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2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第9章第9讲 抛物线（一）Word版含解析
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这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第9章第9讲 抛物线（一）Word版含解析，共20页。试卷主要包含了抛物线的概念，抛物线的标准方程与几何性质，过点P的抛物线的标准方程可以是，O为坐标原点，F为抛物线C，设抛物线C，圆O等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离eq \x(\s\up1(01))相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的eq \x(\s\up1(02))焦点，直线l叫做抛物线的eq \x(\s\up1(03))准线.
2．抛物线的标准方程与几何性质
抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
1．抛物线y＝2x2的准线方程为( )
A．y＝－eq \f(1,8) B．y＝－eq \f(1,4)
C．y＝－eq \f(1,2) D．y＝－1
答案 A
解析 由y＝2x2，得x2＝eq \f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq \f(1,8)，故选A.
2．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
答案 C
解析 设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝12，即9＋eq \f(p,2)＝12，解得p＝6.故选C.
3．(多选)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程可以是( )
A．y2＝－eq \f(9,2)x B．y2＝eq \f(9,2)x
C．x2＝－eq \f(4,3)y D．x2＝eq \f(4,3)y
答案 AD
解析 设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－eq \f(9,2)，m＝eq \f(4,3)，所以y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y，选AD.
4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq \r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq \r(2)，则△POF的面积为( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．2eq \r(3) D．4
答案 C
解析 利用|PF|＝xP＋eq \r(2)＝4eq \r(2)，可得xP＝3eq \r(2)，∴yP＝±2eq \r(6).∴S△POF＝eq \f(1,2)|OF|·|yP|＝2eq \r(3).故选C.
5．(2022·河北邯郸月考)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
答案 4
解析 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
6．若点P到点F(0,2)的距离比点P到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为________.
答案 x2＝8y
解析 由题意可知，点P到点F(0,2)和点P到直线y＝－2的距离相等，即动点P在以F(0，2)为焦点，以y＝－2为准线的抛物线上，从而eq \f(p,2)＝2，即p＝4，∴点P的轨迹方程为x2＝8y.
考向一 抛物线的定义及标准方程
例1 (1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A．x＝－4 B．x＝4
C．y2＝8x D．y2＝16x
答案 D
解析 ∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M的轨迹方程为y2＝16x.
(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.
答案 x2＝4y
解析 因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,2p)))，则点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(p,2))).因为焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，△FPM是等边三角形，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2＋m2)＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝12，,p＝2，))因此抛物线的方程为x2＝4y.
(3)(2021·北京高考)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.
答案 5 4eq \r(5)
解析 因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)．因为|FM|＝6，所以xM＋eq \f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq \r(5)，所以S△FMN＝eq \f(1,2)×(5－1)×2eq \r(5)＝4eq \r(5).
抛物线标准方程的求法
求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)．
1.动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案 D
解析 设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线，故选D.
2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设M(x0，y0)，由抛物线的定义，知|MF|＝x0＋eq \f(p,2)＝5，得x0＝5－eq \f(p,2)，则以MF为直径的圆的圆心横坐标为eq \f(5,2)，而圆的半径为eq \f(5,2)，于是得该圆与y轴相切于点(0,2)，得圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)，4))，从而有42＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)))，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
多角度探究突破
考向二 与抛物线有关的最值问题
角度 到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题
例2 (1)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A．(0,0) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．(1，eq \r(2)) D．(2,2)
答案 D
解析 过M点作准线的垂线，垂足为N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2，2)．
(2)(2021·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________.
答案 5
解析 依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到直线y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.
角度 到定直线的距离最小问题
例3 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B．2
C．eq \f(11,5) D．3
答案 B
解析 由题意可知l2：x＝－1 是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，如图所示，所以最小值是eq \f(|4－0＋6|,5)＝2.
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
3.在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
答案 B
解析 如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同，即为1，则可排除A，C，D，故选B.
4．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )
A.eq \r(3) B．eq \r(5)
C．2 D．eq \r(5)－1
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为eq \f(|2＋3|,\r(22＋－12))＝eq \r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值为eq \r(5)－1.
考向三 抛物线的几何性质
例4 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
C．(1,0) D．(2,0)
答案 B
解析 因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p＞0)交于D，E两点，且OD⊥OE，不妨设点D在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx＝∠EOx＝eq \f(π,4)，所以D(2,2)，代入y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，所以其焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).故选B.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
答案 x＝－eq \f(3,2)
解析 解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－eq \f(1,2).所以直线PQ的方程为y－p＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2))).令y＝0，得x＝eq \f(5,2)p.所以|FQ|＝eq \f(5,2)p－eq \f(p,2)＝2p＝6，所以p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－eq \f(3,2).
解法二：由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．
(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
5.A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( )
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－2 D．y＝－2
答案 A
解析 过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，所以|BF|＝|AF|＝4，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1，故选A.
6．(2021·福州三模)如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置．由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上．现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为2eq \r(3) m，灶深CD为0.5 m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为( )
A．3 m B．1.5 m
C．1 m D．0.75 m
答案 B
解析 由题意建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合．设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由题意可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(3)))，将A点坐标代入抛物线的方程可得，3＝2p×eq \f(1,2)，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为eq \f(3,2)＝1.5 m．故选B.
一、单项选择题
1．(2021·枣庄二模)已知点(1,1)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，则C的焦点到其准线的距离为( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．1 D．2
答案 B
解析 由点(1,1)在抛物线上，易知1＝2p，p＝eq \f(1,2)，故焦点到其准线的距离为eq \f(1,2).故选B.
2．(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq \r(2)，则p＝( )
A．1 B．2
C．2eq \r(2) D．4
答案 B
解析 抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，其到直线x－y＋1＝0的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq \r(2)，解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B.
3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 A
解析 由题意知抛物线的准线方程为x＝－eq \f(1,4).因为|AF|＝eq \f(5,4)x0，根据抛物线的定义可得x0＋eq \f(1,4)＝|AF|＝eq \f(5,4)x0，解得x0＝1.故选A.
4．(2021·人大附中模拟)聚光式太阳灶(如图1)广泛应用于我国西部农村地区．其轴截面图(如图2)中，点F为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点A与焦点F关于其外沿所在的平面对称．已知A，F两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径(外沿所在圆的直径)大约为( )
A．1.2米 B．1.4米
C．1.6米 D．1.8米
答案 B
解析 建立坐标系，使得抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由A，F两点间的距离为0.5米，得eq \f(p,2)＝0.5，所以p＝1，所以y2＝2x.因为AF中点的横坐标为eq \f(1,4)，即x＝eq \f(1,4)，y2＝eq \f(1,2)，所以y＝±eq \f(\r(2),2)，所以弦长|BC|＝eq \r(2)≈1.4(米)，最大口径就是BC的长，故选B.
5．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|Feq \(B,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 由题意可知，点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，又F为△ABC的重心，故eq \f(xA＋xB＋xC,3)＝eq \f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq \f(3,2).又由抛物线的定义可知|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.故选C.
6．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( )
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
答案 B
解析 如图所示，因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
7．(2021·重庆模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M(5，y0)为抛物线C上一点，以M为圆心的圆M与准线l相切，且过点E(9,0)，则抛物线的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝2x
C．y2＝36x D．y2＝4x或y2＝36x
答案 D
解析 由抛物线的定义知，圆M经过焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，点M的横坐标为5，由题意，当E，F不重合时，M是线段EF垂直平分线上的点，∴5＝eq \f(\f(p,2)＋9,2)，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x；当E，F重合时，eq \f(p,2)＝9，∴p＝18，∴抛物线C的方程为y2＝36x.故选D.
8．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4eq \r(3)，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝eq \f(15x,2)
答案 B
解析 设M(x，y)，因为|OF|＝eq \f(p,2)，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋eq \f(p,2)＝2p，所以x＝eq \f(3,2)p，所以y＝±eq \r(3)p，又△MFO的面积为4eq \r(3)，所以eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×eq \r(3)p＝4eq \r(3)，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.故选B.
9．圆O：x2＋y2＝r2与抛物线Γ：y2＝4x交于A，B两点，与Γ的准线交于C，D两点，若四边形ABCD为矩形，则该矩形的面积为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
答案 C
解析 因为CD在准线上，根据矩形的对称性可得AB过焦点F，则|AF|＝|DA|且AF⊥x轴，所以A(1，±2)，故|AF|＝|DA|＝2，从而|AB|＝4，故矩形的面积为2×4＝8.故选C.
10．已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A(1,2)，B(－1,2)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为( )
A．2＋eq \r(17) B．1＋eq \r(17)
C．3 D．4
答案 B
解析 设抛物线y2＝2x的焦点为F，则四边形ABNM的周长l＝|AB|＋2|AM|＋2xM＝2＋2|AM|＋2|MF|－1≥1＋2|AF|＝1＋eq \r(17)，当A，M，F共线时取等号．故选B.
二、多项选择题
11．已知点A(－2,4)在抛物线y2＝－2px(p＞0)上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是( )
A．抛物线的准线方程为x＝2
B．抛物线的焦点坐标为(－2,0)
C．点B的坐标为(－2，－2)
D．△OAB的面积为8
答案 ABD
解析 将A(－2,4)代入抛物线方程可得p＝4，因此抛物线方程为y2＝－8x，所以准线方程为x＝2，焦点坐标为(－2,0)，故A，B正确；易知AF⊥x轴，所以B(－2，－4)，故C错误；又因为|AB|＝8，所以S△OAB＝eq \f(1,2)×8×2＝8，故D正确．故选ABD.
12．(2022·湖南郴州高三检测)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则( )
A．C的准线方程为x＝－4
B．点F的坐标为(0,4)
C．|FN|＝12
D．△ONF的面积为16eq \r(2)(O为坐标原点)
答案 ACD
解析 如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4,0)，则|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线|MB|＝eq \f(|AN|＋|FF′|,2)＝6，由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝eq \r(122－42)＝8eq \r(2)，S△ONF＝eq \f(1,2)×8eq \r(2)×4＝16eq \r(2).故选ACD.
三、填空题
13．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________.
答案 eq \f(\r(7),2)
解析 设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝eq \r(x－22＋y2)＝eq \r(x－22＋x)＝eq \r(x2－3x＋4)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).所以当x＝eq \f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq \f(\r(7),2).
14.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则eq \f(b,a)＝________.
答案 1＋eq \r(2)
解析 依题知Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－a))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋b，b))，因为点C，F在抛物线上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝pa，,b2＝pa＋2b，))两式相除得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2－2×eq \f(b,a)－1＝0，解得eq \f(b,a)＝1＋eq \r(2)或eq \f(b,a)＝1－eq \r(2)(舍去)．
15.如图，圆锥底面半径为eq \r(2)，体积为eq \f(2\r(2)π,3)，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以点E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于________.
答案 1
解析 由V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)π×(eq \r(2))2×PO＝eq \f(2\r(2)π,3)，得PO＝eq \r(2)，则PB＝2，OE＝1，OC＝OD＝eq \r(2).以E为坐标原点，OE所在直线为x轴，过E点与CD平行的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C(－1，eq \r(2))．设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，∴(eq \r(2))2＝－2p×(－1)，解得p＝1，故焦点到其准线的距离等于1.
16．(2022·江苏淮安诊断考试)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(－1,0)，则eq \f(|PF|,|PA|)的最小值为________；当eq \f(|PF|,|PA|)取得最小值时，直线AP的方程为________.
答案 eq \f(\r(2),2) x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0
解析 设点P的坐标为(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(－1,0)，∴|PF|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，
|PA|2＝(4t2＋1)2＋16t2＝16t4＋24t2＋1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF|,|PA|)))2＝eq \f(16t4＋8t2＋1,16t4＋24t2＋1)＝1－eq \f(16t2,16t4＋24t2＋1)
＝1－eq \f(16,16t2＋\f(1,t2)＋24)≥1－eq \f(16,2\r(16t2·\f(1,t2))＋24)
＝1－eq \f(16,32)＝eq \f(1,2)，∵eq \f(|PF|,|PA|)>0，∴eq \f(|PF|,|PA|)的最小值为eq \f(\r(2),2)，
当且仅当16t2＝eq \f(1,t2)，即t＝±eq \f(1,2)时，eq \f(|PF|,|PA|)取得最小值eq \f(\r(2),2)，此时点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．∴直线AP的方程为y＝±(x＋1)，即x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0.
四、解答题
17．(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq \f(4,3)|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
解 (1)∵F(c,0)，AB⊥x轴且与椭圆C1相交于A，B两点，
则直线AB的方程为x＝c，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝c，,y＝±\f(b2,a)，))则|AB|＝eq \f(2b2,a).
抛物线C2的方程为y2＝4cx，把x＝c代入y2＝4cx，得y＝±2c，∴|CD|＝4c.
∵|CD|＝eq \f(4,3)|AB|，即4c＝eq \f(8b2,3a)，∴2b2＝3ac.
又b2＝a2－c2，∴2c2＋3ac－2a2＝0，
即2e2＋3e－2＝0，解得e＝eq \f(1,2)或e＝－2，
∵0＜e＜1，∴e＝eq \f(1,2)，∴椭圆C1的离心率为eq \f(1,2).
(2)由(1)知a＝2c，b＝eq \r(3)c，椭圆C1的方程为eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4cx，,\f(x2,4c2)＋\f(y2,3c2)＝1，))
消去y并整理得3x2＋16cx－12c2＝0，
解得x＝eq \f(2,3)c或x＝－6c(舍去)，
由抛物线的定义可得|MF|＝eq \f(2,3)c＋c＝eq \f(5c,3)＝5，
解得c＝3.
∴曲线C1的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1，
曲线C2的标准方程为y2＝12x.
18．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解 (1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，于是4＋eq \f(p,2)＝5，∴p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意，得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，∴kFA＝eq \f(4,3)，
∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq \f(3,4)，
∴直线FA的方程为y＝eq \f(4,3)(x－1)，①
直线MN的方程为y－2＝－eq \f(3,4)x，②
联立①②，解得x＝eq \f(8,5)，y＝eq \f(4,5)，
∴点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).
19.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为
y2＝2px(p>0)．
因为点P(1,2)在抛物线上，
所以22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
则kPA＝eq \f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq \f(y2－2,x2－1)(x2≠1)，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,②))
所以eq \f(y1－2,\f(1,4)y\\al(2,1)－1)＝－eq \f(y2－2,\f(1,4)y\\al(2,2)－1)，
所以y1＋2＝－(y2＋2)．
所以y1＋y2＝－4.
由①－②得，yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，
所以kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝－1(x1≠x2)．
20．(2022·湖北武汉入学考试)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB的中点的轨迹方程．
解 (1)证明：由题知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，
且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)，a))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,2)，b))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，a))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，b))，Req \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))).
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝eq \f(a－b,1＋a2)＝eq \f(a－b,a2－ab)＝eq \f(1,a)＝eq \f(－ab,a)＝－b＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝eq \f(1,2)|b－a||FD|＝eq \f(1,2)|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))，S△PQF＝eq \f(|a－b|,2).
由题设可得2×eq \f(1,2)|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))＝eq \f(|a－b|,2)，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE可得eq \f(2,a＋b)＝eq \f(y,x－1)(x≠1)．
而eq \f(a＋b,2)＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合．
所以所求轨迹方程为y2＝x－1.
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
eq \x(\s\up1(04))x轴
eq \x(\s\up1(05))y轴
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \x(\s\up1(06))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \x(\s\up1(07))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \x(\s\up1(08))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝eq \x(\s\up1(09))1
准线方程
eq \x(\s\up1(10))x＝－eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(11))x＝eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(12))y＝－eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(13))y＝eq \f(p,2)
范围
eq \x(\s\up1(14))x≥0，y∈R
eq \x(\s\up1(15))x≤0，y∈R
eq \x(\s\up1(16))y≥0，x∈R
eq \x(\s\up1(17))y≤0，x∈R
开口方向
向eq \x(\s\up1(18))右
向eq \x(\s\up1(19))左
向eq \x(\s\up1(20))上
向eq \x(\s\up1(21))下
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离eq \x(\s\up1(01))相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的eq \x(\s\up1(02))焦点，直线l叫做抛物线的eq \x(\s\up1(03))准线.
2．抛物线的标准方程与几何性质
抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
1．抛物线y＝2x2的准线方程为( )
A．y＝－eq \f(1,8) B．y＝－eq \f(1,4)
C．y＝－eq \f(1,2) D．y＝－1
答案 A
解析 由y＝2x2，得x2＝eq \f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq \f(1,8)，故选A.
2．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
答案 C
解析 设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝12，即9＋eq \f(p,2)＝12，解得p＝6.故选C.
3．(多选)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程可以是( )
A．y2＝－eq \f(9,2)x B．y2＝eq \f(9,2)x
C．x2＝－eq \f(4,3)y D．x2＝eq \f(4,3)y
答案 AD
解析 设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－eq \f(9,2)，m＝eq \f(4,3)，所以y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y，选AD.
4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq \r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq \r(2)，则△POF的面积为( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．2eq \r(3) D．4
答案 C
解析 利用|PF|＝xP＋eq \r(2)＝4eq \r(2)，可得xP＝3eq \r(2)，∴yP＝±2eq \r(6).∴S△POF＝eq \f(1,2)|OF|·|yP|＝2eq \r(3).故选C.
5．(2022·河北邯郸月考)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
答案 4
解析 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
6．若点P到点F(0,2)的距离比点P到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为________.
答案 x2＝8y
解析 由题意可知，点P到点F(0,2)和点P到直线y＝－2的距离相等，即动点P在以F(0，2)为焦点，以y＝－2为准线的抛物线上，从而eq \f(p,2)＝2，即p＝4，∴点P的轨迹方程为x2＝8y.
考向一 抛物线的定义及标准方程
例1 (1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A．x＝－4 B．x＝4
C．y2＝8x D．y2＝16x
答案 D
解析 ∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M的轨迹方程为y2＝16x.
(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.
答案 x2＝4y
解析 因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,2p)))，则点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(p,2))).因为焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，△FPM是等边三角形，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2＋m2)＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝12，,p＝2，))因此抛物线的方程为x2＝4y.
(3)(2021·北京高考)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.
答案 5 4eq \r(5)
解析 因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)．因为|FM|＝6，所以xM＋eq \f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq \r(5)，所以S△FMN＝eq \f(1,2)×(5－1)×2eq \r(5)＝4eq \r(5).
抛物线标准方程的求法
求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)．
1.动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案 D
解析 设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线，故选D.
2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设M(x0，y0)，由抛物线的定义，知|MF|＝x0＋eq \f(p,2)＝5，得x0＝5－eq \f(p,2)，则以MF为直径的圆的圆心横坐标为eq \f(5,2)，而圆的半径为eq \f(5,2)，于是得该圆与y轴相切于点(0,2)，得圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)，4))，从而有42＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)))，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
多角度探究突破
考向二 与抛物线有关的最值问题
角度 到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题
例2 (1)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A．(0,0) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．(1，eq \r(2)) D．(2,2)
答案 D
解析 过M点作准线的垂线，垂足为N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2，2)．
(2)(2021·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________.
答案 5
解析 依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到直线y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.
角度 到定直线的距离最小问题
例3 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B．2
C．eq \f(11,5) D．3
答案 B
解析 由题意可知l2：x＝－1 是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，如图所示，所以最小值是eq \f(|4－0＋6|,5)＝2.
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
3.在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
答案 B
解析 如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同，即为1，则可排除A，C，D，故选B.
4．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )
A.eq \r(3) B．eq \r(5)
C．2 D．eq \r(5)－1
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为eq \f(|2＋3|,\r(22＋－12))＝eq \r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值为eq \r(5)－1.
考向三 抛物线的几何性质
例4 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
C．(1,0) D．(2,0)
答案 B
解析 因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p＞0)交于D，E两点，且OD⊥OE，不妨设点D在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx＝∠EOx＝eq \f(π,4)，所以D(2,2)，代入y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，所以其焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).故选B.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
答案 x＝－eq \f(3,2)
解析 解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－eq \f(1,2).所以直线PQ的方程为y－p＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2))).令y＝0，得x＝eq \f(5,2)p.所以|FQ|＝eq \f(5,2)p－eq \f(p,2)＝2p＝6，所以p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－eq \f(3,2).
解法二：由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．
(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
5.A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( )
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－2 D．y＝－2
答案 A
解析 过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，所以|BF|＝|AF|＝4，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1，故选A.
6．(2021·福州三模)如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置．由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上．现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为2eq \r(3) m，灶深CD为0.5 m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为( )
A．3 m B．1.5 m
C．1 m D．0.75 m
答案 B
解析 由题意建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合．设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由题意可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(3)))，将A点坐标代入抛物线的方程可得，3＝2p×eq \f(1,2)，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为eq \f(3,2)＝1.5 m．故选B.
一、单项选择题
1．(2021·枣庄二模)已知点(1,1)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，则C的焦点到其准线的距离为( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．1 D．2
答案 B
解析 由点(1,1)在抛物线上，易知1＝2p，p＝eq \f(1,2)，故焦点到其准线的距离为eq \f(1,2).故选B.
2．(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq \r(2)，则p＝( )
A．1 B．2
C．2eq \r(2) D．4
答案 B
解析 抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，其到直线x－y＋1＝0的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq \r(2)，解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B.
3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 A
解析 由题意知抛物线的准线方程为x＝－eq \f(1,4).因为|AF|＝eq \f(5,4)x0，根据抛物线的定义可得x0＋eq \f(1,4)＝|AF|＝eq \f(5,4)x0，解得x0＝1.故选A.
4．(2021·人大附中模拟)聚光式太阳灶(如图1)广泛应用于我国西部农村地区．其轴截面图(如图2)中，点F为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点A与焦点F关于其外沿所在的平面对称．已知A，F两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径(外沿所在圆的直径)大约为( )
A．1.2米 B．1.4米
C．1.6米 D．1.8米
答案 B
解析 建立坐标系，使得抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由A，F两点间的距离为0.5米，得eq \f(p,2)＝0.5，所以p＝1，所以y2＝2x.因为AF中点的横坐标为eq \f(1,4)，即x＝eq \f(1,4)，y2＝eq \f(1,2)，所以y＝±eq \f(\r(2),2)，所以弦长|BC|＝eq \r(2)≈1.4(米)，最大口径就是BC的长，故选B.
5．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|Feq \(B,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 由题意可知，点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，又F为△ABC的重心，故eq \f(xA＋xB＋xC,3)＝eq \f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq \f(3,2).又由抛物线的定义可知|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.故选C.
6．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( )
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
答案 B
解析 如图所示，因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
7．(2021·重庆模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M(5，y0)为抛物线C上一点，以M为圆心的圆M与准线l相切，且过点E(9,0)，则抛物线的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝2x
C．y2＝36x D．y2＝4x或y2＝36x
答案 D
解析 由抛物线的定义知，圆M经过焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，点M的横坐标为5，由题意，当E，F不重合时，M是线段EF垂直平分线上的点，∴5＝eq \f(\f(p,2)＋9,2)，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x；当E，F重合时，eq \f(p,2)＝9，∴p＝18，∴抛物线C的方程为y2＝36x.故选D.
8．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4eq \r(3)，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝eq \f(15x,2)
答案 B
解析 设M(x，y)，因为|OF|＝eq \f(p,2)，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋eq \f(p,2)＝2p，所以x＝eq \f(3,2)p，所以y＝±eq \r(3)p，又△MFO的面积为4eq \r(3)，所以eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×eq \r(3)p＝4eq \r(3)，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.故选B.
9．圆O：x2＋y2＝r2与抛物线Γ：y2＝4x交于A，B两点，与Γ的准线交于C，D两点，若四边形ABCD为矩形，则该矩形的面积为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
答案 C
解析 因为CD在准线上，根据矩形的对称性可得AB过焦点F，则|AF|＝|DA|且AF⊥x轴，所以A(1，±2)，故|AF|＝|DA|＝2，从而|AB|＝4，故矩形的面积为2×4＝8.故选C.
10．已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A(1,2)，B(－1,2)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为( )
A．2＋eq \r(17) B．1＋eq \r(17)
C．3 D．4
答案 B
解析 设抛物线y2＝2x的焦点为F，则四边形ABNM的周长l＝|AB|＋2|AM|＋2xM＝2＋2|AM|＋2|MF|－1≥1＋2|AF|＝1＋eq \r(17)，当A，M，F共线时取等号．故选B.
二、多项选择题
11．已知点A(－2,4)在抛物线y2＝－2px(p＞0)上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是( )
A．抛物线的准线方程为x＝2
B．抛物线的焦点坐标为(－2,0)
C．点B的坐标为(－2，－2)
D．△OAB的面积为8
答案 ABD
解析 将A(－2,4)代入抛物线方程可得p＝4，因此抛物线方程为y2＝－8x，所以准线方程为x＝2，焦点坐标为(－2,0)，故A，B正确；易知AF⊥x轴，所以B(－2，－4)，故C错误；又因为|AB|＝8，所以S△OAB＝eq \f(1,2)×8×2＝8，故D正确．故选ABD.
12．(2022·湖南郴州高三检测)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则( )
A．C的准线方程为x＝－4
B．点F的坐标为(0,4)
C．|FN|＝12
D．△ONF的面积为16eq \r(2)(O为坐标原点)
答案 ACD
解析 如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4,0)，则|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线|MB|＝eq \f(|AN|＋|FF′|,2)＝6，由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝eq \r(122－42)＝8eq \r(2)，S△ONF＝eq \f(1,2)×8eq \r(2)×4＝16eq \r(2).故选ACD.
三、填空题
13．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________.
答案 eq \f(\r(7),2)
解析 设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝eq \r(x－22＋y2)＝eq \r(x－22＋x)＝eq \r(x2－3x＋4)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).所以当x＝eq \f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq \f(\r(7),2).
14.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则eq \f(b,a)＝________.
答案 1＋eq \r(2)
解析 依题知Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－a))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋b，b))，因为点C，F在抛物线上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝pa，,b2＝pa＋2b，))两式相除得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2－2×eq \f(b,a)－1＝0，解得eq \f(b,a)＝1＋eq \r(2)或eq \f(b,a)＝1－eq \r(2)(舍去)．
15.如图，圆锥底面半径为eq \r(2)，体积为eq \f(2\r(2)π,3)，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以点E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于________.
答案 1
解析 由V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)π×(eq \r(2))2×PO＝eq \f(2\r(2)π,3)，得PO＝eq \r(2)，则PB＝2，OE＝1，OC＝OD＝eq \r(2).以E为坐标原点，OE所在直线为x轴，过E点与CD平行的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C(－1，eq \r(2))．设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，∴(eq \r(2))2＝－2p×(－1)，解得p＝1，故焦点到其准线的距离等于1.
16．(2022·江苏淮安诊断考试)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(－1,0)，则eq \f(|PF|,|PA|)的最小值为________；当eq \f(|PF|,|PA|)取得最小值时，直线AP的方程为________.
答案 eq \f(\r(2),2) x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0
解析 设点P的坐标为(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(－1,0)，∴|PF|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，
|PA|2＝(4t2＋1)2＋16t2＝16t4＋24t2＋1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF|,|PA|)))2＝eq \f(16t4＋8t2＋1,16t4＋24t2＋1)＝1－eq \f(16t2,16t4＋24t2＋1)
＝1－eq \f(16,16t2＋\f(1,t2)＋24)≥1－eq \f(16,2\r(16t2·\f(1,t2))＋24)
＝1－eq \f(16,32)＝eq \f(1,2)，∵eq \f(|PF|,|PA|)>0，∴eq \f(|PF|,|PA|)的最小值为eq \f(\r(2),2)，
当且仅当16t2＝eq \f(1,t2)，即t＝±eq \f(1,2)时，eq \f(|PF|,|PA|)取得最小值eq \f(\r(2),2)，此时点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．∴直线AP的方程为y＝±(x＋1)，即x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0.
四、解答题
17．(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq \f(4,3)|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
解 (1)∵F(c,0)，AB⊥x轴且与椭圆C1相交于A，B两点，
则直线AB的方程为x＝c，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝c，,y＝±\f(b2,a)，))则|AB|＝eq \f(2b2,a).
抛物线C2的方程为y2＝4cx，把x＝c代入y2＝4cx，得y＝±2c，∴|CD|＝4c.
∵|CD|＝eq \f(4,3)|AB|，即4c＝eq \f(8b2,3a)，∴2b2＝3ac.
又b2＝a2－c2，∴2c2＋3ac－2a2＝0，
即2e2＋3e－2＝0，解得e＝eq \f(1,2)或e＝－2，
∵0＜e＜1，∴e＝eq \f(1,2)，∴椭圆C1的离心率为eq \f(1,2).
(2)由(1)知a＝2c，b＝eq \r(3)c，椭圆C1的方程为eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4cx，,\f(x2,4c2)＋\f(y2,3c2)＝1，))
消去y并整理得3x2＋16cx－12c2＝0，
解得x＝eq \f(2,3)c或x＝－6c(舍去)，
由抛物线的定义可得|MF|＝eq \f(2,3)c＋c＝eq \f(5c,3)＝5，
解得c＝3.
∴曲线C1的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1，
曲线C2的标准方程为y2＝12x.
18．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解 (1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，于是4＋eq \f(p,2)＝5，∴p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意，得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，∴kFA＝eq \f(4,3)，
∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq \f(3,4)，
∴直线FA的方程为y＝eq \f(4,3)(x－1)，①
直线MN的方程为y－2＝－eq \f(3,4)x，②
联立①②，解得x＝eq \f(8,5)，y＝eq \f(4,5)，
∴点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).
19.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为
y2＝2px(p>0)．
因为点P(1,2)在抛物线上，
所以22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
则kPA＝eq \f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq \f(y2－2,x2－1)(x2≠1)，
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,②))
所以eq \f(y1－2,\f(1,4)y\\al(2,1)－1)＝－eq \f(y2－2,\f(1,4)y\\al(2,2)－1)，
所以y1＋2＝－(y2＋2)．
所以y1＋y2＝－4.
由①－②得，yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，
所以kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝－1(x1≠x2)．
20．(2022·湖北武汉入学考试)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB的中点的轨迹方程．
解 (1)证明：由题知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，
且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)，a))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,2)，b))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，a))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，b))，Req \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))).
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝eq \f(a－b,1＋a2)＝eq \f(a－b,a2－ab)＝eq \f(1,a)＝eq \f(－ab,a)＝－b＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝eq \f(1,2)|b－a||FD|＝eq \f(1,2)|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))，S△PQF＝eq \f(|a－b|,2).
由题设可得2×eq \f(1,2)|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))＝eq \f(|a－b|,2)，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE可得eq \f(2,a＋b)＝eq \f(y,x－1)(x≠1)．
而eq \f(a＋b,2)＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合．
所以所求轨迹方程为y2＝x－1.
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
eq \x(\s\up1(04))x轴
eq \x(\s\up1(05))y轴
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \x(\s\up1(06))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \x(\s\up1(07))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \x(\s\up1(08))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝eq \x(\s\up1(09))1
准线方程
eq \x(\s\up1(10))x＝－eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(11))x＝eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(12))y＝－eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(13))y＝eq \f(p,2)
范围
eq \x(\s\up1(14))x≥0，y∈R
eq \x(\s\up1(15))x≤0，y∈R
eq \x(\s\up1(16))y≥0，x∈R
eq \x(\s\up1(17))y≤0，x∈R
开口方向
向eq \x(\s\up1(18))右
向eq \x(\s\up1(19))左
向eq \x(\s\up1(20))上
向eq \x(\s\up1(21))下
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