人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形同步达标检测题

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13.3等腰三角形 提高


一、单选题
1．如图，在△A1A2A3中，∠A1A3A2＝90°，∠A2＝30°，A1A3＝1，An+3是AnAn+1（n＝1、2、3…）的中点，则△A2019A2020A2021中最短边的长度为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．
【详解】
解：在△A1A2A3中，∠A1A3A2＝90°，∠A2＝30°，A1A3＝1，An+3是AnAn+1（n＝1、2、3…）的中点，可知：
△A1A2A3中最短边的长度为A1A3＝1＝，
△A3A4A5中最短边的长度为A4A5＝＝，
△A5A6A7中最短边的长度为A5A7＝＝，
…
所以△AnAn+1An+2中最短边的长度为，
又（2019﹣1）＝1009，
则△A2019A2020A2021中最短边的长度为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
2．在平面直角坐标系中，已知点关于关于x轴、y轴的对称点分别为P、Q若坐标轴上的点M恰使△MAP、△MAQ均为等腰三角形，则满足条件的M点有（    ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】A
【分析】
根据等腰三角形的性质分类讨论即可得到结论．
【详解】
解：∵点关于轴的对称点分别为，
∴点A和点P到y轴上任意点的距离都大于AP的长度2，
∴若使为等腰三角形，AP只能作底，
即点M只能在x轴上，
如图，若AQ为腰，，，，，共4个；
若AQ为底，，共1个；

故坐标轴上的点恰使、均为等腰三角形，满足条件的点有5个，
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定与性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
3．如图，点O是等边三角形ABC内一点，连接OA、OB、OC，并以OC为一边向外作等边三角形OCD，连接AD．若∠AOB=110°， ∠BOC=150°，则∠OAD的度数为（ ）

A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】
根据已知易证△ACD≌BCO，得出∠ADC=∠BOC=150°，又因△OCD是等边三角形， 易证∠ADO=90°，又由∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，求出∠AOC=100°，从而得∠AOD=40°，再根据直角三角形的两个内角互余即可求出∠OAD的度数．
【详解】
解：∵△ABC和△OCD是等边三角形，
∴AC=BC，OC=CD， ∠ODC=∠DCO=∠COD=∠ACB=60°，
∴∠DCO-∠ACO=∠ACB-∠ACO
即∠ACD=∠BCO．
在△ACD和△BCO中

∴△ACD≌△BCO．
∴∠ADC=∠BOC=150°．
∴∠ADO=90°，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，
∴∠AOC=100°，
∴∠AOD=40°，
∴∠OAD=90°-40°=50°．
故选B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．
4．如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，．下列四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论共有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】
根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠ABC=∠C，得到AC=AB，根据等腰三角形的性质得到DB=DC，AD⊥BC，证明△CDE≌△BDF，根据全等三角形的性质证明得到答案．
【详解】
解：∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠FBC，
∵BF∥AC，
∴∠C=∠FBC，
∴∠ABC=∠C，
∴AC=AB，
∵AC=AB，AD是△ABC的角平分线，
∴DB=DC，AD⊥BC，故②、③说法正确；
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，故①说法正确；
∵△CDE≌△BDF，
∴BF=CE，
∵AE=2BF，
∴AB=AC=3BF，故④说法正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．如图，在等边中，，点E在中线上，现有一动点P沿着折线运动，且在上的速度是4单位/秒，在上的速度是2单位/秒，当点P从A运动到C所用时间最少时，长为（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】
作于点，求出点运动时间为，则最短时满足题意．
【详解】
解：作于点，
则点在上运动时间为，，

，
，
，
当，，共线时，点运动时间最短，
为三角形中线，点为重心，
，，
，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考等边三角形性质，解题关键是掌握三角形重心将中线分成1：2两部分．
6．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于C，∠ABC=∠EDC=74°，∠EBD=118°．则∠AEB=（　　　）

A．72° B．74° C．86° D．88°
【答案】C
【分析】
先利用垂直平分线性质得CA=CB，CE=CD，利用等腰三角形的性质求出∠ACB=∠ECD=32º，利用角的差证∠ACE=∠BCD，进而证△CAE≌△CBD(SAS)，利用全等三角形的性质得∠CEA=∠CDB，利用三角形内角和与∠EBD=118°．求出∠BED+∠BDE=62º，再求∠CEB+∠CDB=86º即可求出∠AEB即可．
【详解】
连结CE，
∵线段AB，DE的垂直平分线交于C，
∴CA=CB，CE=CD，
∴∠CAB=∠ABC=∠CED=∠EDC=74º，
∴∠ACB=∠ECD=32º，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB=∠BCD，
∴△CAE≌△CBD(SAS)，
∴∠CEA=∠CDB，
∵∠EBD=118°，
∴∠BED+∠BDE=180º-∠EBD=62º，
∴∠CEB+∠CDB=180º-∠ECD-∠BED-∠BDE=180º-32º-62º=86º，
∴∠AEB=∠AEC+∠CEB=∠BDC+∠CEB=86º，
故选择：C．

【点睛】
本题考查线段垂直平分线性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和，角的和差计算等知识，掌握线段垂直平分线性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和，角的和差计算是解题关键．
7．对于题目：已知等腰三角形的两边长分别为，，且，满足，求此等腰三角形的周长.轩轩说：“根据非负数的和为0，可得到关于和的方程组，解得，，所以此等腰三角形的周长为11.”笑笑说：“轩轩考虑问题不全面，此等腰三角形的周长还有另外一个值.”则下列说法正确的是（ ）
A．笑笑说得不对，此等腰三角形的周长只有一个值为11
B．笑笑说得对，此等腰三角形的周长还有一个值为7
C．轩轩求得的结果不对，此等腰三角形的周长为12
D．他们两个说得都不对，此等腰三角形的周长还有第三个值为15
【答案】A
【分析】
首先根据|2a﹣3b﹣7|+（2a+3b﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【详解】
解：∵|2a﹣3b﹣7|+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当a为底时，三角形的三边长为1，1，5，由于1+1＜5，故不等构成三角形；
当b为底时，三角形的三边长为1，5，5，则周长为11，
∴等腰三角形的周长为11，
所以，笑笑说得不对，此等腰三角形的周长只有一个值为11
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．二元一次方程方程组，关键是根据1，5分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
8．如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，则的长为（ ）

A．10 B．5.5 C．6 D．5
【答案】D
【分析】
由平行线的性质，得出∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，再由角平分线定义得出∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，证出ME=MB，NE=NC，即可求得MN的长．
【详解】
解：∵MN∥BC，
∴∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE，
∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE，
∴ME=MB，NE=NC，
∴MN=ME+NE=BM+CN=2+3=5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．


二、填空题
9．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD＝10，则BD＝_____，BC＝_____．
【答案】10 10
【分析】
根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，然后得到∠A＝∠ABD，再根据等角对等边的性质解答即可．
【详解】
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝× （180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠ABC＝×72°＝36°，
∴∠A＝∠1，∠2＝∠1+∠A＝72°＝∠C，
∴AD＝BD＝10．BC＝BD＝10．
故填：10；10．

【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．
10．等腰三角形的一个角为42°，则它的顶角的度数为_____．
【答案】42°或96°
【分析】
等腰三角形两底角相等且内角和为180°，这个42°的角是底角或者顶角，分两种情况讨论即可．
【详解】
解：该题分两种情况讨论
①42°的角为顶角时，顶角的度数是42°，
②42°的角为底角，顶角为180°﹣42°×2＝96°，
故答案为：42°或96°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，内角和为180°且两底角相等；分类讨论思想的应用是正确解答本题的关键．
11．如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是__________．

【答案】9.6
【分析】
根据题意可证AD是BC边上的高，设点Q关于直线AD对称的对称点为，可得，根据题意可证点在AB上，当且C、P、三点共线时，有最小值，根据等面积法计算求值即可．
【详解】
解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，

∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵,
，，，
∴，
解得，，
∴的最小值是9.6，
故答案为：9.6
【点睛】
本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求的值是解题关键．
12．如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DEBC交AC于E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝__．

【答案】3
【分析】
由角平分线的性质和平行线的性质可得∠ACD=∠EDC，由等腰三角形的判定可得DE=EC=4，即可求解．
【详解】
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠DCA，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴DE＝EC＝4，
∴AE＝AC﹣EC＝7﹣4＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定是本题的关键．
13．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为______．

【答案】65°
【分析】
根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠BAD，根据线段垂直平分线的性质得出FA＝FD，推出∠FDA＝∠FAD，根据三角形的外角性质得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入求出即可．
【详解】
解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能求出∠FDA＝∠FAD是解此题的关键．
14．如图，等边三角形中，在边上任意取一点D，作于点E，再作交于点F．当是等腰三角形时，的度数是_____________．

【答案】75°或120°
【分析】
分当△EDF是以E为顶角的等腰三角形，当△EDF是以D为顶角的等腰三角形，当△EDF是以F为顶角的等腰三角形三种情况，分别求解．
【详解】
解：∵EF∥AB，
∴∠FEC=∠B=60°，
∴∠DEF=90°-60°=30°，
当△EDF是以E为顶角的等腰三角形时，
∠EDF==75°；
当△EDF是以D为顶角的等腰三角形时，
∠EDF=180°-2×30°=120°，
当△EDF是以F为顶角的等腰三角形时，
∠EDF=∠DEF=30°，
当∠EDF=30°时，
∠BDF=60°，
∴DF∥AC，即F不在AC上，故不符合题意，
故答案为：75°或120°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形中已知条件中没有明确哪两边相等时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
15．已知等腰三角形一个外角等于130°，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______．
【答案】50°或80°
【分析】
等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论，由此即可求解．
【详解】
等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°；当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°；当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
16．如图，在中，平分点分别是上的动点．若则的最小值是______________．

【答案】
【分析】
作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，连接AE，则此时，AE＋EF的值最小，AE＋EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．
【详解】
作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，连接AE，
则此时，AE＋EF的值最小，AE＋EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACH＝AC•HF＝CH•AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE＋EF的最小值是4，
故答案是：4．
【点睛】
本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE＋EF的最小值为三角形某一边上的高线．

三、解答题
17．如图，在中，，，点是边上一点，且，过点作于点，与交于点．

（1）若，求的度数（用含的式子表示）；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）过点A作AG⊥BC于点G，由等腰三角形的性质得出∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，求出∠BCF＝∠DAG＝∠CAD＝α，即可得出结论；
（2）由三角形内角和得出∠BAG＝45°，证出∠BAC＝∠AFC，即可得出结论；
【详解】
解：（1）过点作于点，如图1．

，，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，，
，，
，
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
18．如图，与相交于点．

（1）尺规作图：作的平分线，交于点，交的延长线于点.（要求：不写做法，只保留作图痕迹，并标明字母）
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据作角平分线的作法作图即可；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义可分别得到∠BAG＝∠G，∠BAG＝∠DAG，等量代换可得∠G＝∠DAG，再由等腰三角形的判定即可证得DA＝DG．
【详解】
（1）解：如图，AF即为所求；

（2）证明：∵，
∴∠BAG＝∠G，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG，
∴∠G＝∠DAG，
∴DA＝DG．
【点睛】
本题考查了基本作图——作角平分线，平行线的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解决本题的关键．
19．如图，在中，点、分别在边、上，且，平分，过点作于点，作于点，．

（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）直接利用直角三角形一个直角边和一个斜边对应相等即可证明≌，从而得出；
（2）在上取一点，使得，即可证明≌，再根据，即可判断是等边三角形，从而求CD的长即可；
【详解】
（1）∵，，平分
∴，
∵
∴≌
∴．
（2）在上取一点，使得，则
∵平分，
∴，
又∵，
∴≌，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴．

【点睛】
本题考查了三角形全等的证明以及全等三角形的性质的应用，等边三角形的判定以及性质的应用，正确掌握知识点是解题的关键．
20．如图，和均为等边三角形，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．

（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得，为公共角得出，根据SAS可证全等.
（2）根据全等三角形的性质联立题目条件可得，根据三角形外角的性质得到证明，即可证.
【详解】
（1）∵和均为等边三角形，
∴，
∵为公共角，
∴
∴
（2）∵,
∴
∵，
∴，
∴，即，
在与中 ，
∴
∴
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点；解题的关键是熟练掌握以上知识点.
21．如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是点，点，且满足：．

（1）求的度数；
（2）点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以为腰作等腰，过点C作轴于点E．
①求证：；
②连接交x轴于点F，若，求点F的坐标．
【答案】（1）45°；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据非负数的性质得到点A(0，5)，点B(5，0)，求得△AOB是等腰直角三角形，于是得到∠ABO=45°；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到∠DBC=90°，BD=BC，求得∠DBO=∠BCE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到OD=BE，CE=OA=5，得到，即可得到，从而求解；
【详解】
解（1），
，
，
，，
，，
，
又，
，
是等腰直角三角形；
（2）①是等腰直角三角形
，，
又轴，
，
又，
，
，
在和中


② ，
，
又，
，
又，
，，
，
， ，
在和中，


，
；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，非负数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确的识别图形是解题的关键；
22．如图，在四边形ABCD中，，的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）根据BE平分，得到，由 ，可证得是等腰三角形，根据F为BE的中点，可证；
（2）根据，，可得 ，利用CG平分，求得，根据 ，，可求得 ．
【详解】
解：（1）∵BE平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴BC＝CE，
∴是等腰三角形．
∵F为BE的中点，
∴CF平分，
即．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∵CG平分，
∴．
∵，，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质等等知识点，判断出△BCE是等腰三角形是解题的关键．
23．如图，在中，，点E，F分别在边AB，BC上，把沿直线EF翻折，使点B落在处，，分别交AC于点M，N，若，则的度数为_______．


【答案】
【分析】
由翻折变换的性质和等腰三角形的性质得出∠B′=∠B=∠C，∠NCF=180°-2∠BFE=52°，再由三角形内角和定理以及对顶角相等得出∠B′MN=∠AME=∠NCF，由此即可解答．
【详解】
解：由翻折变换的性质得：∠B′=∠B，，
∴
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠C=∠B′，
∵∠C+∠CNF+∠CFN=180°，∠B′+∠B′NM+∠B′MN=180°，∠CNF=∠B′NM，
∴∠B′MN=∠NCF=58°，
∴∠AME=∠B′MN=58°．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、三角形内角和定理、对顶角相等、等腰三角形的性质；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
24．如图，点C在线段上，．

（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）50°
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADC≌△BCE，进而可得结论；
（2）由全等三角形的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】
证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
∵AC＝BE， AD＝BC，
∴△ADC≌△BCE（SAS）
∴CD＝CE，
∴；
（2）∵△ADC≌△BCE，，
∴∠DCB＝60°，∠ADC＝∠ECB＝20°，CD＝CE，
∴∠DCE＝∠DCB＋∠ECB＝80°，
∴∠CDE＝（180°-80°）÷2=50°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ADC≌△BCE是本题的关键．
25．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，∠AFC＝90°．

（1）求证：DF＝( BC﹣AC）；
（2）若∠CAF＝∠ACB，求证：∠CAF＝60°．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由三角形中位线定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半定理证明第一问．
（2）由是的中位线推得，通过证为等腰三角形推，最后得．
【详解】
证明：（1）是的中位线，是直角斜边上的中线
，．
．
（2）是的中位线，
．
．
是的中点，
．
由（1）知，，
．
．
，
．
【点睛】
考查三角形中位线定理的应用，直角三角形斜边中线等于斜边一半定理的应用，等边三角形的判定．关键找到合适的线段和角进行等量代换．
26．如图，在中，AB=AC=12cm，BC=18cm，点D从点B出发，以每秒2cm的速度在线段BC上向点C移动，点E同时从点C出发以每秒2cm的速度在线段CA上向点A移动，连接AD，DE，设点D，E运动时间为t秒（0＜t＜6）．

（1）当AE=DC时，求t的值．
（2）当时，求t的值．
（3）若时，且∠BAC=（表示x度），用含的代数式表示∠ADE．
【答案】（1）；（2）3；（3）
【分析】
（1）根据题意用时间t表示出线段AE和DC的长度，列式求出t的值；
（2）由全等三角形的性质得AB=DC，列式求出t的值；
（3）根据全等三角形的性质证明，再由等腰三角形的性质即可求出结果．
【详解】
解：（1）设，，
∵，
∴，解得；
（2）∵△ABD≌△DCE，
∴AB=DC，
由（1），
∴，解得；
（3）∵△ABD≌△DCE ，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠BDA+∠ADE+∠CDE=180°，
在△ABD 中，∠B+∠BDA+∠BAD=180°，
∵∠BAD=∠CDE，
∴∠ADE＝∠B，
∵在等腰△ABC中，∠BAC＝，∠B＝∠C，
∴．
【点睛】
本题考查动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质，以及利用时间t表示线段的长度．