河南省开封市2022届高中高三理数第一次摸底试卷及答案

河南省开封市杞县2022届高中高三理数第一次摸底试卷

一、单选题

1．已知复数z满足，则z的虚部为（　　）

A． B． C． D．

2．已知集合，则（　　）

A． B．E C．F D．Z

3．某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

4．已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是（　　）

A． B． C． D．

5．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后．神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又站在了一个新的起点．已知火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：）、火箭质量（单位：）的函数关系为，若火箭的质量为，最大速度为，则加注的燃料的质量约为（　　）（参考数据：）

A． B． C． D．

6．已知项数为的等差数列的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则（　　）

A．48 B．36 C．30 D．26

7．在区间上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于的概率为（　　）

A． B． C． D．

8．已知双曲线：，，分别为的上、下顶点，点为上异于和的一点，直线，的斜率分别为，，若，则的渐近线方程为（　　）

A． B． C． D．

9．已知，若，则（　　）

A． B． C．或 D．或

10．如图，四边形为圆台的轴截面（通过圆台上、下底面两个圆心的截面，其形状为等腰梯形），，C、D分别为OB，的中点，点E为底面圆弧AB的中点，则CD与所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

11．已知函数，则（　　）

A．6 B．4 C．2 D．

12．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．展开式中的常数项为　     　（用数字作答）．

14．已知向量，不共线，，，若，则　     　．

15．如图，已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，与y轴交于点B，若，则C的离心率为　     　．

16．实数x，y满足，则的值为　     　．

三、解答题

17．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，某市教育部门开展了“停课不停学”活动，为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高二年级的学生若干进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：小时），将样本数据分成，，，，五组（全部数据都在内），并整理得到如图所示的频率分布直方图．

（1）已知该校高二年级共有800名学生，根据统计数据，估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数；

（2）利用统计数据，估计该校高二年级学生每天平均学习时间；

（3）若样本容量为40，从学习时间在的学生中随机抽取3人，X为所抽取的3人中来自学习时间在内的人数，求X的分布列和数学期望．

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求角B；

（2）若，________．求的面积．

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答该问题．

注：如果按照两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

19．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．

（1）求证：平面平面PAD；

（2）若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20．已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，且．

（1）求C的方程：

（2）P为y轴上一点，过点F的直线l交C于A，B两点，若是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求线段AB的长．

21．已知函数.

（1）当时，求的最小值；

（2）设，若在定义域R上是增函数，求实数的取值集合.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线的极坐标方程为.与，分别交于A，B两点（异于点）.

（1）求的极坐标方程；

（2）已知点，求的面积.

23．已知关于x的不等式有解.

（1）求实数m的取值范围；

（2）设是m的最大值，若，，，且，求证：.

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】A

3．【答案】B

4．【答案】D

5．【答案】C

6．【答案】B

7．【答案】C

8．【答案】B

9．【答案】B

10．【答案】A

11．【答案】B

12．【答案】D

13．【答案】60

14．【答案】6

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】（1）解：根据统计数据估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数为．

所以估计该校高二年级每天学习不低于5小时的人数为640人．

（2）解：样本中学生每天学习时间的各组频率分别为0.05，0.15，0.50，0.25，0.05．

样本中学生每天平均学习时间为

（小时）．

所以估计该校高二年级学生每天平均学习时间为5.6小时．

（3）解：由题意知样本中每天学习时间不足4小时的人数为，样本中每天学习时间在上的学生人数为．

所以X的取值为0，1，2，

所以，，，

故X的分布列为

所以

18．【答案】（1）解：由正弦定理，得，

由，得，

由，得，所以，显然，

所以，由，得

（2）解：选①．

由正弦定理，得，即．

法一：由余弦定理，得，即，

整理，得，

解得（舍去）或．

所以的面积．

法二：由为锐角及，得，

所以，

所以的面积．

选②．

由正弦定理，得，即．

法一：由余弦定理，得，即，

整理，得，

解得（舍去）或．

所以的面积．

法二：由为锐角及，得，

所以，

所以的面积

19．【答案】（1）证明：连接，

因为底面为菱形，，

所以是正三角形，

是的中点，

，

又，

平面，平面，

又平面，

又平面，

所以平面平面．

（2）解：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，

所以，，．

设平面的法向量，则即

令，得平面的一个法向量．

设与平面所成的角为，则

，

解得或，

即存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．

20．【答案】（1）解：由点在上，得，解得，

由抛物线的定义及，得，解得或，

结合，得，

故抛物线的方程为

（2）解：显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，

由消去并整理，得，

，直线与一定有两个交点，

设，，则，

设中点为，则，，

即，

线段的中垂线方程为，

令，得，即，

所以，

又，

由，得，解得，

所以

21．【答案】（1）解：当时，，求导得，

令.

所以的增区间为，减区间，因此当时，

取得最小值1.

（2）解：定义域为R，．因为若在定义域R上是增函数，则．令，，

令，

，注意到，，恒成立，

即在上单调递增．

1°当时，，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，而，故，满足题意；

2°当时，所以为增函数，又，，故存在，使得，当时，单调递增，，不合题意，舍去；

3°当时，所以为增函数，又，，所以存在，使得，当时，，单调递减，，不合题意，舍去；

综上：．

22．【答案】（1）解：曲线的普通方程为，

因为，，

所以的极坐标方程为

（2）解：因为直线与，分别交于A，B两点，

所以将代入得，

将代入得，

则.

且点到直线l的距离，

所以的面积

23．【答案】（1）解：

，

∴要使关于x的不等式有解，只需，

解得，

∴实数m的范围为；

（2）解：由（1）知，，由，，，且，

令，，，则，，，且，

，

又当且仅当时取“=”号；

，当且仅当时取“=”号；

∴不等式，即.