高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.3 函数的应用(一)同步训练题

3.3函数的应用（一）人教 B版（2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 某手机生产线的年固定成本为万元，每生产千台需另投入成本万元．当年产量不足千台时，万元；当年产量不小于千台时，万元，每千台产品的售价为万元，该厂生产的产品能全部售完．当年产量为千台时，该厂当年的利润最大？(    )

A.  B.  C.  D.

2. 小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为元，每束花的进价为元，若日均销售量束与销售单价元的关系为，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

3. 习近平总书记亲自谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为全面建成小康社会的重要组成部分，人民的获得感、幸福感、安全感都离不开健康．为响应习总书记的号召，某村准备将一块边长为的正三角形空地记为规划为公园，并用一条垂直于边的小路宽度不计把空地分为两部分，一部分以绿化为主，一部分以休闲健身为主．如图，轴，小路记为直线，小路右侧为健身休闲区，其面积记为，则函数的图像大致为(    )

A.  B.
C.  D.

4. 某上市股票在天内每股的交易价格元与时间天组成有序数对，点落在图中的两条线段上；该股票在天内的日交易量万股与时间天的部分数据如下表所示，且与满足一次函数关系，

那么在这天中第几天日交易额最大(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数，若函数与的图象相交于，两点，且，两点的横坐标分别记为，，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在棱长为的正方体中，为与的交点，是线段上的动点，过作平面的垂线交平面于点，则点到点距离的最小值是   (    )

A.  B.  C.  D.

8. 疫情爆发期间某种防护用品在近天内每件的销售价格元和时间天的函数关系为╔╔P= \ begin{cases}t+20,0

A. 第天 B. 第天 C. 第天 D. 第天

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元以下判断正确的是(    )

A. 该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B. 该单位每月最低可获利元
C. 该单位每月不获利，也不亏损
D. 每月需要国家至少补贴元才能使该单位不亏损

10. 为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒当教室内每立方米药物含量超过时能有效杀灭病毒已知教室内每立方米空气中的含药量单位：随时间单位：的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为：为常数，则下列说法正确的是(    )

A. 当时，
B. 当时，
C. 教室内持续有效杀灭病毒时间为小时
D. 喷洒分钟后开始进行有效灭杀病毒

11. 已知函数，关于函数的结论正确的是(    )

A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 若，则的值是 D. 的解集为

12. 某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是  (    )

A. 当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱
B. 当打车距离为时，乘客选择甲、乙方案均可
C. 打车以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多
D. 甲方案内含付费元，行程大于每增加公里费用增加元

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知函数，若恰有一个零点，则实数的取值范围是______．
14. 有一批材料可以建成长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形，如图所示，则围成场地的最大面积为          围墙厚度不计．
15. 新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时单位：小时大致服从的关系为为常数已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为__________小时．
16. 把长为的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发的钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新合金材料的含量单位：克的关系为：当时，是的二次函数；当时，测得部分数据如表．

求关于的函数关系式；
求函数的最大值．

18. 某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费万元与精加工的蔬菜量吨有如下关系：设该农业合作社将吨蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润扣除加工费为万元．
    写出关于的函数表达式；

当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．

19. 某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构成本费用为元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过，则每人的培训费用为元；若公司参加培训的员工人数多于，则给予优惠：每多一人，每位员工的培训费减少元．已知该公司最多有位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为，每位员工的培训费用为元，培训机构的利润为元．

写出与之间的函数关系式；

当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润．

20. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”。某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”。调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量单位：与肥料费用单位：元满足如下关系，其他成本投入如培育管理等人工费为单位：元。已知这种水果的市场售价大约为元，且供不应求。记该单株水果树获得的利润为单位：元。
    求的函数关系式；

当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？

21. 攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种种，探明储量种，其中钒、钛资源储量分别占全国的和，占全球的和，因此其素有“钒钛之都”的美称攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值值越大产品的性能越好与这种新合金材料的含量单位：克的关系为：当时，是的二次函数当时，测得部分数据如表：

求关于的函数关系式

求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳．

22. 近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与空气污染指数的关系为：，其中空气污染指数与时刻小时和的算术平均数成反比，且比例系数为，是与气象有关的参数，

求空气污染指数的解析式和最大值

若用每天环境综合污染指数的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过试问目前市中心的综合污染指数是否超标请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数模型，函数的应用，属于中档题．
求出利润的函数解析式，用分段函数表示，然后分段求出函数的最大值，比较大小求解即可．

【解答】

解： 设年产量为千台，当年的利润为万元，
则由已知有
即
当时，由二次函数性质知当时，取得最大值，
当时，由对勾函数单调性得，在单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，
又，
所以当年产量为千台时，该厂当年的利润取得最大值万元．
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用二次函数模型解决实际问题，属于中档题．

设每天获利元，可得，结合二次函数的图像与性质即可得解．

【解答】

解：设每天获利元，则，

由，，得，

故当时，每天获利最大，

故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数模型和分段函数模型．
分和两种情况求面积可得，再判断函数图象即可．

【解答】

解：当时，，
当时，，
由题意得
结合各选项可知项符合题意．
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的图象，分段函数，待定系数法，二次函数求最值，学生根据实际问题选择函数类型的能力，属于中档题．

由图象知函数为分段函数，根据待定系数法分别求出函数在上的解析式，再根据表格求出一次函数的解析式，从而写出交易额函数的解析式，在各段上根据二次函数求最值即可．

【解答】

解：当时，设，
根据图象过点，所以

解得，所以，

同理可得当，，

综上可得，

由题意可设，把代入可得
解得，所以，

当时，对称轴为，开口向下，
所以当时，万元，

当时，在上单调递减，
所以时，万元，

综上可得，第日的交易额最大为万元．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
作出函数的图象，由图象及对称性可得，，，即为，，代入所求式子，运用二次函数的值域，结合单调性可得所求范围．
本题考查分段函数的运用：求取值范围，考查正弦函数的对称性和应用，以及二次函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．
【解答】
解：作出函数的图象，

存在实数，，，，满足，
且，
可得，即有，
且，即为，，
则
，
可得在递增，
即所求范围为．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：在同一坐标系内作出函数与的图象如图，

由时，，
且的图象与的图象关于对称，
不妨设，
可得，．
利用同向不等式相加，可得的取值范围是．
故选：．
由题意画出图形，不妨设，可得，，由不等式的可加性得答案．
本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正方体的结构性质，考查了函数思想的应用，构造函数模型，利用二次函数求最小值是解题的关键，属中档题．

根据正方体的结构特征，可证，在上，过作，交于，设，利用勾股定理构造关于的函数，求函数的最小值．

【解答】 

解：平面平面，又平面，
平面，
过作，交于，如图：

设，，
，
当时最小．
故选C．

8.【答案】 

【解析】设日销售金额为元，由题意得， ╔╔ \ begin{cases}(t+20)(40-t)(0

当，时，．

时，，

当，时，，

而在上单调递减．

时，．

，

第天日销售额最大，为元．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式在函数中的应用，解题关键是列出函数关系式，属于中档题．

列出处理成本函数，然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量设该单位每月获利为，则，把值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．

【解答】

解：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当，即时，能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．
设该单位每月获利为，
则
，
因为，所以当时，有最大值元，
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．
故选AD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的应用，函数解析式及不等式解法，属于中档题．
利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．

【解答】

解：当时，设，
则，故，故A正确；
当时，把代入，
可得：，，时，，故B正确；
令得，令得，
则教室内持续有效杀灭病毒时间为小时，故C错误
令得，则当喷洒分钟后开始进行有效灭杀病毒，故D正确；
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的定义域、值域的求法，考查不等式的解法，是中档题．
求解分段函数的定义域及值域判断与；由函数值求解值判断；求解函数不等式判断．

【解答】

解：，函数的定义域为，故A错误；
当时，，当时，，
故函数的值域为，故B正确；
由，得或，解得，故C正确；
或，解得或，
则的解集为，故D错误．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数模型的应用，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．
根据题意，分段求出甲乙函数解析式，即可得出结论．
【解答】
解：根据图象，当时，甲方案的函数解析式为，
当时，甲方案的函数图象是一条直线，直线过点，，
设函数解析式为，则，解得，即，
综上，甲方案支付费用元与打车里程数的函数关系为
同理，乙方案支付费用元与打车里程数的函数关系为
对于，当时，甲方案付费元，乙方案付费元，所以甲方案省钱，故A正确；
对于，从图象上可以看出，当打车距离为时，付费都是元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；
对于，打车以上时，甲方案每公里增加的费用为元，乙方案每公里增加的费用为元，所以C正确；
对于，甲方案行程大于每增加公里费用增加元，所以不正确．
故选ABC．  

13.【答案】， 

【解析】

【分析】

解：函数，函数的图象如图：
函数恰有一个零点，可得
只有一解，
则或，
故答案为：，．
 

【解答】

本题考查分段函数的运用：解不等式和函数零点个数，考查数形结合思想方法和分类讨论思想方法，属于中档题．由分段函数解析式，讨论的范围，由二次不等式解法可得的范围；由题意可得只有一解，由图象可得的范围．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

设小矩形的高为，把面积用表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值．

【详解】

解：设每个小矩形的高为，则长为，记面积为

则

当时，

所围矩形面积的最大值为

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数的应用，解题关键是寻找一个变量，把面积表示为此变量的函数，再根据函数的知识求得最值．本题属于基础题．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的解析式及函数的求值，属于基础题．
依题意得，解得，又，解得，所以即可求解．

【解答】

解：由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，且，

由第天检测过程平均耗时为小时，可知，解得．

又，解得，

所以

当时，．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的应用，需要注意的是设出的必须有相应的定义域．
首先设出两段铁丝的长度且确定长度范围，再利用正三角形的面积公式求出面积和，最后结合二次函数的性质求出最小值．

【解答】

解：设两段铁丝长分别为和，则根据题意得：

，

当时，等号成立，即两个正三角形的面积和的最小值为．

故答案为．

17.【答案】解：当时，由题意，设．

由表格数据得

解得

所以，当时，，

当时，，

由表格数据可得，解得，

所以当时，，

综上，

当时，，当时有最大值，

当时，单凋递减，当时有最大值为．

所以的最大值为．

【解析】本题考查函数模型及二次函数和指数函数．

由表中数据，结合二次函数和指数函数，分段求解即可．

由二次函数和指数函数的性质分段求最值，再比较即可．

18.【答案】解：由题意，知当时，

；

当时，

，

所以．

当时，，

所以当时，；

当时，，

所以当时，．

因为，
所以当时，．

故当精加工蔬菜时，总利润最大，最大利润为万元．

【解析】本题主要考查函数模型的应用、函数的最值，属于中档题．
根据定义域，可得；
分别在两段内求出各个段的最大值，然后比较两者大小，即可得解．
 

19.【答案】解：依题意，得当时，；

当时，，

当，时，．

所以当时，取得最大值，．

当，时，

，

所以当或时，取得最大值，．

，

当公司参加培训的员工人数为或时，培训机构可获得最大利润元．

【解析】本题考查了二次函数模型、分段函数模型的相关知识，试题难度一般．
根据题意分，两种情况列式即可
先分段列出的函数关系式，求解最值即可．
 

20.【答案】解：由已知

即
答：的函数关系式为
由变形得
，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
且
；
当时，，

当且仅当时，即时等号成立．
，
因为，所以当时，．
答：当投入的肥料费用为元时，种植该果树获得的最大利润是元． 

【解析】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意分段列出函数的解析式即可；
分两段讨论分别求出其最值，再取较大值即可．
 

21.【答案】解由题意知，当时，是的二次函数，

可设，

由，可得

由，，得

由，，可得，

联立解得，，

即有

当时，，

由，，可得，

即有．

综上可得

当时，

，

当时，取得最大值

当时，为减函数，

可得，当时，取得最大值．

综上可得当时产品的性能达到最佳．

【解析】略
 

22.【答案】解：由题意得，，
即，
当且仅当时，．
由得，，设，
令，，
则
由图像知在和上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以，
令，解得，
令，解得，
所以
当时，，
当时，，
即，所以，
所以目前市中心的综合污染指数没有超标． 

【解析】本题考查函数的模型的应用，二次函数图像性质的应用，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
求出的解析式，利用基本不等式得出最值即可；

设，可得，，利用二次函数的性质得出的单调性，求出的最大值，作出判断．