高考数学(理数)一轮复习学案1．3《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案1．3《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》(含详解)，共7页。
1．3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


1．逻辑联结词
命题中的“或”“且”“非”称为__________．
2．全称量词
“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
3．存在量词
“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
注：特称命题也称存在性命题．
4．含有一个量词的命题的否定
命　题
命题的否定
∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．
5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
①
②
③
真
假
④
⑤
⑥
假
真
⑦
⑧
⑨
假
假

⑪
⑫
注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．
自查自纠：
1．逻辑联结词
2．全称量词　∀　全称命题
3．存在量词　∃　特称命题
4．∃x0∈M，綈p(x0)　∀x∈M，綈p(x)　特称　全称
5．①真　②真　③假　④假　⑤真　⑥假　⑦假
⑧真　⑨真　假　⑪假　⑫真


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()命题“∀x>0，>0”的否定是 (　　)
A．∃x0≥0，≤0 B．∃x0>0，0≤x0≤1
C．∀x>0，≤0 D．∀x0⇔x1，所以>0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是“∃x0>0，0≤x0≤1”．故选B.
()下列命题为假命题的是 (　　)
A．∀x∈R，2 018x－2＞0
B．∃x0∈R，tanx0∈R
C．∃x0∈R，lgx0＜0
D．∀x∈R，(x－100)2 018＞0
解：对于A，指数式2 018x－2恒大于0，A为真命题；对于B，正切函数的值域为R，B为真命题；对于C，对数函数的值域为R，故C为真命题；对于D，x＝100时，(x－100)2 018＝02 018＝0，D为假命题．故选D.
()已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是 (　　)
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．((綈p)∧(綈q)
解：由x＞0时x＋1＞1，知p是真命题，由－1＞－2，(－1)2＜(－2)2可知q是假命题，即p，綈q均是真命题．故选B.
命题“∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________．
解：由定义知命题的否定为“∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3”．故填∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3.
已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
解：因为p是假命题，则綈p为真命题，即 “∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0”为真命题，所以Δ＝ 4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.故填(0，1)．


类型一　含有逻辑联结词的命题及其真假判断
　(1)()设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋＞3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧q D．(綈p)∨q
解：命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋＞3，当 x0＝3时，3＋＞3，命题为真．命题q：∀x∈ (2，＋∞)，x2＞2x，当x＝4时，两式相等，命题为假．则p∧(綈q)为真命题．故选A.
(2)已知命题p：∀x∈N*，≥；命题q：∃x0∈N*，2x0＋21－x0＝2，则下列命题中为真命题的是 (　　)
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解：根据幂函数的性质，可知命题p为真命题；由2x0＋21－x0＝2，得22x0－2·2x0＋2＝0，解得2x0＝，即x0＝(或2x0＋21－x0≥2＝2，当且仅当2x0＝21－x0，即x0＝时等号成立)，命题q为假命题．所以只有p∧ (綈q)为真命题．故选C.
点　拨：
判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤：第一步，判断复合命题的结构；第二步，判断构成这个命题的每个简单命题的真假；第三步，依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反作出判断．
　　
　(1)已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lgx0；命题q：∀x∈R，ex>1.则 (　　)
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(綈q)是真命题
D．命题p∨(綈q)是假命题
解：取x0＝10，得x0－2＞lgx0，所以命题p是真命题；取x＝－1，得ex＜1，所以命题q是假命题．则p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∧(綈q)是真命题，p∨(綈q)是真命题．故选C.
(2)()命题p：存在x∈，使sinx＋cosx＞；命题q：“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)， lnx≠x－1”，则四个命题：(綈p)∨(綈q)，p∧q， (綈p)∧q，p∨(綈q)中，正确的命题个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解：因为sinx＋cosx＝sin≤，所以命题p是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q为真命题．则(綈p)∨(綈q)为真命题， p∧q为假命题，(綈p)∧q为真命题，p∨(綈q)为假命题，所以4个命题中正确的有2个．故选B.
类型二　含有逻辑联结词的命题的综合问题
　已知函数f(x)＝
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)已知m∈R，p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意的m∈R恒成立，q：函数y＝(m2－2)x是增函数，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
解：(1)函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在上单调递增，故f(x)的最小值f(x)min＝f(－2)＝1.
(2)由题意得，p与q一真一假．
若p为真，则m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；
若q为真，则m2－2＞0，故m＞或m＜－.
则有
①p真q假，则解得－≤ m≤1；
②p假q真，则解得m＜－3或m＞.
故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．

点　拨：
由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．

　已知命题p：在x∈[1，2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝log(x2－ 2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，则实数a的取值范围为________．
解：因为x∈[1，2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立，
所以a>＝－x在x∈[1，2]时恒成立，
令g(x)＝－x，则g(x)在[1，2]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝1，
所以a>1.即若命题p真，则a>1.
又因为函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，所以u(x)＝x2－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)>0在[1，＋∞)上恒成立，
所以所以－11时，原不等式等价于a≤＝x－1＋，由于x－1＋≥2，当且仅当 x－1＝，即x＝2时等号成立，故a≤2.故选B.
7．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；p2：函数y＝x＋在(0，＋∞)上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，是真命题的是________．
解：p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题，
所以q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
所以q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．
所以真命题是q1，q4.故填q1，q4.
8．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是________．
解：p为真命题，有 解得m>2.
q为真命题，有Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1