高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征教课ppt课件

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某城市随机抽样调查了1 000户居民的住房情况,发现户型主要集中于160 m2,100 m2,60 m2三种,对应住房的比例为1∶5∶4,能否说该市的人均住房面积为 ≈106.7(m2)?此种计算显然不合理,忽略了不同住房面积的居民所占的比例,造成了“被平均”现象.那么如何计算人均住房面积更为合理呢?
一、离散型随机变量的均值一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示,
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.
名师点析均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.
微思考离散型随机变量的均值与分布列有什么区别?提示:离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的,但二者有所不同.分布列只给了随机变量取所有可能值的概率,而均值却反映了随机变量取值的平均水平.
微练习已知X的分布列为
则X的均值为(　　)
二、两点分布一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
微练习已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=0)=0.7,则E(X)=　　　　　. 解析:因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=0.3.答案:0.3
三、离散型随机变量均值的性质一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=aE(X)+b.
微练习已知随机变量X的分布列如下.
则E(X)=　　　　　,E(2X-1)=　　　　　. 
求离散型随机变量的均值例1某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值.
解:X的可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=0.6,P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28,P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096,P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×1=0.024.所以在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列为
E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
反思感悟 求离散型随机变量均值的步骤(1)确定离散型随机变量X的取值;(2)写出分布列,并检查分布列的正确与否;(3)根据公式求出均值.
变式训练1盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及均值.
离散型随机变量的均值的性质例2已知随机变量X的分布列为
若Y=-2X,则E(Y)=　　　　　. 
反思感悟 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为实数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(ξ)=E(aX+b)=aE(X)+b求出E(ξ).
变式训练2已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表,则m的值为(　　)
解析:因为η=12ξ+7,所以E(η)=12E(ξ)+7,
均值的实际应用典例随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X.(1)求X的分布列.(2)求1件产品的平均利润(即X的均值).(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?
(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.故1件产品的平均利润为4.34万元.(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29),依题意,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.
方法点睛 解决与生产实际相关的概率问题时,首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值.
跟踪训练某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 .现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.
1.已知随机变量X的分布列为
则X的均值是(　　)A.2D.随m的变化而变化
解析:∵0.2+0.5+m=1,∴m=0.3.∴E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.答案:B
则当a增大时,E(ξ)的变化情况是(　　)A.E(ξ)增大B.E(ξ)减小C.E(ξ)先增大后减小D.E(ξ)先减小后增大
,Y=2X+5,则E(Y)=　　　　　. 
4.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不命中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,则他罚球一次得分X的均值是　　　　. 解析:因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.答案:0.8
5.袋中有4个红球、3个白球,从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分,取出一个白球得1分,试求得分X的均值.