2020-2021学年14.2.2 完全平方公式精品复习练习题

这是一份2020-2021学年14.2.2 完全平方公式精品复习练习题，文件包含第28课完全平方公式教师版doc、第28课完全平方公式学生版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。


知识精讲
知识点01 公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即
a2  2ab  b2  a  b2 ， a2  2ab  b2  a  b2 .
形如 a2  2ab  b2 ， a2  2ab  b2 的式子叫做完全平方式.
要点诠释：
（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母 a 和b 的广泛意义， a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.
知识点02 因式分解步骤
如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
知识点03 因式分解注意事项
因式分解的对象是多项式；
最终把多项式化成乘积形式；
结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
能力拓展
考法01 公式法——完全平方公式
【典例1】分解因式：
（1） 3ax2  6axy  3ay2 ；（2） a4  2a2b2  b4 ；
（3）16x2 y2  (x2  4 y2 )2 ；（4） a4  8a2b2 16b4 ．
【答案与解析】
解：（1） 3ax2  6axy  3ay2  3a(x2  2xy  y2 )  3a(x  y)2 ．
（2） a4  2a2b2  b4  (a2  b2 )2  [(a  b)(a  b)]2  (a  b)2 (a  b)2 ．
（3）16x2 y2  (x2  4 y2 )2
 (4xy)2  (x2  4 y2 )2  (4xy  x2  4 y2 )(4xy  x2  4 y2 )
 (x  2 y)2[(x2  4xy  4 y2 )]  (x  2 y)2 (x  2 y)2 ．
（4） a4  8a2b2 16b4  (a2  4b2 )2  [(a  2b)(a  2b)]2  (a  2b)2 (a  2b)2 ．
【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止．
【即学即练1】分解因式：
（1） 4(x  a)2 12(x  a)(x  b)  9(x  b)2 ．
（2） 4(x  y)2  4(x2  y2 )  (x  y)2 ．
【答案】
解：（1）原式 [2(x  a)]2  2  2(x  a)  3(x  b) [3(x  b)]2
 [2(x  a)  3(x  b)]2  (5x  2a  3b)2 ．
（2）原式 [2(x  y)]2  2  2(x  y)  (x  y)  (x  y)2
 [2(x  y)  (x  y)]2  (x  3y)2
【典例2】已知 a+b=3，ab=2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3．
【思路点拨】先提公因式 ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算即可得解．
【答案与解析】
解：a3b+2a2b2+ab3
= ab（a2+2ab+b2）
= ab（a+b）2
将 a+b=3，ab=2 代入得，ab（a+b）2=2×32=18． 故代数式 a3b+2a2b2+ab3 的值是 18．
【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括
号．
【即学即练2】若 x ， y 是整数，求证：  x  y  x  2 y  x  3y  x  4 y   y4 是一个完全平方数.
【答案】
解：  x  y  x  2 y  x  3y  x  4 y   y4
  x  y  x  4 y   x  2 y  x  3y   y4
 (x2  5xy  4 y2 )(x2  5xy  6 y2 )  y4
令 x2  5xy  4 y2  u
∴上式u(u  2 y2 )  y4  (u  y2 )2  (x2  5xy  5 y2 )2
即 x  y  x  2 y  x  3y  x  4 y   y4  (x2  5xy  5 y2 )2
考法02 配方法分解因式
【典例3】用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：
那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？
我们先考虑二次项系数为 1 的情况：如 x2  bx 添上什么就可以成为完全平方式？
因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.
那么二次项系数不是 1 的呢？当然是转化为二次项系数为 1 了.分解因式： 3x2  5x  2 .
【思路点拨】提出二次项的系数 3，转化为二次项系数为 1 来解决.
【答案】
【总结升华】配方法，二次项系数为 1 的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方.
二次项系数不是 1 的时候，转化为二次项系数为 1 来解决.
考法03 完全平方公式的应用
【典例4】先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方公式 x2±2xy+y2=（x±y）2 及（x±y）2 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式 2x2+12x﹣4 的最大（小）值时，我们可以这样处理： 解：原式=2（x2+6x﹣2）
=2（x2+6x+9﹣9﹣2）
=2[（x+3）2﹣11]
=2（x+3）2﹣22
因为无论 x 取什么数，都有（x+3）2 的值为非负数所以（x+3）2 的最小值为 0，此时 x=﹣3
进而 2（x+3）2﹣22
的最小值是 2×0﹣22=﹣22
所以当 x=﹣3 时，原多项式的最小值是﹣22. 解决问题：
请根据上面的解题思路，探求多项式 3x2﹣6x+12 的最小值是多少，并写出对应的 x 的取值．
【答案与解析】
解：原式=3（x2﹣2x+4）
=3（x2﹣2x+1﹣1+4）
=3（x﹣1）2+9，
∵无论 x 取什么数，都有（x﹣1）2 的值为非负数，
∴（x﹣1）2 的最小值为 0，此时 x=1，
∴3（x﹣1）2+9 的最小值为：3×0+9=9， 则当 x=1 时，原多项式的最小值是 9．
【总结升华】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全
平方公式是解本题的关键．
【即学即练3】若△ABC 的三边长分别为 a 、b 、c ,且满足 a2 16b2  c2  6ab 10bc  0 ， 求证： a  c  2b .
【答案】
解： a2 16b2  c2  6ab 10bc
 a2  6ab  9b2  25b2 10bc  c2 
 a  3b2  5b  c2
所以a  3b2  5b  c2  0
a  3b2  5b  c2
所以 a  3b  (5b  c)
所以 a  c  2b或8b  c  a
因为△ABC 的三边长分别为 a 、b 、c ， c  a  b ， 所以8b  c  a  b ，矛盾，舍去.
所以 a  c  2b .
【即学即练4】若（2015﹣x）（2013﹣x）=2014，则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2= ．
【答案】4032．
解：∵（2015﹣x）（2013﹣x）=2014，
∴[（2015﹣x）﹣（2013﹣x）]2=（2015﹣x）2+（2013﹣x）2﹣2（2015﹣x）
（2013﹣x）=4，
则（2015﹣x）2+（2013﹣x）2=4+2×2014=4032．
分层提分
题组A 基础过关练
1．分解因式：（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用提取公因式、平方差公式对代数式进行因式分解即可．
【详解】
解：
故答案为B．
【点睛】
此题考查了因式分解的方法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
2．下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
试题分析：根据平方差公式，可知相乘的两个多项式中两对单项数值中，一对相等另一对为相反数．故ABC都符合，而Ｄ选项两个多项式互为相反数，不符题意．
考点：平方差公式
点评：本题难度较低，主要考查学生对平方差公式性质知识点的掌握，代入比较即可
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据因式分解与整式乘法互为逆变形进行计算．
【详解】
解：A．右边=（-a）2-b2=a2-b2≠左边，不符合题意；
B．右边=x2+6x+9≠左边，不符合题意；
C．右边=12-（4x）2=1-16x2≠左边，不符合题意；
D．右边=a3-4a2=左边，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了提公因式和公式法，考核学生的计算能力，通过整式乘法验算因式分解是解题的关键．
4．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
分别利用完全平方公式分解因式得出即可．
【详解】
解：①x2-10x+25=（x-5）2，不符合题意；
②4a2+4a-1不能用完全平方公式分解；
③x2-2x-1不能用完全平方公式分解；
④−m2+m−=-（m2-m+）=-（m-）2，不符合题意；
⑤4x4−x2+不能用完全平方公式分解．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．
5．如果x2+2ax+b是一个完全平方公式，那么a与b满足的关系是（ ）
A．b＝aB．a＝2bC．b＝2aD．b＝a2
【答案】D
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】
解：∵x2+2ax+b是一个完全平方公式，
∴b＝a2．
故选D．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．下列各式能利用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据完全平方公式的特点逐一判断以上选项，即可得出答案.
【详解】
（1）不符合完全平方公式的特点，故本选项错误；（2）=，故本选项正确；（3）不符合完全平方公式的特点，故本选项错误；（4）不符合完全平方公式的特点，故本选项错误．因此答案选择B.
【点睛】
本题考查的是利用完全平方公式进行因式分解，重点需要掌握完全平方公式的特点：首尾皆为平方的形式，中间则是积的两倍.
7．观察如图中的图形，根据图形面积的关系，不需要连接其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
从个体分析图形的面积：，从整体分析图形的面积：，两种方法均表示大长方形的面积，据此解题
【详解】
解：从个体分析图形的面积：，
从整体分析图形的面积：，
根据题意得，
故选：B．
【点睛】
本题考查完全平方公式与几何图形，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．若多项式x2﹣3（m﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ）
A．6或﹣2B．﹣2C．6D．﹣6或2
【答案】A
【分析】
根据完全平方公式即可求解．
【详解】
∵多项式x2﹣3（m﹣2）+36能用完全平方公式分解因式，
∴﹣3（m﹣2）＝±12．
∴m＝6或﹣2，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知完全平方公式的特点．
9．下列各式中能用完全平方公式分解的是( )．
①x2－4x＋4；②6x2＋3x＋1；③4x2－4x＋1；④x2＋4xy＋2y2；⑤9x2－20xy＋16y2.
A．①② B．①③ C．②③ D．①⑤
【答案】B
【解析】
【分析】
完全平方公式的形式是：a2+b2±2ab=(a±b)2，据此进行解答即可.
【详解】
解：x2－4x＋4=(x-2)2，4x2－4x＋1=(2x-1)2，只有这两个能用完全平方公式进行因式分解，故①和③能用，其他几项均不能用，
故选择B.
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键.
题组B 能力提升练
10．若，则_____．
【答案】-4
【分析】
直接利用完全平方公式得出a的值．
【详解】
解：∵，
∴
故答案为
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
11．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．
【答案】a2+2ab+b2=（a+b）2
【详解】
试题分析：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，
所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．
点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．
12．因式分解：9a2﹣12a+4＝______．
【答案】（3a﹣2）2
【解析】
【分析】
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】
9a2-12a+4=（3a-2）2．
故答案是：（3a﹣2）2.
【点睛】
考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
13．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则=_______.
【答案】
【解析】
中间一项为加上或减去x和4积的2倍，
故m=±8，
解得m=±8，
故答案为±8.
点睛：本题主要考查了完全平方式.先根据两平方项确定出两个数，在根据完全平方公式的乘积的二倍即可确定m的值.根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，书记完全平方公式对解题非常重要.
14．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（写题号）________．
① ② ③ ④
【答案】②，③，④
【分析】
利用完全平方公式对选项逐个判定即可求解．
【详解】
解：①，不能按照完全平方公式分解因式，不符合题意；
②，可以按照完全平方公式分解因式，符合题意；
③，可以按照完全平方公式分解因式，符合题意；
④，可以按照完全平方公式分解因式，符合题意；
故答案为：②，③，④
【点睛】
此题考查了利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．（1）（______）（______）（______）（______）（______）；
（2）（______）（______）（______）（______）（______）（______）（______）；
（3）在多项式①；②；③；④中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号）________．
【答案】 3 ②，③，④
【分析】
（1）先将式子中的项进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可；
（2）先将式子中的项进行分组，再提取公因式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）对每个式子进行因式分解，判定即可．
【详解】
解：（1）
故答案为：、3、、、
（2）
故答案为：、、、、、、
（3）①，不能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，不符合题意；
②，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
③，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
④，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
故答案为：②，③，④
【点睛】
此题考查了因式分解的方法，涉及了分组分解法、公式法、提取公因式法，熟练掌握因式分解的有关方法是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
16．把分解因式，并求时的值．
【答案】，16．
【分析】
先利用两次完全平方公式进行因式分解，再将t的值代入，计算有理数的乘方运算即可得．
【详解】
原式，
，
，
当时，原式．
【点睛】
本题考查了利用公式法进行因式分解、有理数的乘方运算，熟记完全平方公式是解题关键．
17．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
= y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2－4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）不彻底，（x-2)4 ；（3） (x-1)4
【分析】
（1）观察多项式结构发现利用了完全平方公式；
（2）观察发现分解不彻底，最后一步括号里还能利用完全平方公式分解；
（3）类比例题中的方法将原式分解即可．
【详解】
解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，
故选：C；
（2）∵x2－4x+4=（x-2)2 ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4 ，
故答案为：不彻底，（x-2)4 ；
（3）设x2－2x=y，则:
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=( x2－2x+1)2
=(x﹣1)4．
【点睛】
本题考查利用换元法和公式法进行因式分解，熟记完全平方公式，熟练掌握因式分解的各种方法是解答的关键．
18．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
【答案】(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】
试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
19．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可．
解：设x2+2x＝y．
原式＝y（y+2）+1（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
问题：
（1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果 ；
②请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解；
（2）请你模仿以上方法尝试计算：
（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2021）．
【答案】（1）①没有，（x＋1）4；②（x−2）4；（2）2022
【分析】
（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用换元法进行因式分解即可；
（2）设x＝1−2−3−…−2021，y＝2＋3＋…＋2022，则1−2−3−…−2022＝x−2022，2＋3＋…＋2021＝y−2022，整体代入计算即可．
【详解】
解：（1）①没有，
设x2＋2x＝y．
原式＝y（y＋2）＋1（第一步）
＝y2＋2y＋1（第二步）
＝（y＋1）2（第三步）
＝（x2＋2x＋1）2（第四步）
＝（x＋1）4（第五步）．
故答案为：（x＋1）4；
②设x2−4x＝y．
原式＝y（y＋8）＋16
＝y2＋8y＋16
＝（y＋4）2
＝（x2−4x＋4）2
＝（x−2）4；
（2）设x＝1−2−3−…−2021，y＝2＋3＋…＋2022，
则1−2−3−…−2022＝x−2022，
2＋3＋…＋2021＝y−2022，
x＋y＝1＋2022＝2023，
所以原式＝xy−（x−2022）（y−2022）
＝xy−xy＋2022（x＋y）−20222
＝2022×2023−20222
＝2022（2022＋1）−20222
＝2022．
【点睛】
本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．