人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图同步练习题

8.2 立体图形的直观图

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为(　　)

A．90°，90°　　　　　　　 B．45°，90°

C．135°，90°  D．45°或135°，90°

【答案】D

【解析】选D　根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.

2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)

A．平行于z′轴且大小为10 cm

B．平行于z′轴且大小为5 cm

C．与z′轴成45°且大小为10 cm

D．与z′轴成45°且大小为5 cm

【答案】A

【解析】选A　平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．

3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的(　　)

【答案】C

【解析】选C　正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．

4．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中(　　)

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB 

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AD，最短的是AC

【答案】C

【解析】选C　因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.

5．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．任意三角形

【答案】C

【解析】选C　将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形．

6．水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．

【答案】

【解析】由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，所以B′E＝B′C′sin 45°＝2×＝.

7．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．

【答案】36

【解析】在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为S＝6×6＝36.

8．画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.

【答案】见解析

【解析】(1)建系:先画x轴､y轴､z轴,其交点为O,使,.

(2)画底面.以O为中心,在xOy平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD,如图.

(3)画顶点.在Oz上截取OP,使.

(4)成图.连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.

能力提升

9．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)

A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm

B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm

C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm

D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm

【答案】C

【解析】选C　由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.

10．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

【答案】

【解析】将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为.

11.如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．

【答案】18(cm2)

【解析】解法一：画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，则A′C′＝AC＝12 cm，B′D′＝BD＝6 cm，

故△A′B′C′的高为B′D′＝3 cm，所以
S△A′B′C′＝×12×3＝18(cm2)，

即水平放置的直观图的面积为18 cm2.

解法二：△ABC的面积为AC·BD＝×12×12＝72(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC的水平放置的直观图的面积是×72＝18(cm2)．

素养达成

12．画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.

【答案】见解析

【解析】(1)画轴.如图①,画x轴､y轴､z轴相交于点O,

使,∠xOz=90°.

(2)画下底面以O为线段中点,在x轴上取线段,使,在y轴上取线段,使.连接,则为正三棱台的下底面的直观图.

(3)画上底面在z轴上取,使,过点作,,建立坐标系.在中,类似步骤(2)的画法得上底面的直观图.

(4)连线成图连接,,,去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台即为要求画的正三棱台的直观图(如图②所示).