


河南省开封市2022届高中高三理数第一次摸底试卷及答案
展开河南省开封市杞县2022届高中高三理数第一次摸底试卷
一、单选题
1.已知复数z满足,则z的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合,则( )
A. B.E C.F D.Z
3.某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛,前5名可以参加省举办的田径赛,如果各个选手的选拔赛成绩均不相同,选手小强已经知道了自己的成绩,为了判断自己能否参加省举办的田径赛,他还需要知道这11名选手成绩的( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
4.已知命题p:,;命题q:,,则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
5.2021年10月16日0时23分,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射,约582秒后.神舟十三号载人飞船与火箭成功分离,进入预定轨道顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空,飞行乘组状态良好,发射取得圆满成功.2022年4月16日9时56分,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功,中国航天又站在了一个新的起点.已知火箭的最大速度(单位:)与燃料质量(单位:)、火箭质量(单位:)的函数关系为,若火箭的质量为,最大速度为,则加注的燃料的质量约为( )(参考数据:)
A. B. C. D.
6.已知项数为的等差数列的前6项和为10,最后6项和为110,所有项和为360,则( )
A.48 B.36 C.30 D.26
7.在区间上随机取两个数,则这两个数差的绝对值大于的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线:,,分别为的上、下顶点,点为上异于和的一点,直线,的斜率分别为,,若,则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
9.已知,若,则( )
A. B. C.或 D.或
10.如图,四边形为圆台的轴截面(通过圆台上、下底面两个圆心的截面,其形状为等腰梯形),,C、D分别为OB,的中点,点E为底面圆弧AB的中点,则CD与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数,则( )
A.6 B.4 C.2 D.
12.正四面体的棱长为4,空间中的动点P满足,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
13.展开式中的常数项为 (用数字作答).
14.已知向量,不共线,,,若,则 .
15.如图,已知,分别为椭圆C:的左、右焦点,A为C上位于第一象限内的一点,与y轴交于点B,若,则C的离心率为 .
16.实数x,y满足,则的值为 .
三、解答题
17.在全民抗击新冠肺炎疫情期间,某市教育部门开展了“停课不停学”活动,为学生提供了多种网络课程资源.活动开展一个月后,某学校随机抽取了高二年级的学生若干进行网络问卷调查,统计学生每天的学习时间(单位:小时),将样本数据分成,,,,五组(全部数据都在内),并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)已知该校高二年级共有800名学生,根据统计数据,估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数;
(2)利用统计数据,估计该校高二年级学生每天平均学习时间;
(3)若样本容量为40,从学习时间在的学生中随机抽取3人,X为所抽取的3人中来自学习时间在内的人数,求X的分布列和数学期望.
18.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
(1)求角B;
(2)若,________.求的面积.
从①,②这两个条件中任选一个,补充在上面的横线上,并解答该问题.
注:如果按照两个条件分别解答,则按第一个解答计分.
19.如图,在四棱锥中,四边形ABCD为菱形,且,平面ABCD,E为BC的中点,F为棱PC上一点.
(1)求证:平面平面PAD;
(2)若G为PD的中点,,是否存在点F,使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
20.已知抛物线C:的焦点为F,若点在C上,且.
(1)求C的方程:
(2)P为y轴上一点,过点F的直线l交C于A,B两点,若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,求线段AB的长.
21.已知函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)设,若在定义域R上是增函数,求实数的取值集合.
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.直线的极坐标方程为.与,分别交于A,B两点(异于点).
(1)求的极坐标方程;
(2)已知点,求的面积.
23.已知关于x的不等式有解.
(1)求实数m的取值范围;
(2)设是m的最大值,若,,,且,求证:.
答案解析部分
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】B
12.【答案】D
13.【答案】60
14.【答案】6
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】(1)解:根据统计数据估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数为.
所以估计该校高二年级每天学习不低于5小时的人数为640人.
(2)解:样本中学生每天学习时间的各组频率分别为0.05,0.15,0.50,0.25,0.05.
样本中学生每天平均学习时间为
(小时).
所以估计该校高二年级学生每天平均学习时间为5.6小时.
(3)解:由题意知样本中每天学习时间不足4小时的人数为,样本中每天学习时间在上的学生人数为.
所以X的取值为0,1,2,
所以,,,
故X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P |
所以
18.【答案】(1)解:由正弦定理,得,
由,得,
由,得,所以,显然,
所以,由,得
(2)解:选①.
由正弦定理,得,即.
法一:由余弦定理,得,即,
整理,得,
解得(舍去)或.
所以的面积.
法二:由为锐角及,得,
所以,
所以的面积.
选②.
由正弦定理,得,即.
法一:由余弦定理,得,即,
整理,得,
解得(舍去)或.
所以的面积.
法二:由为锐角及,得,
所以,
所以的面积
19.【答案】(1)证明:连接,
因为底面为菱形,,
所以是正三角形,
是的中点,
,
又,
平面,平面,
又平面,
又平面,
所以平面平面.
(2)解:由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以为坐标原点,直线AE,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,,,
所以,,.
设平面的法向量,则即
令,得平面的一个法向量.
设与平面所成的角为,则
,
解得或,
即存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,且或.
20.【答案】(1)解:由点在上,得,解得,
由抛物线的定义及,得,解得或,
结合,得,
故抛物线的方程为
(2)解:显然,直线不与轴重合,设直线的方程为,
由消去并整理,得,
,直线与一定有两个交点,
设,,则,
设中点为,则,,
即,
线段的中垂线方程为,
令,得,即,
所以,
又,
由,得,解得,
所以
21.【答案】(1)解:当时,,求导得,
令.
所以的增区间为,减区间,因此当时,
取得最小值1.
(2)解:定义域为R,.因为若在定义域R上是增函数,则.令,,
令,
,注意到,,恒成立,
即在上单调递增.
1°当时,,故当时,,单调递减,当时,,单调递增,而,故,满足题意;
2°当时,所以为增函数,又,,故存在,使得,当时,单调递增,,不合题意,舍去;
3°当时,所以为增函数,又,,所以存在,使得,当时,,单调递减,,不合题意,舍去;
综上:.
22.【答案】(1)解:曲线的普通方程为,
因为,,
所以的极坐标方程为
(2)解:因为直线与,分别交于A,B两点,
所以将代入得,
将代入得,
则.
且点到直线l的距离,
所以的面积
23.【答案】(1)解:
,
∴要使关于x的不等式有解,只需,
解得,
∴实数m的范围为;
(2)解:由(1)知,,由,,,且,
令,,,则,,,且,
,
又当且仅当时取“=”号;
,当且仅当时取“=”号;
∴不等式,即.
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