2021-2022学年福建省清流县第一中学高二下学期第一阶段考试数学试题（解析版）

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2021-2022学年福建省清流县第一中学高二下学期第一阶段考试数学试题一、单选题1．若，则（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据排列数公式直接求解即可.【详解】解：由，得，化简得或（舍）.故选：B.2．下列问题中不是组合问题的是（       ）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有2020个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线C．集合的含有三个元素的子集有多少个D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法【答案】D【分析】因为组合是与顺序无关的，所以A，B，C都是组合问题，D是排列问题．【详解】选项A中 ，是组合问题；选项B中，是组合问题；选项C中，是组合问题；选项D中 有顺序，是排列问题.故选：D.3．已知函数，则A． B．C． D．【答案】C【解析】根据分式的求导法则求解即可.【详解】因为,故.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的分式运算,属于基础题.4．书架的第层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取本书，有（       ）种不同取法？从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有（       ）种不同取法?A．9，20 B．20，9 C．9，24 D．24，9【答案】C【分析】根据分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.【详解】从书架上任取本书，有种不同取法.从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有种不同取法.故选：C5．函数在区间上的最大值和最小值分别为（       ）A．2和 B．2和0 C．0和 D．1和0【答案】A【分析】利用导数求得最大值和最小值.【详解】，所以在区间上递减，在上递增.所以的最小值为，，所以的最大值为.故选：A6．设是可导函数，且，则A．2 B． C． D．【答案】B【解析】根据导数的定义，将所给式子化成，从而求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题.7．把一条长为8的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，则两个正方形的边长各是（       ）A．1，1 B．1，2 C．2，2 D．3，3【答案】A【分析】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，可得两个正方形的面积和，根据二次函数的性质求出两个正方形的面积和最小时，两段铁丝的长度．【详解】解：依题意设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．两个正方形的面积和为：，，时，两个正方形的面积和最小为2，此时，所以两段铁丝的长度分别1，1，故选：A8．若函数，当方程有2个解时，则的取值范围（       ）A． B．或C． D．且【答案】C【分析】求出函数的导数，判断其单调性，求得极值，作出其大致图象，数形结合，求得当方程有2个解时，的取值范围.【详解】由函数，得，当 时，，递减，当 时，，递增，故 ，且当 时，，故大致图象如图示： 故当方程有2个解时，则的取值范围为，故选：C二、多选题9．在的展开式中，下列说法正确的有（       ）A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0C．常数项为20 D．二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【分析】由二项式系数可判断A；令可判断B；由二项式定理以及二项式系数的性质可判断CD.【详解】对于A，所有项的二项式系数和为，故A正确；对于B，令，得所有项的系数和为，故B正确；对于C，常数项为，故C错误；对于D，展开式有7项，二项式系数最大为第4项，故D正确．故选：ABD．10．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（       ）A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点【答案】AC【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC11．若()，则（       ）A．B．C．D．【答案】AD【解析】令，可验证A，令，，计算可验证B、C, 令，化简计算可判断D,即可得出结果.【详解】令，则，A对，令，则，令，则，∴，，BC错，令，则，又，则，D对，故选：AD.12．[多选]若函数的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是（       ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由题意可知存在两点使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1，然后结合选项求导逐项分析即可.【详解】由题意，可知若函数具有“T性质”，则存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1.对于A，，满足条件；对于B，，满足条件；对于C，恒成立，负数乘以负数不可能得到-1，不满足条件；对于D，恒成立，正数乘以正数不可能得到-1，不满足条件.故选：AB.三、填空题13．计算：______．【答案】16【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.【详解】故答案为：16.14．函数的极值点为，则的值为_________.【答案】【分析】由题知，，进而得，再检验满足条件即可.【详解】解：因为函数的极值点为，所以，解得，此时，故当，，单调递增，当，，单调递减；所以是函数的极小值点.故答案为：15．的展开式中，的系数为_____.【答案】360【分析】把已知式子 ，两次使用二项式定理通项公式求得含的项的系数即可．【详解】，展开式的通项为：，要得到含项，则，又的通项为：要得到含项，则，的系数为：故答案为：．16．若函数恰有两个零点，则在上的最小值为_____.【答案】【分析】由题，令，得或，进而讨论时不满足题意得，再结合题意，根据得另一个极值点必为零点，进而得，再求最值即可.【详解】解：由，得，令，得或，若，则，所以单调递增，函数最多只有一个零点，不符合题意，所以，因为恰有2个零点，，所以另一个极值点必为零点，所以，得，所以，所以，当时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增，因为，，，，所以在上的最小值为.故答案为：四、解答题17．（1）已知全集，集合，，求.（2）已知，，且，若不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）；（2）9.【分析】（1）先求不等式解集，再利用集合的补集、交集运算即可（2）转化为最值问题，由基本不等式求解【详解】（1）由已知，所以，（2），且仅当时取等号，不等式恒成立，则，故的最大值为9.18．从5名男生和3名女生中选出3人，分别求符合下列条件的选法数.(1)男同学甲、女同学乙必须被选出；(2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员等3种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.【答案】(1)6(2)16(3)90【分析】（1）先选出男同学甲、女同学乙，再从其它6个人中再选1人即可.（2）先从8人中任选3人，再把没有女学生入选和只有1名女生入选的算出来，再用排除法，由此求得选法数.（3）用分步计数原理，先选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，再剩下的6人中任取1人担任其它班委，相乘即可.【详解】(1)解：根据题意，先选出男同学甲，女同学乙，再从其它6个人中再选1人即可，共有种选法；(2)解：从8人中任选3人，有种选法，没有女学生入选，即全选男生的情况有种情况，只有1名女生入选，即选取1女4男，有种选法，故所有符合条件选法数为：--=16种；(3)解：选出一个男生担任体育班委，有种情况，再选出1名女生担任文娱班委，有种情况，剩下的6人中任取1人担任其它班委，有种情况，用分步计数原理可得到所有方法总数为：种.19．在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式的展开式中，已知__________.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求的展开式中的系数.【答案】(1)；(2)560.【分析】（1）根据二项式系数公式，结合二项式系数的性质分别选择①、②进行求解即可；（2）根据二项式的通项公式，结合题意进行求解即可.【详解】(1)选择①，因为，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为选择②，因为，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为；(2)由（1）可知：，二项式的通项公式为，因为，所以的展开式中含的项为：所以展开式中的系数为560.20．已知函数在处取得极大值1.（1）求函数的图象在处切线的方程；（2）若函数在上不单调，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）先对函数求导，利用题意列出方程组，从而求得函数解析式，之后利用导数的几何意义，结合直线方程点斜式求得切线方程；（2）先令导数等于零，求得函数的极值点，函数在给定区间上不单调的等价结果是零点在区间上，得到参数的范围.【详解】（1）因为，由题意可得解得，，所以；经检验，适合题意，又，，所以函数图象在处切线的方程为，即.（2）因为，令，得或.当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，当时，，函数为增函数.因为函数在上不单调，所以或，所以或.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，解决该题的思路如下：（1）对函数求导，利用题意，列出方程组，求得函数解析式；（2）利用导数的几何意义，结合直线方程点斜式求得切线方程；（3）函数在给定区间上不单调等价结果是极值点在区间内.21．已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由图象可得，，则可得，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求得函数的解析式；（2）先利用三角函数图象变换规律求出，再由，得，然后再利用正弦函数的性质可求得值域【详解】解：（1）由最大值可确定，因为，所以，此时，代入最高点，可得：，从而，结合，于是当时，，所以.（2）由题意，，当时，，则有，即，所以在区间上的值域为.22．已知函数（，）（1）讨论的单调性；（2）若对任意，恰有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）讨论的范围，得出的解的情况，从而得出的单调区间；（2）分离参数可得，令，求出的单调性和值域，从而可得出的范围．【详解】解法一：（1）依题意，，令，，①当时，，，在单调递增；②当时，，由得，，因为，所，设，，则当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增；综上，当时，在单调递增；②当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.（2）由得，，记，则，（i）当时，由（1）知，在单调递增，所以在单调递增，又因为，当时，，时，所以当时，对任意恰有一个零点.（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，在单调递增，其中，，所以，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，所以，所以极大极小，又因为当时，，时，所以对任意，恰有一个零点，等价于恒成立或恒成立.设，则，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，又，，因为，所以，所以，，所以的值域为，的值域为，即的值域为，的值域为，所以，所以，综上，的取值范围为.解法二：（1）同解法一；（2）（i）当时，由（1）知，在单调递增，又因为，所以取，则，取，则，所以，所以在恰有一个零点，所以；（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，在单调递增，其中，，，所以，所以极大，极小，设，则，当时，，所以在单调递增，+当时，，所以在单调递减，又，，因为，所以，所以，，①当时，，，即，，所以当时，，在不存在零点，当时，取，则，又因为，所以在恰有一个零点，所以恰有一个零点；.②当时，因为，当时，，所以，所以在恰有一个零点，当时，，所以，所以在恰有一个零点，即，则，则，所以在单调递减，所以，所以，即，因为，，且在单调递减，所以，即，所以，所以，因为，，，所以存在，满足，所以，，所以，，所以，，即，，又因为在单调递增，在单调递减，在单调递增，取，则，取，则，所以分别在，，各有一个零点，恰有三个零点，与恰有一个零点矛盾，不合题意；综上，的取值范围为.【点睛】本题考查函数的单调性、函数零点、导数及其应用等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力和创新意识等；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等. 属于难题．