人教A版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆教学设计及反思

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这是一份人教A版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆教学设计及反思，共6页。

1．若点A(a，1)在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－eq \r(2)B．a<－eq \r(2)或a>eq \r(2)
C．－2D．－1答案 A
解析由题意知eq \f(a2,4)＋eq \f(1,2)<1，
解得－eq \r(2)2．若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 D
解析依题意，2c＝2b，
所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，
所以e2＝eq \f(1,2)，又0＜e＜1，
所以e＝eq \f(\r(2),2).
3．焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为eq \f(3,5)的椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 C
解析由题意，知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16.又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，
解得c＝3，a＝5.又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 C
解析 ∵eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，∴eq \(MF1,\s\up6(—→))⊥eq \(MF2,\s\up6(—→))，
∴点M在以F1F2为直径的圆上，
又点M总在椭圆的内部，
∴c∴eq \f(c2,a2)又05．若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，0))分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(16,17) B.eq \f(4\r(17),17) C.eq \f(4,5) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 D
解析依题意得eq \f(c＋\f(b,2),c－\f(b,2))＝eq \f(5,3)，所以c＝2b，
所以a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(5)b，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2b,\r(5)b)＝eq \f(2\r(5),5).
6．已知椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,9)＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则它的离心率为________．
答案 eq \f(4,5)
解析由题意，得m2＝9＋42＝25，因为m＞0，所以m＝5，所以椭圆的离心率为eq \f(4,5).
7．已知椭圆的焦点在y轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2eq \r(15)，则此椭圆的标准方程为__________．
答案 eq \f(y2,16)＋x2＝1
解析由题意，知2a＝8,2c＝2eq \r(15)，所以a＝4，c＝eq \r(15)，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1.
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为eq \f(4\r(10),5)，则椭圆C的方程为__________．
答案 eq \f(x2,4)＋y2＝1
解析由题意知eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(3),2)，
可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可化简为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±eq \f(\r(5)a,5)，
因此eq \r(2)×eq \f(2\r(5)a,5)＝eq \f(4\r(10),5)，可得a＝2.
因此b＝1.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
9．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)离心率为eq \f(5,13)，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.
解 (1)由焦距是4可得c＝2，又焦点在y轴上，则焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．
由椭圆的定义，知2a＝eq \r(32＋2＋22)＋eq \r(32＋2－22)＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
(2)由题意，知2a＝26，即a＝13，
又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,13)，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,169)＋eq \f(y2,144)＝1或eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)＝1.
10．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(\r(2),2)，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知椭圆C与直线x－y＋m＝0相交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求实数m的取值范围．
解 (1)由题意知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，2c＝2，解得a＝eq \r(2)，c＝1，又a2－b2＝c2，所以a2＝2，b2＝1.
故椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋m＝0，,\f(x2,2)＋y2＝1，))
消去y可得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
则Δ＝16m2－12(2m2－2)>0⇒－eq \r(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(4m,3)，
则y1＋y2＝eq \f(2m,3).
所以MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2m,3)，\f(m,3)))，
因为MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2m,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,3)))2≥1⇒m≥eq \f(3\r(5),5)或m≤－eq \f(3\r(5),5)，
综上，可知－eq \r(3)11．已知F为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，点F关于直线x＋y＝0的对称点A在椭圆C上，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),4) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析设F(－c，0)，由题意知点A的坐标为(0，c)，因为点A在椭圆C上，所以b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝eq \r(2)c，所以椭圆C的离心率为eq \f(c,a)＝eq \f(c,\r(2)c)＝eq \f(\r(2),2).故选B.
12．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为( )
A．2 B．1 C．0 D．0或1
答案 A
解析由题意，得eq \f(4,\r(m2＋n2))>2，所以m2＋n2<4，
所以点P(m，n)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，
所以点P(m，n)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1内，
则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有2个交点．
故选A.
13．设F1，F2为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))的值等于( )
A．0 B．2 C．4 D．－2
答案 D
解析由题意得c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(3)，
又＝2×eq \f(1,2)×|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
所以当h＝b＝1时，取最大值，此时∠F1PF2＝120°.
所以eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝|eq \(PF1,\s\up6(—→))|·|eq \(PF2,\s\up6(—→))| ·cs 120°＝2×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－2.
14．已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(0答案 eq \r(3)
解析由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，
因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以AB的最小值为3，
当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(3,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，－\f(3,2)))，
代入椭圆方程得eq \f(c2,4)＋eq \f(9,4b2)＝1，
又c2＝a2－b2＝4－b2，所以eq \f(4－b2,4)＋eq \f(9,4b2)＝1，即1－eq \f(b2,4)＋eq \f(9,4b2)＝1，所以eq \f(b2,4)＝eq \f(9,4b2)，解得b2＝3，
所以b＝eq \r(3).
15．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为eq \f(\r(2),2)，则eq \f(m,n)的值是________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx2＋ny2＝1，,y＝1－x))消去y得，
(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N (x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝eq \f(2n,m＋n)，
所以x0＝eq \f(n,m＋n)，
代入y＝1－x得y0＝eq \f(m,m＋n).
由题意知eq \f(y0,x0)＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \f(m,n)＝eq \f(\r(2),2).
16．已知椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于A，B两点，则是否存在实数k，使得以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意，知a2＝3，b2＝1，则a＝eq \r(3)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(2)，
所以椭圆C的离心率为eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3).
(2)假设存在实数k满足条件，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,\f(x2,3)＋y2＝1))得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，
所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，即k＞1或k＜－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(12k,1＋3k2)，,x1·x2＝\f(9,1＋3k2)，))①
而y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.
要使以AB为直径的圆过点E(－1,0)，只需AE⊥BE，
即eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝0，即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0，
所以(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.②
将①代入②，解得k＝eq \f(7,6)，满足题意．
综上，存在k＝eq \f(7,6)，使得以AB为直径的圆过点E.

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