2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷(含答案)

这是一份2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷(含答案)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2022的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
2．（3分）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为（　　）
A．0.12×10﹣3 B．1.2×10﹣4 C．1.2×10﹣5 D．12×10﹣3
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2＝x4 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（2x2）3＝6x5 D．x3•x2＝x5
5．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．直角三角形的两锐角互补
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（　　）

A．45° B．60° C．72° D．36°
9．（3分）若分式方程无解，则a的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．0
10．（3分）如图1，△ABC中，AB＝BC，D，E分别是AB，BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PD+PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C．6 D．9
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（3分）把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 　 　．
13．（3分）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 　 　．
14．（3分）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数为 　 　．

15．（3分）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 　 　．

16．（3分）如图，反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为8，则k＝　 　．

三、解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣．
19．（6分）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．

20．（8分）2022年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有多少人？
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为多少？
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝3，BF＝4，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积．

22．（9分）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？

23．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若AB＝6，AC＝3，求EC和PB的长．

24．（10分）已知抛物线y＝4（x﹣m）（x﹣m+1）（m为常数）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为C．
（1）求出A，B，C的坐标（用m表示）；
（2）若m＝0，如图，其中P为直线AC下方的抛物线上一点，过P作PM⊥AC交AC于M，求PM的最大值，并求出此时P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移个单位，M、N在抛物线上，满足MB⊥NB，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．

25．（10分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．
（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；
①其中有两内角分别为30°，60°的三角形 　 　；
②其中有两内角分别为50°，60°的三角形 　 　；
③其中有两内角分别为70°，100°的三角形 　 　；
（2）如图1，点A在双曲线y＝（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．
①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；
②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ＝，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．



2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2022的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为（　　）
A．0.12×10﹣3 B．1.2×10﹣4 C．1.2×10﹣5 D．12×10﹣3
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.00012用科学记数法表示为1.2×10﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2＝x4 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（2x2）3＝6x5 D．x3•x2＝x5
【分析】根据合并同类项判断A选项；根据完全平方公式判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝2x2，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝a2﹣2a+1，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝8x6，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝x5，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
5．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看，所得到的图形即可．
【解答】解：该几何体的俯视图为

故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．直角三角形的两锐角互补
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【分析】根据平行线的性质对A选项进行判断；根据平行线的判定方法对B选项进行判断；根据三角形内角和对C选项进行判断；根据三角形外角性质对D选项进行判断．
【解答】解：A．两直线平行，同旁内角互补，所以A选项不符合题意；
B．内错角相等，两直线平行，所以B选项符合题意；
C．直角三角形的两锐角互余，所以C选项不符合题意；
D．三角形的一个外角大于与之不相邻的任意一个内角，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，
解得m＜9．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（　　）

A．45° B．60° C．72° D．36°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD＝∠BCD，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9．（3分）若分式方程无解，则a的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．0
【分析】根据分式的方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴＝2，
∴x＝9﹣a，
由于方程无解，
∴x﹣4＝0，
∴9﹣a﹣4＝0，
∴a＝5，
故选：A．
【点评】本题考查分式的方程，解题关键是熟练运用分式的方程的解法，本题属于基础题型．
10．（3分）如图1，△ABC中，AB＝BC，D，E分别是AB，BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PD+PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则△ABC的面积为（　　）

A． B． C．6 D．9
【分析】P在E左边和E右边两种情况进行表示，结合图2的两个数值，可知DE＝3，BD+BE＝6，再由中位线，可知AC、AB的值，从而得出三角形的面积．
【解答】解：当x＝0时，即BP＝0，此时y＝6，即PD+PE＝BD+BE＝6，
当P点与E点重合时，PD+PE＝DE，此时有最小值3，
∵D、E分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC＝2DE＝6，
∵AC＝AB，
∴AB＝6，BD＝3，
∴BE＝3＝CE，
∴△ABC为等边三角形，
∴△ABC的面积＝×6××6＝9．
故选：A．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，根据中位线求出的长度是解题的关键．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥3　．
【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0．
【解答】解：根据题意，得
x﹣3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（3分）把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 　b（a+5）（a﹣5）　．
【分析】直接提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2b﹣25b
＝b（a2﹣25）
＝b（a+5）（a﹣5）．
故答案为：b（a+5）（a﹣5）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
13．（3分）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 　2　．
【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，
∴m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程是解题的关键．
14．（3分）把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数为 　128°　．

【分析】如图，根据对顶角性质可得∠1＝∠3，再根据三角形外角定理可得∠2＝90°+∠3计算即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠3＝38°，
∴∠2＝90°+∠3＝90°+38°＝128°．
故答案为：128°．

【点评】本题主要考查了对顶角的性质及三角形外角定理，熟练应用对顶角的性质及三角形外角定理进行求解是解决本题的关键．
15．（3分）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 　2﹣　．

【分析】连接AE，根据旋转的性质推出Rt△AB1E≌Rt△ADE，再由含30度角的直角三角形性质得出DE＝，最后由图可以得出S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1），将相关数值代入求解即可．
【解答】解：如图，

连接AE，根据题意可知AB1＝AD＝1，∠B1＝∠D＝90°，∠BAB1＝30°，
在Rt△AB1E和Rt△ADE中，
，
∴Rt△AB1E≌Rt△ADE（HL），
∵∠B1AE＝∠DAE＝∠B1AD＝30°，
∴＝，解得DE＝，
∴S四边形ADEB1＝2S△ADE＝2××AD×DE＝，
∴S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1）＝2×（1﹣）＝2﹣，
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质，需要注意数形结合，将不规则的阴影部分的面积转化为规则图形的面积来求．
16．（3分）如图，反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为8，则k＝　﹣4　．

【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
【解答】解：过点P作PE⊥y轴于点E，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
又∵BD⊥x轴，
∴ABDO为矩形，
∴AB＝DO，
∴S矩形ABDO＝S▱ABCD＝8，
∵P为对角线交点，PE⊥y轴，
∴四边形PDOE为矩形面积为4，
∵反比例函数y＝的图象经过▱ABCD对角线的交点P，
∴|k|＝S矩形PDOE＝4，
∵图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣4，
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【分析】先计算（）﹣1、（﹣2022）0、化简绝对值，再代入60°的正弦值算乘法，最后加减．
【解答】解：
＝
＝
＝4．
【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的意义，绝对值的化简和特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
18．（6分）先化简再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣．
【分析】先通分算括号内的，将除化为乘，约分化简后，将a＝﹣代入计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝．
当时，
原式＝
＝
＝﹣1．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，将分式化简．
19．（6分）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．

【分析】（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据余弦的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可；
（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．
【解答】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC•cosα＝12×＝6（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE•tan∠BCE＝6×＝18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈24.9（m）．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
20．（8分）2022年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有多少人？
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为多少？
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
（2）用360°乘以篮球的学生所占的百分比即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：54÷30%＝180（人），
即这次被调查的学生共有180人；
（2）根据题意得：360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，
即扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝3，BF＝4，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积．

【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出答案．
（2）作FG⊥BC于点G，根据S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，先求出FG，再根据S平行四边形ABCD＝BC•FG，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．

（2）作FG⊥BC于G，

∵四边形ABEF是菱形，AE＝3，BF＝4，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝，OB＝BF＝2，
∴BE＝＝，
∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，
∴GF＝＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+EC）•GF＝（+2）×＝．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，利用面积法求出高FG是解题的关键．
22．（9分）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？

【分析】（1）把（5，3）代入正比例函数即可求得k的值也就求得了y1的关系式；把原点及（1，2），（5，6）代入即可求得y2的关系式；
（2）①销售利润之和W＝甲种蔬菜的利润+乙种蔬菜的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可；
②由题意可得W关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：5k＝3，
解得k＝0.6，
∴y1＝0.6x；
由，
解得：，
∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；

（2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，
当t＝4时，W有最大值9.2，
答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元；
②当W＝8.4＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，
∴t1＝2，t2＝6，
∵a＝﹣2＜0，
∴当2≤t≤6时，W≥8.4，
答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，得到总利润的关系式以及用二次函数来处理一元二次不等式是解决本题的关键．
23．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若AB＝6，AC＝3，求EC和PB的长．

【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥PE，则判断OC∥AE，所以∠DAC＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC得到∠DAC＝∠OAC；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用勾股定理计算出BC＝3，再证明Rt△ABC∽Rt△ACE，利用相似比计算出EC＝，接着利用勾股定理计算出AE＝，然后证明Rt△ABC∽Rt△ACE，从而利用相似比计算PB的长．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如图，

∵PE是⊙O的切线，
∴OC⊥PE，
∵AE⊥PE，
∴OC∥AE，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠BAD；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
在Rt△ABC中，BC＝＝＝3，
在Rt△ABC和Rt△ACE中，
∵∠DAC＝∠OAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△ACE，
∴AC：AB＝EC：BC，即3：6＝EC：3，
∴EC＝；
在Rt△ACE中，AE＝＝＝，
又∵OC∥AE，
∴Rt△OCP∽Rt△AEP，
∴OC：AE＝PO：PA，即3：＝（PB+3）：（PB+6），
∴PB＝3．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24．（10分）已知抛物线y＝4（x﹣m）（x﹣m+1）（m为常数）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为C．
（1）求出A，B，C的坐标（用m表示）；
（2）若m＝0，如图，其中P为直线AC下方的抛物线上一点，过P作PM⊥AC交AC于M，求PM的最大值，并求出此时P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移个单位，M、N在抛物线上，满足MB⊥NB，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．

【分析】（1）y＝0，求出A、B点坐标，再由y＝4（x﹣）2﹣1，求出顶点坐标即可；
（2）求出直线AC的解析式，设经过P点与AC平行的直线解析式为y＝﹣2x+n，联立方程组，当Δ＝36+16n＝0时，PM的值最大，可求n＝﹣，由n的值再求P（﹣，﹣），过点P作PH⊥x轴交于H，交AC于G，求出sin∠AGH＝＝，即可求PM＝；
（3）先求平移后的函数解析式为y＝4x2﹣1，设直线MN的解析式为y＝kx+b，M（x1，4x12﹣1），N（x2，4x22﹣1），联立方程组，由根与系数的关系可得x1+x2＝，x1•x2＝，过M点作MD⊥x轴交于D，过N点作NE⊥x轴交于E，可证明△MOD∽△ONE，由＝，即﹣x1•x2＝（4x12﹣1）•（4x22﹣1），可得2b+1＝，则y＝k（x+）﹣，即可知直线经过定点（﹣，﹣）．
【解答】解：（1）令y＝0，则4（x﹣m）（x﹣m+1）＝0，
解得x＝m或x＝m﹣1，
∴A（m﹣1，0），B（m，0），
∵y＝4（x﹣m）（x﹣m+1）＝4x2﹣4（2m﹣1）x+4m（m﹣1）＝4（x﹣）2﹣1，
∴C（，﹣1）；
（2）∵m＝0，
∴y＝4x（x+1）＝4x2+4x，
∴A（﹣1，0），C（﹣，﹣1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣2x﹣2，
设经过P点与AC平行的直线解析式为y＝﹣2x+n，
联立方程组，
整理得4x2+6x﹣n＝0，
当Δ＝36+16n＝0时，PM的值最大，
∴n＝﹣，
∴4x2+6x+＝0，
解得x＝﹣，
此时P（﹣，﹣），
过点P作PH⊥x轴交于H，交AC于G，
∴G（﹣，﹣），H（﹣，0），
∴HG＝，AH＝，PG＝，
∴tan∠AGH＝，
∴sin∠AGH＝，
∵∠AGH＝∠PGM，∠PMG＝90°，
∴＝，
∴PM＝×，
∴PM＝；
（3）MN恒过一定点，理由如下：
∵y＝4x2+4x＝4（x+）2﹣1，
∴平移后的函数解析式为y＝4x2﹣1，
设直线MN的解析式为y＝kx+b，M（x1，4x12﹣1），N（x2，4x22﹣1），
联立方程组，
整理得，4x2﹣kx﹣b﹣1＝0，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
过M点作MD⊥x轴交于D，过N点作NE⊥x轴交于E，
∵B（0，0），MB⊥NB，
∴∠MON＝90°，
∵∠MOD+∠NOE＝90°，∠MOD+∠OMD＝90°，
∴∠NOE＝∠OMD，
∴△MOD∽△ONE，
∴＝，即﹣x1•x2＝（4x12﹣1）•（4x22﹣1），
∴2b+1＝，
∴y＝kx+﹣＝k（x+）﹣，
∴直线经过定点（﹣，﹣）．


【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
25．（10分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．
（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；
①其中有两内角分别为30°，60°的三角形 　×　；
②其中有两内角分别为50°，60°的三角形 　×　；
③其中有两内角分别为70°，100°的三角形 　√　；
（2）如图1，点A在双曲线y＝（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．
①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；
②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ＝，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．


【分析】（1）①三角形中最小的两个角的和是90°，则三角形不是“CJ三角形”；
②三角形中最小的两个角的和大于90°，则三角形不是“CJ三角形”；
③三角形中最小的两个角分别为10°和70°，则三角形是“CJ三角形”；
（2）①利用勾股定理求k的值即可，确定k的值可知∠ABO＝30°，∠BAC＝30°，再根据定义证明即可；
②分两种情况讨论：当∠ABO＝∠OBD时，△OAB∽△DOB，D（0，﹣）；当∠ABO＝∠ODB时，△OAB∽△BOD，D（0，4）；
（3）过点E作EM⊥x轴交于M，过点C作CN⊥x轴交于N，求出E（4﹣t，t），由于△BEA是“CJ三角形”，分两种情况讨论：当∠CAE＝∠EAB时，E（0，3）t＝5；当∠CAE＝∠CBA时，t＝（不合题意）；则可求tan∠ABQ＝，BQ与y轴的交点为（0，2）或（0，﹣2），经过B（4，0），（0，﹣2）的直线y＝x﹣2与抛物线有唯一交点，联立方程组，得到Δ＝（b﹣）2﹣4a（c+2）＝0①，将A（﹣6，0），E（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得到②，联立①②可求函数的解析式．
【解答】解：（1）①∵两内角分别为30°，60°，
∴30°+60°＝90°，
∴三角形不是“CJ三角形”，
故答案为：×；
②∵两内角分别为50°，60°，
∴50°+60°＝110°＞90°，
∴三角形不是“CJ三角形”，
故答案为：×；
③∵两内角分别为70°，100°，
∴三角形的另一个内角是10°，
∵2×10°+70°＝90°，
∴三角形是“CJ三角形”，
故答案为：√；
（2）①∵点A在双曲线y＝（k＞0）上且横坐标为1，
∴A（1，k），
∵点B（4，0），C为OB中点，
∴C（2，0），
∵∠OAB＝90°，
∴OA2+AB2＝OB2，
∴1+k2+9+k2＝16，
解得k＝±，
∵k＞0，
∴k＝，
∴AO＝2，
∴∠ABO＝30°，
∵C为OB中点，
∴AC＝BC＝OC，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴2∠ABC+∠CAB＝90°，
∴△ABC是“CJ三角形”；
②∵∠OAB＝90°，∠ODB＝90°，
∴∠ABO＝∠OBD或∠ABO＝∠ODB，
当∠ABO＝∠OBD时，△OAB∽△DOB，
∴＝，即＝，
解得OD＝，
∴D（0，﹣）；
当∠ABO＝∠ODB时，△OAB∽△BOD，
∴＝，即＝，
解得OD＝4，
∴D（0，4）；
综上所述：D点坐标为（0，﹣）或（0，4）；
（3）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵A（﹣6，0），
∴B（4，0），
过点E作EM⊥x轴交于M，过点C作CN⊥x轴交于N，
∵sin∠CBA＝＝，cos∠CBA＝＝，EB＝t，
∴EM＝t，BM＝t
∴E（4﹣t，t），
∵△ABE是“CJ三角形”，
∴∠CAE＝∠EAB或∠CAE＝∠CBA，
当∠CAE＝∠EAB时，CE＝EM，
∴8﹣t＝t，
解得t＝5，
∴E（0，3）；
当∠CAE＝∠CBA时，tan∠CBA＝＝，
解得t＝，
∵BE＞CE，
∴t＞8﹣t，
∴t＞4，
∴t＝不合题意；
∵tan∠ABQ＝，
∴tan∠ABQ＝，
∵OB＝4，
∴BQ与y轴的交点为（0，2）或（0，﹣2），
设经过B（4，0），（0，﹣2）的直线解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝x﹣2，
∵a＞0，符合条件的Q点个数为3个，
∴直线y＝x﹣2与抛物线有唯一交点，
∴联立方程组，
∴整理得，ax2+bx﹣x+c+2＝0，
∴Δ＝（b﹣）2﹣4a（c+2）＝0①，
将A（﹣6，0），E（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴②，
联立①②可得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+3．


【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，弄清定义是解题的关键．
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