2021学年1.1 空间向量及其运算教案及反思

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1.1 空间向量及其运算
★★★★学习目标★★★★
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律．
3.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.
4.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.
5.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．
6.掌握空间向量夹角概念及表示方法.
7.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
8.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．

★★★★问题导学★★★★
知识点一　空间向量的概念
思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．
答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
梳理　(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||.
(2)几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二　空间向量的加减运算及运算律
思考1　下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.

答案　如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.

思考2　由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量
的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？

答案　先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则．
梳理　(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．

＝＋＝a＋b
＝－＝a－b
＝＋＝＋＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知识点三　空间向量的数乘运算
思考　实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
答案　λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
梳理　(1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ