数学必修 第一册1.1 集合的概念复习练习题

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1.1 集合的概念 一、元素与集合的概念及表示1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 二、元素的特性1、确定性给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如：著名的科学家、比较高的人、好人、、很难的题目等2、互异性一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．利用集合中元素的特异性求参数：（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 三、元素与集合的关系1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．2、元素与集合关系的判断方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 四、常用的数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法 或    五、列举法把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物． 六、描述法1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．2、用描述法表示集合（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．  题型一 判断元素能否构成集合【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（    ）A．某班视力较好的同学        B．长寿的人C．的近似值                 D．倒数等于它本身的数【答案】D【解析】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于C，的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，故不能构成集合；对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.  【变式1-1】下列各对象可以组成集合的是（    ）A．与非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师【答案】B【解析】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.故选：B.  【变式1-2】面各组对象中不能形成集合的是（    ）A．所有的直角三角形                    B．一次函数C．高一年级中家离学校很远的学生        D．大于2的所有实数【答案】C【解析】所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合，而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，故选：C  【变式1-3】给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（    ）A．①③        B．①②        C．①②③        D．①②③④【答案】A【解析】① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合.② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合.③ 方程的实数根是确定，所以能构成集合.④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合. 故选：A  【变式1-4】下面能构成集合的是（    ）A．中国的小河流              B．大于5小于11的偶数C．高一年级的优秀学生        D．某班级跑得快的学生【答案】B【解析】由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于B，大于5小于11的偶数为，可以构成集合；对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.故选：B.  题型二 判断元素与集合的关系【例2】下列关系中正确的个数是（    ）①，  ②，  ③，  ④A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】①不是整数，故错误②是实数，故正确③不是正整数，故错误④是无理数，故正确。故选：B  【变式2-1】给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（   ）A．1        B．2        C．3        D．4【答案】B【解析】是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.所以正确的个数为2.故选：B.  【变式2-2】给出下列四个关系：π∈R， 0∉Q ，0.7∈N， 0∈∅，其中正确的关系个数为（    ）A．4        B．3        C．2        D．1【答案】D【解析】∵R表示实数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，∅表示空集，∴π∈R，0∈Q，0.7∉N，0∉∅，∴正确的个数为1，故选:D.  【变式2-3】（多选）下列关系中，正确的是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】AD【解析】因为是整数集，故，所以A正确；因为是实数集，故，所以B错误；因为是有理数集，故，所以C错误；因为是自然数集，故，所以D正确，故选：AD.  题型三 利用元素的互异性求参数【例3】如果有一集合含有两个元素：x，，则实数x的取值范围是________．【答案】且【解析】由集合元素的互异性可得，解得且.故答案为：且.  【变式3-1】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.【答案】－1【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.  【变式3-2】已知集合由，，组成，且，求__．【答案】【解析】根据题意，，，，因，于是有：若，则，此时集合中元素为，，2，不满足集合元素的互异性，不符合题意，若，即，解得或，时，此时集合中元素为，，，符合题意，显然不符合题意；若，无解，综上得：．  【变式3-3】由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（    ）A．1个        B．2个        C．3个        D．4个【答案】A【解析】当时，，当时，三个数分别为2，4，1，符合元素的互异性；当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；当时，三个数分别为5，5，2，不符合元素的互异性.所以实数a的值可能为1，只有一个.故选：A  题型四 用列举法表示集合【例4】已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（    ）A．{x|x=1}        B．{x|x=2}        C．{1，2}        D．{1，2，3}【答案】D【解析】由于集合是由三个元素构成，所以.故选：D  【变式4-1】设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（  ）A．{长江，黄河}        B．{长江，黑龙江}C．{长江，珠江}        D．{长江，黄河，黑龙江，珠江}【答案】D【解析】∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}.故选：D.  【变式4-2】方程的所有实数根组成的集合为（    ）A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C  【变式4-3】方程组的解集是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】A【解析】由可得：或.所以方程组的解集是.故选：A  【变式4-4】（多选）下列集合中，可以表示为的是（    ）A．方程的解集        B．最小的两个质数C．大于1小于4的整数           D．不等式组的整数解【答案】BCD【解析】对于A，方程的解集为，不符合；对于B，最小的两个质数构成的集合，符合；对于C，大于1小于4的整数构成的集合，符合；对于D，由，可得，即，故整数解集为，符合.故选：BCD  题型五 用描述法表示集合【例5】用描述法表示下列集合：（1）比1大又比10小的实数组成的集合；（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合．【答案】（1）{xR|1<x<10}；（2）{(x，y)|x<0，且y>0}；（3）{x|x＝3n＋1，nN}.【解析】（1）{xR|1<x<10}；（2）集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}；（3）{x|x＝3n＋1，nN}．  【变式5-1】对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（    ）A．{ x |是小于18的正奇数}        B．C．        D．【答案】D【解析】对于A：{ x |是小于18的正奇数}=，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D  【变式5-2】集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（    ）A．{x|x=2n±1，n∈Z}        B．{x|x=2n+1，n∈Z}C．{x|x=2n+1，n∈N*}       D．{x|x=2n+1，n∈N}【答案】D【解析】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.  【变式5-3】用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______．【答案】【解析】被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，因此．  【变式5-4】用描述法表示下图中的阴影部分可以是________．【答案】【解析】可以用来表示图中阴影部分.