高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念一课一练

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7.1.2复数的几何意义-----专项检测卷(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，（1＋i）x＝2＋yi，其中x，y∈R，则｜x＋yi｜＝A．2 B．2 C．4 D．【答案】A【分析】首先求得x,y的值，然后求解复数的模即可.【详解】由题意可得：，结合复数的充分必要条件可知：，则，.本题选择A选项.2.在复平面内,复数与分别对应向量和,其中O为坐标原点,则=（       ）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案．【详解】因为复数与分别对应向量和，所以向量和，所以，则，故选C．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．3.设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(　　)．A．复数z对应的点在第一象限B．复数z一定不是纯虚数C．复数z对应的点在实轴上方D．复数z一定是实数【答案】C【详解】∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数，排除D.又z的实部2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)可为正、为零、为负，∴选项A、B不正确．选C. 4.下列命题中，真命题是（       ）．A．虚数所对应的点在虚轴上B．“”是“复数是纯虚数”的充分非必要条件C．若，则D．“”是“”的必要非充分条件【答案】D【分析】根据复数的定义，复数的几何意义，复数相等的定义，充分必要条件的定义判断．【详解】复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A错；表示纯虚数的条件是且，因此B错；时，也有，C错；时有，但时也有，D正确．故选：D． 5.已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：因为在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得，，因为，所以，则，所以复数z的模的取值范围是.故选：A.6.已知复数，满足，复数z的实部为，则复数z的虚部是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数z的实部为，结合，由求解.【详解】因为复数z的实部为，所以，因为，所以，解得，（舍去），所以复数z的虚部．故选：A 7.设复数（为虚数单位）.若对任意实数，，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可知，令，即可求出的范围.【详解】因为对任意，，则,，，解得.故选：C.8.已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（       ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】解方程求出两个复数根，从而可得、两点的坐标，再求出，进而可得三角形的面积【详解】解：方程的根为，即，，所以，所以，，，所以，所以，故选：B  二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于复数的命题中正确的是（       ）A．若是虚数，则不是实数B．若，且，则C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D．复数对应的点在实轴上方【答案】AD【分析】由虚数的概念可判断ABC，由复数的几何意义可判断D.【详解】对于A，根据虚数的定义，A正确；对于B，虚数不能比较大小，B错误；对于C，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C错误；对于D，对应点的坐标为，因为，所以点在轴上方，D正确．故选：AD． 10.设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（       ）A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则C．若复数是纯虚数，则D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则【答案】AC【分析】由，得，然后逐个分析判断即可【详解】由，得，对于A，当时，，，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，对于B，若复数在复平面上对应的点位于直线上，则，解得，所以B错误，对于C，若复数是纯虚数，则且，解得，所以C正确，对于D，由，得，则，由，得，，得或，所以D错误，故选：AC 11.已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（       ）A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限B．当时，为纯虚数C．最大值为D．的共轭复数为【答案】BC【分析】利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.【详解】对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；对于C，，最大值为，故C正确；对于D，的共轭复数为，故D错误.故选：BC. 12.设为复数，在复平面内、对应的点分别为、，坐标原点为，则下列命题中正确的有（       ）A．当为纯虚数时，三点共线B．当时，为等腰直角三角形C．对任意复数，D．当为实数时，【答案】ABD【分析】设，则，对A、C、D按要求写出复数对应的坐标，即可判断正误；对B写出，坐标并求出各边的长度即可判断C的正误.【详解】设，则，对A：当为纯虚数时，，对应的点分别为、，均在轴上，所以三点共线，故A正确；对B: 当时，，所以，，所以，而，所以，所以为等腰直角三角形，故B正确；对C：,,当时，，故C错误；对D：当为实数时，，此时，故D正确.故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝______.高中数学人教版 选修1-2（文科） 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念（包括【答案】i【详解】解法一：设z＝x＋yi（x，y∈R），由题意，得x＋yi－＝－1＋i，即（x－）＋yi＝－1＋i.根据复数相等的条件，得解得∴z＝i. 14.若复数对应的点位于第二象限，则的取值范围是_______.【答案】根据复数的几何意义，可知复数对应的点的坐标为，再根据该点位于第二象限，得即 ，而，再用二次函数法求其取值范围.【详解】因为复数对应的点的坐标为，又因为该点位于第二象限，所以解得.所以，因为，所以.故答案为： 15.若复数(其中为虚数单位)所对应的向量分别为和，则的面积为__________.【答案】【分析】由已知可得，，，再求出复数的模，利用余弦定理及三角形面积公式从而可得的面积.【详解】因为，，，所以，，.由余弦定理可得,所以，所以的面积.故答案为：16.在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cos(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________.【答案】【分析】当时，求得点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积.【详解】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，π)，如图：当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积.因为∠=2×=，所以扇形的面积为等于.故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知复数，根据以下条件分别求实数的值或范围.（1）是纯虚数；（2）对应的点在复平面的第二象限.【答案】(1) m=3.(2) 或.【详解】试题分析：（1）由纯虚数，可知实部等于0，虚部不等于0，即．（2）对应点在第二象限，所以实部小于0，且对数的真数大于0，虚部大于0，即．试题解析：（1）由是纯虚数得即       所以m=3. （2）根据题意得，由此得，即或.  18.（12分） 在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是，，0，求第四个顶点对应的复数．【答案】【分析】如图，由即得解.【详解】解：如图，，对应的复数为：，点对应的复数为．19.（12分）复数，当m取何实数时：(1)z为实数；(2)z为纯虚数；(3)z对应的点在复平面上实轴的上半部分．【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）由虚部为0可得；（2）由实部为0，虚部不为0可得；（3）由虚部大于0可得．(1)因为z为实数，所以，解得或(2)由z为纯虚数，则解得(3)由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或 20.（12分）设复数，当取何实数时：(1)复数z为纯虚数；(2)在复平面上表示z的点位于第三象限；(3)表示z的点在直线上．【答案】(1)复数不可能为纯虚数(2)(3)【分析】（1）由实部等于0，虚部不等于0可得；（2）由实部小于0，虚部小于0可得；（3）用实部代入，用虚部代入求解可得．(1)由为纯虚数，则该组条件无解，所以复数不可能为纯虚数；(2)由表示的点位于第三象限，则解得；(3)由表示的点在直线上，则，解得．  21.（12分）为复平面内的平行四边形，向量对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为．（1）求点对应的复数；（2）判断、、、四点是否在同一个圆上？并证明你的结论．【答案】（1）；（2）、、、四点共圆；证明见解析．【分析】（1）将复数对应的向量化为坐标形式，根据向量运算法则求得， ，再由求得D点坐标，写成复数形式即可；（2）由，得，故四边形为矩形，从而有 、、、四点共圆．【详解】解：（1）由题意知，，，，所以，同理，由，得，则点对应的复数．（2）由，得，即．四边形为矩形、、、四点共圆．  22.（12分）对任意的复数，定义运算．则直线：上是否存在整点（、均为整数的点），使得复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．【答案】存在满足条件的整点、．【分析】写出对应点坐标为，，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数．【详解】解：对应点坐标为，由题意，得，，①当，时，得不成立；②当，时，得，成立，此时或，故存在满足条件的整点、．