人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集优秀练习题

2.1.1等式的性质与方程的解集人教  B版（2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 要使二次三项式在整数范围内可因式分解，为正整数，那么的取值可以有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若多项式；因式分解后的一个因式是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 碳是一种非金属单质，它是由个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯．其结构是由五元环正五边形面和六元环正六边形面组成的封闭的凸多面体，共个面，且满足：顶点数棱数面数，则其六元环的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 把分解因式，结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 九章算术记载了一个方程的问题，译为：今有上禾束，减损其中之“实”十八升，与下禾束之“实”相当；下禾束，减损其中之“实”五升，与上禾束之“实”相当问上下禾每束之实各为多少升？设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 将代数式因式分解的结果为 (    )

A.  B.
C.  D.

8. 若，则，的值可能分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 设，，称为，的调和平均数，称为，的平方平均数如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则下列结论正确的有．(    )

A. 的长度是，的几何平均数 B. 的长度是，的调和平均数
C. 的长度是，的算术平均数 D. 的长度是，的平方平均数

10. 已知集合，，若，则的可能取值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 指数方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列等式中是恒等式的是 (    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若多项式可分解为，其中，均为整数，则的值为          ．
14. 若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则的值为          ．
15. 若关于的分式方程解集为空集，则          
16. 若展开是一个二次二项式，则____

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.   求方程的解集
    若分式方程解集为空集，求的值．
18. 已知全集，，，且，求值．
19. 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：．

解：设，，则原方程可化为，

解得，．

当时，，；

当时，，．

原方程的解集是．

上述解方程的方法称为“换元法”请用“换元法”解决下列问题：

解方程：；

若实数满足，求的值．

20. 求下列方程的解集．
    ；
    ；
    ；
    为常数．
21. 求下列关于的方程的解集．

；

其中，是常数．

22.  已知函数

当时，求函数的最小值；

若存在，使得成立，求实数取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了因式分解--十字相乘法，属于中档题．
二次三项式能分解的条件为根据十字相乘法的操作进行判断求解．

【解答】

解：二次三项式能分解则必须有：，
又为正整数，即，
整数范围内能进行因式分解，因而只要把能分解成两个整数相乘，且和是，
这样的数有和，和，和，共组，
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数分解成两个因数，的积，把常数项分解成两个因数，的积，并使正好是一次项，那么可以直接写成结果：首先利用十字交乘法将因式分解，继而求得，，的值．

【解答】

解：利用十字交乘法将因式分解，
可得：
，，，
则
故选

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查因式分解的应用，可设分解后的因式为，然后得出和表示的式子，再代入求值即可．

【解答】

解：设分解后的因式为，
即，
，，
．
故选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查归纳能力及推理能力，属于中档题．
根据题意，先计算出棱数，设五元环有个，六元环有个，列出等量关系式求解即可．

【解答】

解：根据题意，碳有个顶点，有个面，
由顶点数棱数面数，可得棱数为，
设五元环有个，六元环有个，
则解得
所以六元环的个数为．
故答案为．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了十字相乘法分解因式，属于基础题．
第一次分解用十字相乘法，第二次分解时一个括号内用十字相乘法，一个用完全平方公式即可．

【解答】

解：
故选

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查方程组的应用，属于基础题．

由题意，一束为一个整体，减损为在原基础上减掉，根据题意列出方程组即可．

【解答】

 解：上、下禾每束为升，上禾束有，减损，即，

下禾束之“实相当，即，
同理有，

所以方程组为．

故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查因式分解，属于基础题．

【解答】

解：由十字相乘法可得，
故选A．

8.【答案】 

【解析】

【解答】解：根据题意，知：，，，的值可能分别是，，故答案为：．
【分析】根据题意，即可得出，，进而得到，的值可能分别是，此题考查了恒等式运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆的性质和相似三角形，属于中档题．
根据几何平均数、调和平均数、算术平均数、平方平均数的定义逐一判断即可．

【解答】

解：对，，为，的算术平均数，故A错误；

对，由已知易得与相似，所以，

所以，即的长度是，的调和平均数，故B正确；

对，由已知易得与相似，所以，即，得，所以的长度是，的几何平均数，故C错误；

对，连接，易知，在直角三角形中，由勾股定理得，

即的长度是，的平方平均数，故D正确．

故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查方程的解集，考查集合包含关系的判断，属于中档题．

【解答】

解：时，，
此时时，方程的解为，
若，则或，解得或．
综上，的可能取值为或或．
故选ABC．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数方程的解法．
利用指数运算即可得到答案．

【解答】

解：，
即
．
所以或，
所以或．
故选AD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查整式的乘法与因式分解，考查等式的性质及应用，属于基础题．
对各个选项逐一判断即可．

【解答】

解：由等式的性质知、选项正确； 
由知选项错误； 
由平方差公式知选项正确．
故选ABD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查因式分解的应用以及求代数式的值．
首先将式子展开，然后利用十字相乘法分解因式，即可得出，的值，最后代入计算即可．

【解答】

解：



多项式可分解为，
，，

故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了十字相乘法分解因式的知识．
首先利用十字相乘法将因式分解，继而求得，的值，即可得解．

【解答】

解：利用十字相乘法将因式分解，
可得：
，，

故答案为

15.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查了分式方程的解和解分式方程，分式方程解集为空集即为方程无解，掌握分式方程无解的条件是解决问题的关键．
先求解分式方程，将代入最简公分母后，令其为，即可求出的值，另一种情况是整式方程也无解此时求出的值即可．

【解答】

解：去分母可得：
，
，
，
 ，
由于该分式方程解集为空集，即方程无解， 
当时，或，
所以或为方程的增根，
当时，
解得：，
当 时，此时无解，
当时分式方程也无解；
此时
故答案为：或

16.【答案】或 

【解析】

【解答】解：原式，由结果为关于的二次二项式，得到或，则或故答案为：或．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果为二次二项式确定出的值即可．此题考查了恒等式运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键。  

17.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验满足分式方程，
故方程解集为．
去分母得，
因为分式方程解集为空集
所以分两种情况讨论：
当分式有增根时，即，得或，当时，，当时得，不成立，即不能等于；
当方程无解时，即，；
所以原方程解集为空集时或 

【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解集；
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解集为空集，确定出的值即可．
 

18.【答案】解：，，，．
又，
是关于的方程的一个根，
，得，
，
，
又，
是关于的方程的一个根，
，，
 
此时集合，满足题意，． 

【解析】本题考查方程的解集，考查整式的乘法与因式分解，考查交并补混合运算，属于中档题．
 

19.【答案】解：设，，则原方程可化为，即，解得或当时，，当时，，原方程的解集是．
设，当时，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当时取等号，的取值范围为原方程可化为，即，，解得舍去或，故． 

【解析】本题考查换元法的应用
利用换元法处理式子，将其变形为二次函数进行求解
 

20.【答案】解：方程可化为，即，
所以方程的解集为
方程可化为，即，
所以，
所以方程的解集为．
方程可化为，
解得或，
所以方程的解集为．
方程可化为，
当时，，方程的解集为；
当时，方程无解，此时方程的解集为．
综上，当时，解集为，当时，解集为． 

【解析】本题考查了方程的求解，解题的关键是将方程进行化简变形，同时要注意对参数的讨论，属于中档题．
先将方程进行化简变形为，然后求解方程的解集即可；
先将方程进行化简变形为，进而求解方程的解集即可；
先将方程左边利用十字相乘法得到，即可得到方程的解集；
先将方程进行化简变形为，然后分和两种情况讨论即可求解．
 

21.【答案】解： ，时，方程的解集为， 

，时，方程的解集为，

时，，方程的解集为； 

当，即或时，方程的解集为；

当，即或时，

若，则方程的解集为；

若，则方程的解集为；

当，即时，方程的解集为空集．
综上可知：当或时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，方程的解集为．

【解析】本题考查解方程的方法，考查分类讨论，属于中档题．
对，的取值分类解答即可；
对的符号分类讨论计算即可．
 

22.【答案】解：

因为     

 因为，所以，，
所以利用基本不等式，得，

 当且仅当即时取等号

所以，即函数的最小值为．

存在，使得成立，

所以，即，则，

解得．

【解析】【试题解析】
本题主要考查不等式的恒成立问题，利用基本不等式求最值问题以及指数方程与指数不等式，属于基础题．
利用，化简有，利用基本不等式可求的最小值；
假设存在，使得成立，，利用不等式结合因式分解和指数运算可得的取值范围．