2022年新高考数学二轮提升数列专题第8讲《数列求和裂项相消法》（2份打包，解析版+原卷版）

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第8讲 数列求和:裂项相消法参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2021秋•赫山区校级月考）已知数列，为数列的前项和，求使不等式成立的最小正整数　　A．2016 B．2021 C．2017 D．2015【解答】解：，，，，即为，解得，即的最小值为2017．故选：．二．填空题（共1小题）2．（2021•河南模拟）已知数列满足，，则数列的前项和为　　．【解答】解：由，得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，于是，所以，因为，所以的前项和．故答案为：．三．解答题（共12小题）3．已知，求其前项和．【解答】解：，其前项和：．4．（2021春•石城县校级月考）已知数列是递增等比数列，为其前项和，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求其前项和．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：，又，解得或，数列是递增等比数列，，，设的公比为，则，．；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，．5．（1）若数列的通项公式为，求其前项和；（2）已知为数列的前项和且，求：①，；②通项公式．【解答】解：（1），前项和，（2），①可得；；②时，，上式对也成立，综上可得，．6．已知，求其前项和．【解答】解：，．7．（2021春•库尔勒市校级期末）已知是等差数列，其前项和为，已知，，（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：是等比数列，并求其前项和．（3）设，求其前项和．【解答】解：（1）是等差数列，，，，，其公差，；（2），，，且，是以32为首项，8为公比的等比数列，其前项和；（3），，．8．（2021春•武清区校级期末）已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足，．（1）求与；（2）设，，求的前项和．【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，，，，，，即，解得（舍去），或，，，，．（2）由（1），可得，则，．9．（2021春•温州期末）已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列，数列满足：．（1）求数列，的通项公式：（2）设，求证：．【解答】（1）解：因为，，成等比数列，所以，则，所以，又，所以或（舍，则，因为，则，故；（2）证明：由题意，，所以，故．10．（2021•鄞州区校级模拟）已知等差数列和等比数列，且满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，，求证：．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由满足，．分别取，2，3，可得：，，，解得，，，，．（2）证明：，，．11．（2021秋•雁峰区校级月考）已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列．（1）求数列，的通项公式；（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：．【解答】解：（1）数列满足：，；所以，故数列为常数列，，所以．数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列．所以，所以，解得，故．证明：（2）由（1）得：，，所以．12．（2021秋•和平区校级月考）设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列．已知，，，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求；求数列的前项和．【解答】解：设等比数列的公比为．由，，可得．因为，可得，故．设等差数列的公差为，由，可得．由，可得，从而，，故．所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．由，有，故．证明：因为，所以．13．（2021•梁园区校级模拟）已知等差数列的公差为，前项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解答】解：（1）因为，所以，即，整理得，又因为，所以，即，所以；（2）由（1）知，所以，，所以．14．（2021秋•岳麓区校级月考）设数列前项和为，已知当时，，且为，的等比中项．求数列的首项的值；（2）设，求数列的前项和．【解答】解：（1）由，得，所以是以2为公差的等差数列，又为，的等比中项．得，即，所以，解得或（舍去），（2）由（1）可知，所以，所以．