0<x<1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为(　　)A.   B.C.   D.[解析]　∵0<x<1，∴1－x>0.∴x(1－x)≤2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．[答案]　B3．已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是________．[答案]　2004．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.[解析]　由基本不等式，得4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立，即＝3，a＝36.[答案]　365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解]　由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．课后作业(十二)复习巩固一、选择题1．当x>0时，y＝＋4x的最小值为(　　)A．4   B．8C．8   D．16[解析]　∵x>0，∴>0,4x>0.∴y＝＋4x≥2＝8.当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，∴当x>0时，y的最小值为8.[答案]　C2．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为(　　)A．6   B．9C．12   D．15[解析]　(x＋y)＝x·＋＋＋y·＝1＋4＋＋≥5＋2 ＝9.[答案]　B3．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有(　　)A．最大值64   B．最小值C．最小值   D．最小值64[解析]　由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.[答案]　D4．已知p>0，q>0，p＋q＝1，且x＝p＋，y＝q＋，则x＋y的最小值为(　　)A．6   B．5C．4   D．3[解析]　由p＋q＝1，∴x＋y＝p＋＋q＋＝1＋＋＝1＋(p＋q)＝1＋2＋＋≥3＋2＝5，当且仅当＝即p＝q＝时取等号，所以B选项是正确的．[答案]　B5．若a<1，则a＋有最________(填“大”或“小”)值，为________．[解析]　∵a<1，∴a－1<0，∴－＝(1－a)＋≥2，∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.当且仅当a＝0时取等号．[答案]　大　－1二、填空题6．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为________．[解析]　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×2＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．[答案]　7．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则＋的最小值为________．[解析]　∵x，y为正数，且x＋2y＝1，∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即当x＝－1，y＝1－时等号成立．∴＋的最小值为3＋2.[答案]　3＋28．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．[解析]　每年购买次数为次．∴总费用＝·4＋4x≥2＝160，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立．[答案]　20三、解答题9．已知a，b，x，y>0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.[解]　x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，当且仅当＝时取等号．故(x＋y)min＝(＋)2＝18，即a＋b＋2＝18，①又a＋b＝10，②由①②可得或10．(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．[解]　(1)∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3＝－＋3≤－2 ＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，∴f(x)的最大值为－1.(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x，∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2 ＋10＝18.当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．∴x＋y的最小值是18.解法二：由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2 ＋10＝18.当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立，∴x＋y的最小值是18.综合运用11．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)A.  B．4  C.  D．5[解析]　∵a＋b＝2，∴＝1，∴＋＝＝＋≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.[答案]　C12．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)A．3  B.  C．4  D.[解析]　2＋2＝x2＋y2＋＋＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4.当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．[答案]　C13．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．[解析]　因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝，即的最大值为，故a≥.[答案]　14．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．[解析]　∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1，∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9.[答案]　915．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[解]　设矩形温室的一边长为x m，则另一边长为 m(2<x<200)．依题意得种植面积：S＝(x－2)＝800－－4x＋8＝808－≤808－2＝648，当且仅当＝4x，即x＝20时，等号成立．即当矩形温室的一边长为20 m，另一边长为40 m时种植面积最大，最大种植面积是648 m2.