专题强化练3　求函数的最大(小)值-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

专题强化练3　求函数的最大(小)值

1.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x.若该公司在两地共销售15辆该品牌车,则能获得的最大利润为(　　)

A.90万元　　　　　　B.60万元

C.120万元　　　　　　D.120.25万元

2.(多选)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是(　　)

A. f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1

B. f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值

C. f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5

D. f(x)在区间[0,a](a>1)上的最大值为f(a)

3.(2022山东枣庄期中)定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设h(x)=maxx2,x,6-x,则h(x)的最小值为(　　)

A.　　　　　B.3　　　　　C.　　　　　D.4

4.若函数f(x)=将函数y=|f(x)-f(t)|,x∈[m,n]的最大值记作Zt[m,n],则当-2≤m≤2时,[m,m+4]的取值范围是(　　)

A.[5,14]　　　　　　B.[5,16]

C.[2,14]　　　　　　D.[2,16]

5.(2021江苏徐州一中期中)某兴趣小组进行数学探究活动,将边长为1的正三角形纸片沿平行于三角形一边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=×.

(1)当梯形的腰长为时,S的值为　　　　; 

(2)S的最小值是　　　　. 

6.(2022天津耀华中学期中)函数f(x)=+2x2-5x+5的最小值为　　　　. 

7.已知函数f(x)=x2-(2+3a)x+5,x∈[0,3].

(1)当a=1时,求f(x)的最大值和最小值;

(2)若f(x)在区间[0,3]上的最大值为14,求实数a的值.

8.(2021安徽合肥八中期中)已知函数f(x)=ax+2(a>0),g(x)=,若∃x1∈[-1,2],∀x2∈[2,3],使f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.

9.某企业开发、生产了一款新型节能环保产品,并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元,每生产一台需另投入380元.设该企业一年内生产该产品x(x>0)万台且能全部售完,每万台的销售收入为R(x)万元,且R(x)=

(1)写出年利润S(x)(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式;(利润=销售收入-成本)

(2)当年产量为多少万台时,该企业获得的利润最大?并求出最大利润.

10.请先阅读下列材料,然后回答问题.

对于问题“已知函数f(x)=,问函数f(x)是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,请说明理由”,一个同学给出了如下解答:令u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4,当x=1时,u有最大值,umax=4,显然u没有最小值.故当x=1时, f(x)有最小值,没有最大值.

(1)你认为上述解答是否正确?若不正确,说明理由,并给出正确的解答;

(2)试研究函数y=的最值情况;

(3)试研究函数f(x)=(a>0)的最值情况.

答案全解全析

1.C　设公司在甲地销售m(0≤m≤15,且m∈N)辆该品牌车,则在乙地销售(15-m)辆.

设公司获利L万元,

则L=L1+L2=-m2+21m+2(15-m)=-m2+19m+30=-+30+,

∴当m=9或m=10时,L取得最大值120,即该公司在两地共销售15辆该品牌车时,能获得的最大利润为120万元.故选C.

2.BC　函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.

在选项A中,因为f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A错误;

在选项B中,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5, f(2)=2, f(-1)>f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5,B正确;

在选项C中,因为f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确;

在选项D中,当1<a<2时, f(x)在区间[0,a]上的最大值为f(0)=2,当a≥2时, f(x)在区间[0,a]上的最大值为f(a),D错误.故选BC.

3.C　在同一直角坐标系中画出y=x2,y=x,y=6-x的图象,则函数h(x)的图象为图中实线部分.

由图可知,函数h(x)图象的最低点为A,

联立解得即A.

所以h(x)的最小值为.故选C.

4.A　由f(x)=得f =2,

则t=时,y=|f(x)-f(t)|=|f(x)-2|.

作出函数f(x)的图象如图所示:

当-2≤m≤-1时,m+4∈[2,3],ymax=|f(-1)-2|=5;

当-1<m≤2时,m+4∈(3,6],[m,m+4]=3(m+4)-2-2=3m+8,

则[m,m+4]∈(5,14],

故[m,m+4]的取值范围是[5,14].故选A.

5.答案　(1)　(2)6+4

解析　由题意可知,将正三角形纸片剪成了一个小正三角形和一个等腰梯形.

设剪成的小正三角形的边长为x(0<x<1),则梯形的周长为3-x,梯形的面积为×(x+1)××(1-x)=(1-x2),

所以S=×=4×(0<x<1).

(1)当梯形的腰长为,即x=时,S=4×=.

(2)令3-x=t,则t∈(2,3),

故S=4×=4×≥4×=6+4,当且仅当t=,即t=2时,等号成立,

所以S的最小值是6+4.

6.答案　3

解析　令1-2x≥0,解得x≤,故f(x)的定义域为.

易知y=在上单调递减,

y=2x2-5x+5的图象开口向上,对称轴方程为x=,所以y=2x2-5x+5在上单调递减,所以f(x)是定义在上的减函数,

所以f(x)min=f =3.

7.解析　(1)当a=1时,f(x)=x2-5x+5=-,x∈[0,3].

因为函数y=x2-5x+5的图象开口向上,对称轴方程为x=,

所以f(x)min=f=-, f(x)max=f(0)=5.

(2)y=x2-(2+3a)x+5的图象的对称轴方程为x=.

当≤,即a≤时, f(x)max=f(3)=8-9a=14,解得a=-;

当>,即a>时,f(x)max=f(0)=5≠14,不符合题意.

综上可得,a=-.

8.解析　因为∃x1∈[-1,2],∀x2∈[2,3],使f(x1)=g(x2)成立,

所以g(x)的值域是f(x)值域的子集.

当x∈[2,3]时,g(x)=的值域为[1,2],

当x∈[-1,2]时, f(x)=ax+2(a>0)的值域为[-a+2,2a+2],

要满足g(x)的值域是f(x)值域的子集,

则解得a≥1,

故实数a的取值范围为[1,+∞).

9.解析　(1)当0<x≤20时,S(x)=xR(x)-(380x+150)=

500x-2x2-380x-150=-2x2+120x-150,

当x>20时,S(x)=xR(x)-(380x+150)=370x+2 140--380x-150=-10x-+1 990,

∴S(x)=

(2)当0<x≤20时,S(x)=-2x2+120x-150=-2(x-30)2+1 650,

∴函数S(x)在(0,20]上单调递增,

∴当x=20时,S(x)取得最大值,最大值为1 450.

当x>20时,S(x)=-10x-+1 990=-+1 990≤-2+1 990=-500+1 990=1 490,

当且仅当10x=,即x=25(负值舍去)时,等号成立,故S(x)的最大值为1 490.

∵1 490>1 450,∴当年产量为25万台时,该企业获得的利润最大,最大利润为1 490万元.

10.解析　(1)不正确.没有考虑到u还可以小于0.

正确解答如下:令u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4≤4,易知u≠0,

当0<u≤4时,≥,即f(x)≥;

当u<0时,<0,即f(x)<0.

∴f(x)<0或f(x)≥,即f(x)既无最大值,也无最小值.

(2)∵x2+x+2=+≥,∴0<y≤,

∴函数y=有最大值,为,无最小值.

(3)对于函数f(x)=(a>0),令t=ax2+bx+c,则t≠0.

①当Δ>0时,t有最小值,tmin =<0,

当≤t<0时,≤,即f(x)≤;

当t>0时, f(x)>0.

∴f(x)>0或f(x)≤,故f(x)既无最大值也无最小值.

②当Δ=0时,t有最小值,tmin==0,又t≠0,∴t>0,此时>0,即f(x)>0, ∴f(x)既无最大值也无最小值.

③当Δ<0时,t有最小值,tmin=>0,即t≥>0,

∴0<≤,即0<f(x)≤,

∴当x=-时, f(x)有最大值,没有最小值.

综上,当Δ≥0时, f(x)既无最大值,也无最小值;当Δ<0时, f(x)有最大值,此时x=-,没有最小值.