2023年高考数学一轮复习课时规范练16利用导数研究函数的极值最值含解析北师大版文

这是一份2023年高考数学一轮复习课时规范练16利用导数研究函数的极值最值含解析北师大版文，共10页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。

1.(2021江苏徐州模拟)设x=θ是函数f(x)=3cs x+sin x的一个极值点,则tan θ=( )
A.-3B.-13C.13D.3
答案:C
解析:∵f'(x)=-3sinx+csx,由已知可得f'(θ)=-3sinθ+csθ=0,
∴tanθ=13.
2.(2021西藏林芝一中高三月考)设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=xf'(x)的部分图像如下图所示,则( )
A.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
B.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
C.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(-3)
D.f(x)的极大值为f(-3),极小值为f(3)
答案:A
解析:观察图像知,当x<-3时,y=xf'(x)>0,
∴f'(x)<0,f(x)是递减的;
当-3∴f'(x)>0,f(x)是递增的;
故当x=-3时,函数取得极小值为f(-3);
当00,
∴f'(x)>0,f(x)是递增的;
当x>3时,y=xf'(x)<0,
∴f'(x)<0,f(x)是递减的;
故当x=3时,函数取得极大值为f(3).故选A.
3.(2021陕西西安中学模拟)已知函数f(x)=12sin 2x+sin x,则f(x)的最小值是( )
A.-332B.332C.-334D.334
答案:C
解析:由题得f'(x)=cs2x+csx=2cs2x+csx-1=(2csx-1)(csx+1),
所以当csx≥12时,f'(x)≥0,f(x)是递增的;
当-1≤csx<12时,f'(x)≤0,f(x)是递减的.
所以f(x)取得最小值时,csx=12,此时sinx=±32,
当sinx=-32时,f(x)=sinxcsx+sinx=-343;
当sinx=32时,f(x)=sinxcsx+sinx=343.
所以f(x)的最小值是-334.
4.(2021陕西汉中模拟)已知函数f(x)=(x-1)2ex,下列结论中错误的是( )
A.函数f(x)有零点
B.函数f(x)有极大值,也有极小值
C.函数f(x)既无最大值,也无最小值
D.函数f(x)的图像与直线y=1有3个交点
答案:C
解析:f(1)=0,所以A选项正确;
f'(x)=(x+1)(x-1)ex,所以f(x)在区间(-∞,-1),(1,+∞)上f'(x)>0,f(x)是递增的,在区间(-1,1)内f'(x)<0,f(x)是递减的,所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=4e>1,
当x=1时,f(x)有极小值f(1)=0,所以B选项正确;
注意到f(x)≥0恒成立,所以f(1)=0是f(x)的最小值,C选项错误;
画出f(x)的大致图像如下图所示,由图可知函数f(x)的图像与直线y=1有3个交点,D选项正确.
5.(2021安徽师大附中模拟)函数f(x)=12x2-2ln x+x的极值点是 .
答案:1
解析:f(x)=12x2-2lnx+x的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-2x+1=1x(x+2)(x-1),令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得06.(2021江西南昌模拟)已知函数f(x)=x2-2ln x,则f(x)在[1,e]上的最大值是 .
答案:e2-2
解析:由题意可知,
∵f(x)=x2-2lnx,x∈[1,e],
∴f'(x)=2x-2x=2x2-2x=2(x-1)(x+1)x.
当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,∴函数f(x)在区间[1,e]上是递增的,
则f(x)max=f(e)=e2-2.
7.(2021山东青岛二中月考)若函数f(x)=-12x2+7x+aln x在x=2处取极值,则a= ,f(x)的极大值为 .
答案:-10 452-10ln 5
解析:f'(x)=-x+7+ax(x>0),由题意可知f'(2)=-2+7+a2=0,解得a=-10,
所以f'(x)=-x+7-10x=-x2-7x+10x,当f'(x)>0时,解得25,
所以f(x)在(0,2),(5,+∞)上是递减的,在(2,5)内是递增的,
故f(x)的极大值为f(5)=-252+35-10ln5=452-10ln5.
8.(2021江苏盐城模拟)已知f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.
解:(1)因为f(x)=2x3-mx2-12x+6,
所以f'(x)=6x2-2mx-12.
因为f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2,
所以f'(2)=6×22-2m×2-12=0,解得m=3,
此时f(x)=2x3-3x2-12x+6,f'(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),
令f'(x)=0,得x=-1或x=2,
令f'(x)<0,得-1令f'(x)>0,得x<-1或x>2,
故函数f(x)在区间(-1,2)内是递减的,在区间(-∞,-1),(2,+∞)上是递增的.
(2)由(1)知,f(x)在[-2,-1]上是递增的,在(-1,2]上是递减的,
所以x=-1是函数f(x)的极大值点.
又因为f(-2)=2,f(-1)=13,f(2)=-14,所以函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-14,最大值为13.
9.(2021重庆实验中学高三月考)已知函数f(x)=ex-ax,a∈R,e是自然对数的底数.
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值及f(x)的单调性;
(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值.
解:(1)因为f(x)=ex-ax,则f'(x)=ex-a,因为函数f(x)在x=1处取得极值,则f'(1)=e1-a=0,
即a=e,则f'(x)=ex-e,
令f'(x)=ex-e>0,则x>1,
令f'(x)=ex-e<0,则x<1,
所以函数f(x)在(1,+∞)是递增的,在(-∞,1)是递减的.
(2)因为f(x)=ex-ax,则f'(x)=ex-a,
当a≤0时,f(x)在R上是递增的,因此f(x)在[0,1]上是递增的,f(x)min=f(0)=1.
当a>0时,f(x)在(-∞,lna)上是递减的,(lna,+∞)上是递增的.
①当1≤lna即a≥e时,f(x)在[0,1]上是递减的,所以f(x)min=f(1)=e-a;
②0所以f(x)在[0,lna)上是递减的,(lna,1]上是递增的,
所以f(x)min=f(lna)=a-alna;
③lna≤0即0综上,当a≤1时,f(x)min=1;当a≥e时,f(x)min=e-a;当1综合提升组
10.关于函数f(x)=ln x+2ax(a≠0),下列判断错误的是( )
A.函数f(x)的图像在x=1处的切线方程为(a-2)x-ay-a+4=0
B.x=2a是函数f(x)的一个极值点
C.当a=1时,f(x)≥ln 2+1
D.当a=-1时,不等式f(2x+1)-f(3x-1)>0的解集为13,2
答案:B
解析:对于A选项,因为f(x)=lnx+2ax,则f'(x)=1x-2ax2,所以f(1)=2a,f'(1)=a-2a,所以函数f(x)的图像在x=1处的切线方程为y-2a=a-2a(x-1),即(a-2)x-ay-a+4=0,A选项正确;
对于B选项,f(x)的定义域为(0,+∞),当a<0时,对任意的x>0,f'(x)=1x-2ax2>0,此时函数f(x)在(0,+∞)上是递增的,无极值,B选项错误;
对于C选项,当a=1时,f(x)=lnx+2x,该函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-2x2=x-2x2,当02时,f'(x)>0,此时函数f(x)是递增的,所以f(x)≥f(2)=ln2+1,C选项正确;
对于D选项,当a=-1时,f(x)=lnx-2x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=1x+2x2>0对任意的x>0恒成立,所以函数f(x)=lnx-2x为(0,+∞)上的增函数,由f(2x+1)-f(3x-1)>0可得f(2x+1)>f(3x-1),所以2x+1>3x-1>0,解得1311.(2021广东珠海模拟)某市现计划对某村旧的灌溉水渠进行加固改造,已知旧水渠的横截面是一段抛物线弧AOB(如图所示),顶点O在水渠的最底端,渠宽AB为3 m,渠深为1 m,欲在旧水渠内填充混凝土加固,改造成横截面为等腰梯形的新水渠,且新水渠底面与地面平行(不改变渠宽),若要使所填充的混凝土量最小,则新水渠的底宽为( )
A.23 mB.1 mC.43 mD.2 m
答案:B
解析:根据题意建立如图所示的平面直角坐标系,则A-32,1,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),
因为点A在抛物线上,可得p=98,所以抛物线的方程为y=49x2.
要使所填充的混凝土量最小,则如图等腰梯形ABCD的面积要最大,
设点Ct,49t20则此时梯形ABCD的面积S(t)=12(2t+3)1-49t2=-49t3-23t2+t+320所以S'(t)=-43t2-43t+1=-13(2t+3)(2t-1).
令S'(t)=0,解得t=12.
所以当00,S(t)在0,12内是递增的,
当12所以当t=12时,S(t)取得最大值,此时新水渠的底宽CD为1m.
12.(2021辽宁丹东二模)设函数f(x)=x3-3ax2+3ax+4a3,已知f(x)的极大值与极小值之和为g(a),则g(a)的值域为 .
答案:(-∞,2]∪(10,+∞)
解析:f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-6ax+3a,
设f'(x)=3x2-6ax+3a=0的两根为x1,x2,且x1所以Δ=36a2-36a>0,解得a>1或a<0,x1+x2=2a,x1x2=a.
所以x13+x23=(x1+x2)(x12+x22-x1x2)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]=2a(4a2-3a)=8a3-6a2,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4a2-2a,
因为f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上是递增的,在(x1,x2)内是递减的.
所以g(a)=f(x1)+f(x2)=x13+x23-3a(x12+x22)+3a(x1+x2)+8a3=4a3+6a2(a>1或a<0),
所以g'(a)=12a2+12a,由g'(a)>0可得a>0或a<-1,由g'(a)<0可得-1所以g(a)在a∈(-∞,-1)上是递增的,在a∈(-1,0)内是递减的,在a∈(1,+∞)上是递增的.
因为g(-1)=2,g(1)=10,所以g(a)的值域为(-∞,2]∪(10,+∞).
创新应用组
13.(2021江苏扬州中学模拟)如图,某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=3百米,CD=2百米.该区域内原有道路AC,现新修一条直道DP(宽度忽略不计),点P在道路AC上(异于A,C两点),∠BAC=π6,∠DPA=θ.
(1)用θ表示直道DP的长度;
(2)计划在△ADP区域内种植观赏植物,在△CDP区域内种植经济作物.已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元,种植经济作物的成本为每平方百米1万元,新建道路DP的成本为每百米1万元,求以上三项费用总和的最小值.
解:(1)过点D作DD'⊥AB,垂足为D',
在Rt△ABC中,∵AB⊥BC,∠BAC=π6,AB=3,∴BC=3,在Rt△ADD'中,
∵AD'=1,DD'=3,AD=2,
∴sin∠DAD'=32,
∴∠DAD'=π3.
∵∠BAC=π6,∴∠DAP=π6,在△ADP中,由正弦定理可得ADsinθ=DPsinπ6,∴DP=1sinθ,π6<θ<5π6.
(2)在△ADP中,由正弦定理可得ADsinθ=APsin∠ADP,
∴AP=2sin5π6-θsinθ,∴S△APD=12AP·PD·sinθ=sin56π-θsinθ.
又S△ADC=12AD·DC·sin∠ADC=12×2×2×32=3,
∴S△DPC=S△ADC-S△APD=3-sin56π-θsinθ,
设三项费用之和为f(θ),
则f(θ)=sin56π-θsinθ×2+3-sin56π-θsinθ×1+1sinθ×1
=3+sin56π-θsinθ+1sinθ=12csθ+1sinθ+332,π6<θ<5π6,
∴f'(θ)=-12-csθsin2θ,令f'(θ)=0,解得θ=2π3,
当θ∈π6,2π3时,f'(θ)<0,函数f(θ)是递减的,
当θ∈2π3,5π6时,f'(θ)>0,函数f(θ)是递增的,
∴f(θ)min=f2π3=23,即三项费用总和的最小值为23万元.
14.(2021河南商丘高三联考)已知函数f(x)=(x+a)ln x-x(a∈R).
(1)当a=0时,是否存在唯一的x0∈(0,+∞),使得f(x0)=-1.如果存在,请证明你的结论;如果不存在,请说明理由.
(2)讨论f(x)的极值点的个数.
解:(1)存在.证明如下:f(x)的定义域为(0,+∞),当a=0时,f(x)=xlnx-x,f'(x)=lnx,
当01时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,1)内是递减的,在(1,+∞)上是递增的,
所以x=1是f(x)的极小值点,也是f(x)的最小值点,且f(x)min=f(1)=-1,故存在唯一的x0=1,使得f(x0)=-1.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(x+a)·1x+lnx-1=a+xlnxx,
令h(x)=a+xlnx,则h'(x)=lnx+1,当01e时,h'(x)>0,
所以函数h(x)在0,1e内是递减的,在1e,+∞上是递增的,
所以h(x)min=h1e=a-1e.
①当a≥1e时,h(x)min≥0,所以对任意x∈(0,+∞),h(x)≥h(x)min≥0,
所以对任意x∈(0,+∞),f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以f(x)无极值点;
②当a<1e时,h(x)min=a-1e<0,若a≤0,因为当x∈0,1e时,xlnx<0,
所以对任意x∈0,1e,h(x)<0,
因为h(e-a+1)=a+e-a+1(-a+1)=a(1-e-a+1)+e-a+1>0,
所以存在x0∈(e-1,e-a+1),使得h(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,h(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,
所以在(0,x0)内,f'(x)<0,在(x0,+∞)上,f'(x)>0,所以f(x)在(0,x0)内是递减的,在(x0,+∞)上是递增的,
所以当a≤0时,f(x)有一个极小值点,无极大值点;当0在1e,+∞上,因为h(ea)=a+ealnea=a(1+ea)>0,且h(x)在1e,+∞上是递增的,所以h(x)∈a-1e,+∞,所以f'(x)在0,1e,1e,+∞各有一个零点,设为x1,x2,列表如下:
所以当0综上,当a≤0时,函数f(x)有一个极值点;
当0当a≥1e时,函数f(x)无极值点.x
(0,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗