湖北省武汉市黄陂区、江夏区、蔡甸区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)

2021-2022学年湖北省武汉市黄陂区、江夏区、蔡甸区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一组数据、、、、中，平均数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列判断错误的是(    )

A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 邻边相等的平行四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

5. 一次函数是常数，且，若，则这个一次函数的图象必经的点是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数和，当时，的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D. 是

7. 如图，点是正方形中边上一点，于点，，且交于点，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图是良马与驽马从甲地出发行走路程单位：里关于行走时间单位：日的函数图象，其中良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，则良马行走了日时距驽马里．(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，四边形中，于点，，，，点是的中点，连接，则的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 化简：______．
12. 个裁判员对某一体操运动员的打分数据是：、、、、、，则这组数据的众数是______．
13. 如图，直线经过点，当时，的取值范围是______．

14. 如图，在正方形的边上取一点，连接，线段的中垂线交对角线于点，连接，若正方形的边长为，，则的长是______．

15. 如图，▱中，，，为边上一点，则最小值为______．

16. 如图，在平面直角坐标系中直线与轴、轴分别交于点、，为上一点，且，点是线段上一点，连接并延长交于点，若时，则的长是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 计算：；
    已知一次函数的图象经过点和，求这个函数的解析式．
18. 如图，在四边形中，，、是对角线上两点，且，，，垂足分别是、．
    求证：≌；
    若与交于点，求证：．

19. 某校为调查学生对科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，将测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
    
    请根据图中信息解答下列问题．
    从全校学生中随机抽取的学生数______，扇形图中“”这组所在扇形的圆心角的大小是______；
    已知“”这组的数据如下：、、、、、、、，求这组数据的方差．
    若成绩达到分以上含分，则对科普知识了解情况为优秀，请你估计全校名学生中对科普知识了解情况为优秀的学生人数．
20. 已知函数是常数．
    为何值时，随的增大而增大？
    满足什么条件时，该函数是正比例函数？
21. 如图，是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，、、是格点，是与网格线的交点，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示．
    直接写出图中的长______；
    在图中画出等腰，使；
    在图中先平移线段至对应，对应，再在线段上画一点；使得．
     

22. 某商店销售一种产品，该产品成本价为元件，售价为元件，销售人员对该产品一个月天销售情况记录绘成图象．
    图中的折线表示日销量件与销售时间天之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加天，日销量减少件．
    第天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
    求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
    日销售利润不低于元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？

23. 如图，在中，，，、分别是边、上的点，，过点作，垂足为，交于点．
    如图，求证：；
    如图，若点恰好与顶点重合，求证：；
    如图，试猜想线段与的数量关系，并证明你的结论．
     

24. 如图，在平面直角坐标中，已知菱形的顶点，点在轴上，，点在轴上．
    求直线的解析式；
    已知点在直线的下方，且的面积为，求的值．
    如图，已知中，，，，点为内一点，且点到三边的距离之和为，直接写出的最小值是______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由得
．
故选：．
二次根式中的被开方数必须是非负数
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．不能合并了；不符合题意．
B.；不符合题意．
C.正确；符合题意．
D.；不符合题意．
故选：．
和是合并同类二次根式的法则，项是算术平方根，不是平方根．是化简．
考查了平方根和算术平方根的区别；同类二次根式的合并法则；熟练进行二次根式的化简．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，平均数为：，
故选：．
求出个数的和再除以即可得到这组数据的平均数．
本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
 

4.【答案】 

【解析】解：、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，故不符合题意；
C、邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
D、两条对角线相等、垂直且平分的四边形是正方形，故符合题意；
故选：．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
即．
当时，．
一次函数经过点，
选项正确．
故选：．
根据，可求，所以，当时，，所以一次函数经过点．
本题主要考查一次函数点坐标的特征及性质应用，熟练掌握一次函数性质是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，与的交点为，
当时，与的交点为，

由图象可知：当时，的取值范围是．
故选：．
在同一平面直角坐标系中，画出和，的图象，根据图象即可求解．
本题考查了一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
四边形是正方形，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
故选：．
根据题意和图形，可以证明≌，再根据全等三角形的性质可以得到，，再利用勾股定理及直角三角形的性质可以求得、的长，从而可以求得的长．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知，良马出发日后，驽马才出发，
良马行走了日时距驽马里，
故选：．
由图象可知，良马出发日后，驽马才出发，根据良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，列式可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，取的中点为，连接、，

，
，
，，
，
是的中点，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
当且仅当点在线段上时，等号成立，
，
的最大值为．
故选：．
如图，连接，取的中点为，连接、，由勾股定理可求的长，利用直角三角形斜边上的中线可求解的长，根据三角形的中位线可求解的长，再利用三角形的三边关系可求解．
本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线，三角形的三边关系等知识的综合运用，构造直角三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：可化简为，
无论取何值，恒过，
该函数图象随值不同绕旋转，
作出题中所含两个函数图象如下：

经旋转可得：当时，关于，的二元一次方程有两组解．
故选：．
通过数形结合，观察图象和函数式进行作答．
本题考查数形结合，画出图象并分析是本题解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为．
根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，而的平方根为，所以算术平方根为．
他主要考查了算术平方根的定义，注意算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．规律总结：弄清概念是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：这组数据中出现次数最多的数为，
即众数为．
故答案为：．
根据众数的概念求解．
本题考查了众数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线经过点，直线也经过，
由图象可得，当时，的取值范围是，
故答案为：．
直线经过点，直线也经过，根据图象即可求得的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，过作与，
为正方形的对角线，
，，
在和中，
，
≌，
，
线段的中垂线交对角线于点，连接，
，
，
与，正方形的边长为，，
，
，
．
故答案为：．
如图，连接、，过作与，然后利用正方形的性质和已知条件可以证明≌，接着利用线段的垂直平分线的性质和勾股定理即可解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，也考查了线段的垂直平分线的性质，同时也利用了勾股定理，有一定的综合性．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，
此时：，，
，
，，
则最小值为，
故答案为：．
由直角三角形的性质可得，，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，即可求解．
本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，交的延长线与点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
直线与轴、轴分别交于点、，
，，
，，
为上一点，且，
，
直线的表达式为，
设，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
则，，
则点的坐标为，
将点的坐标代入得，
解得，
故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
令，解得，
故，
故答案为：．
过点作，交的延长线与点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，得到为等腰直角三角形，再证明≌，求出点的坐标，进而求出直线的表达式，进一步即可求解的长．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、等腰直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是本题解题的关键，题目难度很大．
 

17.【答案】解：原式
；
设一次函数的解析式为，
则，
解得．
所以一次函数的解析式为． 

【解析】根据实数的运算法则计算即可；
利用待定系数法即可求得函数的解析式．
本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟记一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
，
，，
≌；
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由，，可得，又由，在直角三角形中利用即可证得：≌；
由≌，即可得，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形是平行四边形，则可得．
此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次调查共抽测了学生：名，
扇形图中“”这组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；
这组数据的平均数为：，
方差为：；
的学生有：名，
名，
答：估计全校名学生中对科普知识了解情况为优秀的学生人数为名．
根据的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后计算出所对应的扇形圆心角的度数；
根据“”这组的数据以及方差的计算公式，可以计算出这组数据的方差；
根据样本估计总体即可求解．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：由题意：，
，
即时，随的增大而增大；
若该函数是正比例函数，则，，
，
即时，该函数是正比例函数． 

【解析】根据题意，解得即可；
根据正比例函数的定义得到，，解得．
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的定义，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：；
在图中，等腰即为所求；
在图中，线段，点即为所求．

利用勾股定理求出，再利用平行线分线段成比例定理求出；
作正方形，延长交于点，即为所求；
取格点，作射线交于点，点即为所求．
本题考查作图平移变换，平行线分线段成比例定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】   

【解析】解：件，
元，
故答案为：；．
设直线的函数关系式为，
将代入，
得：，
解得：．
直线的函数关系式为．
设直线的函数关系式为，
将、代入，
，
解得：，
直线的函数关系式为．
联立两函数解析式成方程组，
，
解得：，
点的坐标为．
与之间的函数关系式为．
件，
当时，有或，
解得：或，
天，
日销售利润不低于元的天数共有天．
折线的最高点的坐标为，元．
当时，日销售利润最大，最大利润为元．
由时间每增加天日销售量减少件结合第天的日销售量为件，即可求出第天的日销售量，再根据日销售利润每件的利润日销售量，即可求出第天的日销售利润；
根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线、的函数关系式，联立两函数关系式成方程组可求出点的坐标，结合点的横坐标，即可找出与之间的函数关系式；
根据日销售量日销售利润每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入、的函数关系式中求出值，将其相减加即可求出日销售利润不低于元的天数，再根据点的坐标结合日销售利润每件的利润日销售量，即可求出日销售最大利润．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：根据数量间的关系列式计算；根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；利用一次函数图象上点的坐标特征求出日销售利润等于元的销售时间．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
；
证明：过点作，交的延长线于，

由知，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，，
≌，
，
，
；
解：，理由如下：作于，

设，，则，
设，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】首先利用三角形内角和定理得，再根据等量代换得，从而证明结论；
过点作，交的延长线于，首先利用证明≌，得，，再利用证明≌，得，从而证明结论；
作于，设，，则，设，得，根据∽，得，从而得出，再利用∽，得，求出的长度，从而解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与小伙子，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，设参数表示各线段的长是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，四边形为菱形，
，
，，
，
，
，，
，
，，
设所在直线的解析式为：，
把，代入得：
，
解得：，
所在直线的解析式为：；
由得：，所在直线的解析式为：，
，
点到直线的距离为，
即点在与平行，且距离为的直线上在下方，

设的解析式为，与轴交于点，过点作于点，即，
，
，，
，，
，，即，代入：，
解得，
直线解析式为：，
在直线上，
代入，得：，
解得：；
如图：

，，，
，
过做、、上的垂线段，对应长度记为、、，
利用三角形等面积法可得：
，
即   ，
由题目得：
    ，
得：
，
，
，
，



，
当时，取最小值为：
．
故答案为：．
根据点坐标和菱形性质计算菱形边长，然后分别计算点、坐标，即可求解；
由得，再根据的面积即可求出点到边距离，从而得到点在平行于，且到距离为的直线上，设出此直线的解析式，求出与轴交点坐标，就可以代入，求出解析式，再把坐标代入解析式即可求解；
先根据勾股定理求出斜边长，再过做、、上的垂线段，对应长度记为、、，根据面积计算出三条垂线段的数量关系   ，
，根据题目条件得：   ，联立消去，用含的式子表示，正好、是直角三角形的三边，利用勾股定理和完全平方式即可解答．
本题考查菱形性质、待定系数法求一次函数解析式、利用配方法求最值问题，解题关键是根据题意画出恰当的辅助线，难度较大．