2021-2022学年河南省南阳市六校联考高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年河南省南阳市六校联考高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 数列，，，，，的一个通项公式为(    )

A.  B.
C.  D.

2. 已知，则的共轭复数(    )

A.  B.  C.  D.

3. 有如下一段推理过程：
   大前提：二次函数的图像是轴对称图形；
   小前提：函数是二次函数；
   结论：函数的图像是轴对称图形．
   则这个推理过程(    )

A. 错误，因为大前提错误 B. 错误，因为小前提错误
C. 错误，因为推理形式错误 D. 正确

4. 下列说法正确的是(    )

A. 两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B. 残差平方和越大，模型的拟合效果越好
C. 回归直线就是散点图中经过样本点最多的那条直线
D. 已知两个变量，具有线性相关关系，其回归方程为，若，，，则

5. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，则在轴上的截距为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 从国内随机抽取一部分成年人，统计地域和体重的相关数据，抽到南方人共人，其中体重超重的有人，抽到北方人共人，其中体重超重的有人，从样本中随机抽取人，设事件“此人是南方人”，事件“此人体重超重”，若与相互独立，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在极坐标系中，曲线，以极点为坐标原点，以极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为为参数则与的交点个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 给出下面几个类比推理：
   由“若，则”类比推出“若，则”；
   由“，，，若，则”类比推出“，，，若，则”；
   由“在等差数列中，，则”类比推出“在等比数列中，，则”；
   由“与圆心距离相等的两条弦长相等”类比推出“与球心距离相等的两个截面圆的面积相等”．
   其中类比得到的结论正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知，，，，则，，这三个数(    )

A. 至少有一个不大于 B. 都小于
C. 至少有一个不小于 D. 都大于

10. 设为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 阅读如图所示的算法框图，已知输入的，，若输出的，则输入的的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数则上的动点到直线的距离的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 写出一个同时满足下列条件的复数______．
    ；
    复数在复平面内对应的点在第二象限．
14. 空间中不重合的两条直线的位置关系可以用如图所示的结构图表示，则空白框中应填入的为______．

15. 在极坐标系中，曲线：与极轴所在的直线交于，两点，则______．
16. 如图所示，用刀沿直线切一张圆形的薄饼，切刀、刀、刀、刀最多可以把饼分成，，，块，根据其中的规律，则切刀最多可以把饼分成______块．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知复数是纯虚数，且．
    求，的值；
    若，，，求复数的模．
18. 已知，．
    Ⅰ若，证明：和中至少有一个小于；
    Ⅱ若，证明：．
19. 为促进全民健身更高水平发展，更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院在年制定了全民健身计划年为了解某地开展全民健身的情况，随机调查了该地名市民，统计他们的年龄单位：岁和平均每周锻炼的时间单位：，得到如表表中数据单位：人：

Ⅰ从样本中随机抽取人，求其年龄小于岁，且平均每周锻炼时间不低于的概率；
Ⅱ根据所给数据，完成下面的列联表；

20. 已知函数，．
    Ⅰ当时，求在区间上的最值；
    Ⅱ若在定义域内单调递增，求的取值范围．
21. 已知甲、乙两人进行一场乒乓球比赛，比赛采用五局三胜制，即两人中先胜三局的人赢得这场比赛，比赛结束已知第一局比赛甲获胜的概率为，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为．
    Ⅰ求两人打完三局恰好结束比赛的概率；
    Ⅱ设比赛结束时总的比赛局数为随机变量，求的数学期望．
22. 已知函数．
    Ⅰ求的图象在点处的切线方程；
    Ⅱ若，且为的极小值点，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，数列，，，，，即，，，，，
其一个通项公式为，
故选：．
根据题意，分析数列各项的规律，即可得答案，
本题考查数列的表示方法，涉及数列的递推公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
所以．
故选：．
根据复数代数形式的除法运算，化简可得复数，进而知其共轭复数．
本题考查复数的运算，共轭复数的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，在推理中，
函数不是二次函数，即推理的小前提错误，导致推理错误，
故选：．
根据题意，分析演绎推理的过程，可得其小前提错误，即可得答案．
本题考查演绎推理，注意三段论的模式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，故A错误，
对于，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，残差平方和越大，模型的拟合效果越差，故B错误，
对于，回归直线也可能不过任何一个点，故C错误，
对于，两个变量，具有线性相关关系，其回归方程为，，，，
则，解得，故D正确．
故选：．
对于，结合相关系数的定义，即可求解，
对于，结合残差的定义，即可求解，
对于，结合回归直线也可能不过任何一个点，即可求解，
对于，结合线性回归方程的性质，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，考查转化能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，直线的参数方程为，其普通方程为，
令，解可得，即在轴上的截距为，
故选：．
根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，由此分析可得答案．
本题考查直线的参数方程，注意将直线的常数方程变形为普通方程，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：与相互独立，
，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：曲线，根据转换为直角坐标方程为；
曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为；
利用圆心到直线的距离的公式，
故C与的位置关系为相交，故交点个数为个；
故选：．
首先把参数方程曲线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程，再把曲线转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出，最后确定交点的个数．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于，当，时，，所以类比的结论“若，则”错误，故错误；
对于，由“，，，若，则”类比推出“，，，若，则”，
复数不能比较大小，若，则”不能成立，故错误；
对于，由“在等差数列中，，则”类比推出：
“在等比数列中，，则”，故错误；
对于，由二维到三维的类比是从平面到立体的类比，长度变面积，面积变体体，
由“与圆心距离相等的两条弦长相等”类比推出“与球心距离相等的两个截面圆的面积相等”，故正确．
故选：．
利用不等式的性质判断；利用复数的性质判断；利用等比数列的性质判断；利用球的性质判断．
本题考查简单的类比推理，考查不等式、复数、等比数列、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：假设，，这三个数都小于，
则，，
， ，
，，
，
假设，，这三个数都小于不成立，
，，这三个数至少有一个不小于，
故选：．
先假设，，这三个数都小于，得到，即可求解．
本题考查反证法的应用，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，
则，
，得，
．
故选：．
设，则，两式相减，利用等比数列求和公式和复数乘除法运算法则，能求出结果．
本题考查错位相减求和法、等比数列求和公式和复数乘除法运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：模拟程序的运行，可得，，
不满足条件，输入的值，
若满足条件，，可得，若，可得，
若不满足条件，，可得，若，可得，取代入验证错误，舍去，
所以输入的的取值范围是．
故选：．
模拟程序的运行过程，分析程序中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：已知直线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为；
曲线的参数方程为为参数，设点，
利用点到直线的距离公式，
当时，．
故选：．
首先把参数方程转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设，
依题意：，则，
且，，
故可取，
所以．
故答案为：答案不唯一．
根据复数的模和对应点所在象限确定正确答案．
本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

14.【答案】平行 

【解析】解：空间中两条不重合的直线的位置关系包括相交，平行，异面．
故答案为：平行．
根据空间中两条不重合的直线的位置关系，填空即可．
本题考查结构图和空间中两条不重合的直线的位置关系，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：曲线，根据，转换为直角坐标方程为，
令，整理得，
解得或；
故A，，
所以．
故答案为：．
首先把极坐标方程转换为，进一步求出曲线与极轴的交点坐标，最后求出的长．
本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，，，
则，，，，，
所以当，时，
，
当时，也适合，，
故答案为：
根据特例法，结合累和法、等差数列前项和公式进行求解即可．
本题考查简单的归纳推理、特例法，结合累和法、等差数列前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

17.【答案】解：，
因为是纯虚数，且，
所以，且，
所以，或．
由及，知，
所以，
所以． 

【解析】根据复数的乘法运算化简复数，再根据纯虚数的定义及复数的模的计算公式列出方程，即可求解．由求得，，再根据复数的除法运算求出复数再根据复数的模的计算公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及纯虚数的定义，属于基础题．
 

18.【答案】证明Ⅰ假设，，
，，，，
，故，这与矛盾，
假设不成立，故和中至少有一个小于；
Ⅱ，


，当且仅当时等号成立．
． 

【解析】Ⅰ利用反证法，假设结论不成立，然后推出与已知错误的结论，即可证得结果；
Ⅱ由已知利用“”的代换结合基本不等式证明．
本题考查不等式的证明，训练了反证法的应用，考查基本不等式的应用，是中档题．
 

19.【答案】解：利用频率代替概率得；
由题意可得，

【解析】根据图表，即可直接解出．
利用题中的数据，即可解出．
本题考查了统计与概率，独立性检验，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：当时，，，
当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值；
由题意得在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
易得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，取得最小值，
所以，即，
所以的取值范围为． 

【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性及最值关系可求；
由已知结合导数与单调性关系可转化为得在上恒成立，分离常数后，转化为求解相应函数的最值，结合导数可求．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ由题意，两人打完三局恰好结束比赛的基本事件有三局甲胜、三局乙胜，
而第一局比赛甲获胜的概率为，则第一局比赛乙获胜的概率为，又胜者在接下来一局获胜的概率为，
所以三局甲胜的概率为；三局乙胜的概率为；
所以两人打完三局恰好结束比赛的概率．
Ⅱ由题意知：可能值为、、，由知：，
当时，前三局两局甲胜，一局乙胜，最后甲胜、两局乙胜，一局甲胜，最后乙胜，
两局甲胜，一局乙胜，最后甲胜的概率，
两局乙胜，一局甲胜，最后乙胜的概率，
所以，
当时，前四局甲乙各胜两局，
．
综上，． 

【解析】Ⅰ由题设分析知：两人打完三局恰好结束比赛的基本事件有三局甲胜、三局乙胜，利用独立事件的乘法公式及互斥事件加法求概率；
Ⅱ由题意有前三局两局甲胜，一局乙胜，最后甲胜、两局乙胜，一局甲胜，最后乙胜，有前四局甲乙各胜两局，再分别求出它们的概率，应用期望公式求期望．
本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．
 

22.【答案】解：Ⅰ，
所以，
，
所以切线方程为，即．
Ⅱ，
所以，，
令，
，
令，
则，
当时，，，
所以，是减函数，
所以，
当，即时，，
所以在上单调递减，不合是极小值点，舍去，
当，即时，
因为是减函数且，
，
所以存在，使得，
所以当时，，是增函数，
所以，
所以在上是增函数，
当时，任意，使得，是减函数，
所以，
所以是增函数，
所以，
即在上是减函数，
综上所述，的取值范围为． 

【解析】Ⅰ求导得，由导数的几何意义可得，又，即可得出答案．
Ⅱ令，分析单调性，极小值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．