初中数学第二十三章 旋转综合与测试练习题

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圆[时间：90分钟　分值：120分]一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图1，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为(　A　)A．6　　 　B．8　　　 C．10　　 　D．12图1　　　图22．如图2，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝36°，则∠A的度数为(　D　)A．36°  B．56°  C．72°  D．144°3．如图3所示，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧上，且不与A，B重合，则∠BPC等于(　B　)A．30°  B．60°  C．90°  D．45°【解析】 本题考查正三角形与圆周角的性质，由△ABC为正三角形得∠CAB＝60°，由圆周角的性质得∠BPC＝∠BAC＝60°.图3图44．一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为(　B　)A．16 cm或6 cm  B．3 cm或8 cmC．3 cm  D．8 cm5．如图4，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，若∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于(　B　)A．45°  B．55°  C．65°  D．70°6．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，AB＝8 m，∠CAD＝30°，则大棚高度CD约为(　B　)图5A．2.0 m  B．2.3 mC．4.6 m  D．6.9 m【解析】 在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝AC，∴AC＝2CD.设CD＝x m，则AC＝2x m，AD＝＝＝x.∵CD⊥AB，∴AD＝AB＝×8＝4(m)，∴x＝4，x＝≈2.3，故选B.7．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图6所示)，那么B点从开始至结束所经过的路径长度为(　B　)A.  B.C．4  D．2＋【解析】 B点经过的路径长度是两条弧长之和，这两条弧所对的圆心角都为120°，所在圆的半径为1，即2×＝π，选B.图6图78．如图7所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为(　A　)A.－  B.－2C.－  D.9．如图8，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于(　B　)A．40°  B．50°C．60°  D．70°图8图910．如图9，PA，PB切⊙O于点A，B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是(　C　)A．10  B．18  C．20  D．22二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图10所示，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，若∠C＝∠D＝∠E，则∠A＋∠B＝__135°__.【解析】 因为AB是直径，∠D＝∠E，所以＝，且它们的度数为90°，又∠C＝∠D，所以的度数也为90°，所以∠A与∠B所对弧的度数和为180°＋90°＝270°，故∠A＋∠B＝135°.图10图1112．如图11，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是__50°__．13．如图12，⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是__3__cm__．图12第13题答图【解析】 P到圆心O的最短距离即为O到AB的垂线段的长，此时OP⊥AB于P，OP＝＝＝3(cm)． 图1314．如图13，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是____．【解析】 如图，连接OA，OD，过O作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别为F，G，AB＝CD＝CE＋DE＝1＋3＝4，所以DG＝AF＝2，OF＝EG＝3－2＝1，所以OA＝＝＝.图1415．如图14，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D且AB为⊙O的直径，点E是上异于点A、D的一点．若∠C＝40°，则∠E的度数为__40°__．16.图15如图15，△ABC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是__7.2__．(π≈3.14，结果精确到0.1)【解析】 由题意可得，AB＝A′B＝＝，∠ABA′＝90°，S扇形BAA′＝＝，S△BA′C′＝BC′×A′C′＝3，则S阴影＝S扇形BAA′－S△BA′C′＝－3≈7.2故答案为7.2.三、解答题(共66分)17．(8分)如图16，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5 cm，弦DE＝8 cm，求直尺的宽．图16解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD，则DM＝DE.∵DE＝8 cm，∴DM＝4 cm.在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5 cm，∴OM＝＝＝3(cm)，∴直尺的宽度为3 cm.18．(9分)如图17，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，切点为A，D为⊙O上一点，AD与OC相交于点E，且∠DAB＝∠C.求证：OC∥BD.图17证明：∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AB，∴∠DAB＋∠CAE＝90°.∵∠DAB＝∠C，∴∠C＋∠CAE＝90°，∴∠CEA＝90°，即OC⊥AD.又∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴OC∥BD.19．(9分)如图18，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，直线BD与⊙O相切，∠DAB＝30°.(1)求∠B的度数；(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．图18　　　　　　第19题答图解：(1)连接OD，∵直线BD与⊙O相切，∴∠ODB＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADB＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠B＝90°－60°＝30°；(2)连接CD，∠COD＝∠OAD＋∠ODA＝30°＋30°＝60°，又OC＝OD∴△OCD是等边三角形，即：OC＝OD＝CD＝5＝OA，∵∠ODB＝90°，∠B＝30°，∴OB＝10，∴AB＝AO＋OB＝5＋10＝15.20．(10分)如图19，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D.点E为⊙O上一点．连接ED并延长与BC的延长线交于点F，连接AE，BE.若∠BAE＝60°，∠F＝15°.解答下列问题．(1)求证：直线FB是⊙O的切线；(2)若BE＝ cm，则AC＝________cm.图19解：(1)∵AB为⊙O直径，∴∠AEB＝90°.则在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－60°＝30°.∴∠ADE＝∠ABE＝30°.∴∠FDC＝∠ADE＝30°.∴∠ACB＝∠FDC＋∠F＝30°＋15°＝45°.∵AB＝BC，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠ABC＝180°－∠CAB－∠ACB＝90°.∴AB⊥BC，又 ∵AB为⊙O直径，∴直线FB是⊙O的切线；(2)2.21．(10分)如图20所示，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B＝30°，∠D＝30°.图20(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AC＝6，求AD的长．【解析】 (1)点A在⊙O上，连接OA，只需证明DA⊥OA即可．(2)由已知得∠AOC＝2∠B＝60°，即△AOC为等边三角形，故AO＝AC.在Rt△AOD中，由∠D＝30°，求AD长．解：(1)证明：如图所示，连接OA.∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°.∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6.∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴OD＝2AO＝12，∴AD＝＝＝6.22．(10分)已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，连接AB.(1)如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；①②图21(2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小．解：(1)∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC＝90°.又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝65°.∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝50°.(2)如图，连接AD.∵MA⊥AC，又BD⊥AC，∴BD∥MA.又BD＝MA，∴四边形MADB是平行四边形．∵MA＝MB，∴四边形MADB是菱形，∴AD＝BD.又AC为直径，BD⊥AC，∴＝，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴在菱形MADB中，∠AMB＝∠D＝60°.23．(10分)[2013·锦州]如图22，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.(1)求证：BE与⊙O相切；(2)设OE交⊙O于点F，若DF＝1，BC＝2，求由劣弧BC，线段CE和BE所围成的图形面积S.图22解：(1)连接OC.∵OC＝OB，OD⊥BC，∴∠COD＝∠BOD.又∵OC＝OB，OE＝OE，∴△OCE≌△OBE.∴∠OCE＝∠OBE.∵CE切⊙O于点C，∴OC⊥CE.∴∠OCE＝90°.∴∠OBE＝90°.∴OB⊥BE.∴BE与⊙O相切．(2)设⊙O的半径长为r，则OD＝r－1，OB＝r.∵OC＝OB，OD⊥BC，∴BD＝BC＝×2＝.在Rt△OBD中，由勾股定理得(r－1)2＋()2＝r2，解得r＝2.∴OD＝1，OB＝2.∴∠BOD＝60°.在Rt△OBE中，BE＝2.∴S△OBE＝×OB×BE＝×2×2＝2.∵△OCE≌△OBE，∴S△OCE＝S△OBE＝2.∴S四边形OBEC＝4.∵∠COD＝∠BOD，∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°.∴S扇形OBC＝·π·22＝π.∴S＝S四边形OBEC－S扇形OBC＝4－π＝.