06 函数解答题-2022年江苏省各地区中考数学真题分类汇编-

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2022年江苏省各地区中考数学真题按题型分类汇编：06 函数 解答题
一、解答题
1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2．


(1)求、的值；
(2)求的面积．
2．（2022·江苏常州·中考真题）已知二次函数的自变量的部分取值和对应函数值如下表：

…

0
1
2
3
…

…
4
3
0


…

(1)求二次函数的表达式；
(2)将二次函数的图像向右平移个单位，得到二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数的表达式______，实数的取值范围是_______；
(3)、、是二次函数的图像上互不重合的三点．已知点、的横坐标分别是、，点与点关于该函数图像的对称轴对称，求的度数．
3．（2022·江苏常州·中考真题）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于轴对称；⑤函数值随自变量增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是______；
(2)先从盒子中任意抽出1支签，再从盒子中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
4．（2022·江苏泰州·中考真题）定义：对于一次函数 ，我们称函数为函数的“组合函数”.
(1)若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由;
(2)设函数与的图像相交于点P.
①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
5．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点B(3，1).


(1)求这两个函数的表达式；
(2)当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；
(3)平行于轴的直线l与函数的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
6．（2022·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．


(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．


(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
8．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．


(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；
(2)若，求m的值；
(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
9．（2022·江苏宿迁·中考真题）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；
(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
10．（2022·江苏扬州·中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在轴上，且dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为轴，高度dm．现计划将此余料进行切割：

(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若切割成圆，判断能否切得半径为dm的圆，请说明理由．
11．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．


(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：；
②求；
(3)当时，求直线与二次函数的交点横坐标．
12．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．

(1)求k与m的值；
(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
13．（2022·江苏苏州·中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
进货批次
甲种水果质量（单位：千克）
乙种水果质量（单位：千克）
总费用（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360

(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
14．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求的面积．
15．（2022·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，其中．


(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；
(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．

参考答案：
1．(1)4；6
(2)6
【解析】
【分析】
（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
(1)
解：∵一次函数的图象轴交于点，
∴，OB=4，
∴一次函数解析式为，
设点C（m，n），
∵的面积是2．
∴，解得：m=1，
∵点C在一次函数图象上，
∴，
∴点C（1，6），
把点C（1，6）代入得：k=6；
(2)
当y=0时，，解得：x=-2，
∴点A（-2，0），
∴OA=2，
∴．
【点睛】
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．
2．(1)
(2)（答案不唯一），
(3)∠ACB=45°或135°
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性求出，即可得到答案；
（3）先分别求出A、B、C三点的坐标，然后求出，，然后分四种情况讨论求解即可得到答案．
(1)
解：由题意得：，
解得，
∴二次函数解析式为；
(2)
解：∵原二次函数解析式为
由题意得平移后的二次函数解析式为，
∴平移后的二次函数对称轴为直线，
∵二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且二次函数的开口向下，
∴，
∴，
∴符合题意的二次函数解析式可以为；
故答案为：（答案不唯一），；
(3)
解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵A、C关于对称轴对称，点A的横坐标为m，
∴C的横坐标为，
∴点A的坐标为（m，），点C的坐标为（，），
∵点B的横坐标为m+1，
∴点B的坐标为（m+1，），
∴，，
如图1所示，当A、B同时在对称轴左侧时，过点B作BE⊥x轴于E，交AC于D，连接BC，
∵A、C关于对称轴对称，
∴轴，
∴，
∵，，
∴，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
同理当AB同时在对称轴右侧时，也可求得∠ACB=45°，
如图2所示，当A在对称轴左侧，B在对称轴右侧时，
过点B作直线BD垂直于直线AC交直线AC于D，
同理可证△BDC为等腰直角三角形，
∴∠BCD=45°，
∴∠ACB=135°，
同理当A在对称轴右侧，B在对称轴左侧也可求得∠ACB=135°，
综上所述，∠ACB=45°或135°

【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移，二次函数的增减性，待定系数法求函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
3．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画出树状图，再由概率计算公式求解即可．
(1)
解：从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是；
故答案为：；
(2)
解：画出树状图：

共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，
抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为．
【点睛】
本题主要考查了列表法或树状图求概率，一次函数与二次函数的性质，解题的关键是会列出表或树状图以及一次函数与二次函数的性质．
4．(1)是函数的“组合函数”
(2)①；②存在，见详解
【解析】
【分析】
（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可；
（2）①先求出点P的坐标和“组合函数”，把代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1-m代入“组合函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．
(1)
解：是函数的“组合函数”，
理由：由函数的“组合函数”为：，
把m=3，n=1代入上式，得，
函数是函数的“组合函数”；
(2)
解：①解方程组得，
函数与的图像相交于点P，
点P的坐标为，
的“组合函数”为， ，
，点P在函数的“组合函数”图像的上方，
，整理，得，
，，
p的取值范围为；
②存在，理由如下：
函数的“组合函数”图像经过点P．
将点P的坐标代入“组合函数”，得
，
，
，
，，
将代入=，
把y=0代入，得
解得：，
设，则，

，
对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键．
5．(1)；
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）由图像直接得出结论即可；
（3）根据点和点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出点的坐标即可．
(1)
解：二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点，
，，
解得，，
二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)
解：二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
由图像知，当随的增大而增大且时，；
(3)
解：由题意作图如下：


当时，，
，
，
的边上的高与的边上的高相等，
与的面积相等，
，
即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，   
．
【点睛】
本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
6．(1)
(2)1
(3)，，
【解析】
【分析】
（1）二次函数与y轴交于点，判断，根据，即二次函数对称轴为，求出b的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）证明，得到，即，设，点D在第一象限，根据点的坐标写出长度，利用求出t的值，即可，的值，进一步得出tan∠CDA的值；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，在利用集合图形的性质，求出对应点C的坐标即可。
(1)
解：∵二次函数与y轴交于点，
∴，即，
∵，即二次函数对称轴为，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为．
(2)
解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD，


∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，，
设：，点D在第一象限，
∴，，，
∴，
解得：（舍），（舍），
当时，，
∴，，
∴，

∵在中，
∴
(3)
解：存在，
如图，（2）图中关于对称轴对称时，，


∵点D的坐标为，
∴此时，点C的坐标为，
如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即，
当点C在x轴上方时，


过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，
∵，点C、D关于对称轴对称，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点C的坐标为，
∴，，
∴
解得：，（舍），
此时，点C的坐标为，
当点C在x轴下方时，


过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，
∵，点C、D关于对称轴对称，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点C的坐标为，
∴，，
∴
解得：（舍），，
此时，点C的坐标为，
综上：点C的坐标为，，．
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
7．(1)x的值为2m；
(2)当x=4时，S有最大值，最大值为48．
【解析】
【分析】
（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
(1)
解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
(2)
解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3<0，
∴当x=4m时，S有最大值，最大值为48，
【点睛】
本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）分别令等于0，即可求得的坐标，根据，即可求得；
（2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得，，．根据轴对称的性质，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．证明，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；
（3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．
(1)
当时，．
解方程，得，．
∵点A在点B的左侧，且，
∴，．
当时，．
∴．
∴．
∵，
∴．
(2)
方法一：如图1，连接AE．
∵，
∴，．
∴，，．
∵点A，点B关于对称轴对称，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴，
即．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴解方程，得．


方法二：如图2，过点D作交BC于点H．
由方法一，得，．
∴．
∵，
∴，
．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，即．
∵，
∴解方程，得．


(3)
．
设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．
∵，
∴．
，
，
∴．
解得，
又，
∴．


【点睛】
本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
9．(1)300，240
(2)当时，选择乙超市更优惠，当时，两家超市的优惠一样，当时，选择乙超市更优惠，当时，选择甲超市更优惠．
【解析】
【分析】
（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元， 可得当时， 显然此时选择乙超市更优惠，当时 再分三种情况讨论即可．
(1)
解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元），
故答案为：
(2)
设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得
当时，
显然此时选择乙超市更优惠，
当时，

当时，则 解得：
∴当时，两家超市的优惠一样，
当时，则 解得：
∴当时，选择乙超市更优惠，
当时，则 解得：
∴当时，选择甲超市更优惠．
【点睛】
本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
10．(1) ；
(2)20dm；
(3)能切得半径为3dm的圆．
【解析】
【分析】
（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m的方程进行求解；
（2）如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形的周长求最大值即可；
（3）为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H坐标为（0，3），表示出圆心H到二次函数上个点之间的距离与半径3进行比较即可．
(1)
由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
∵对称轴为y轴，
∴b=0，将A、C代入得，a=，c=8
则二次函数解析式为，
如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，
则P点坐标可以表示为（m，2m）
代入二次函数解析式得，
，解得（舍去），
∴2m=，
则正方形的面积为；

(2)
如下如所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）
将x=n代入二次函数解析式，得
，
则EF=，
矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+）=，
当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；

(3)
如下图所示，为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H坐标为（0，3），
则圆心H到二次函数上个点之间的距离为，
∴能切得半径为3dm的圆．

【点睛】
本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．
11．(1)
(2)①证明见解析，②
(3)或．
【解析】
【分析】
（1）二次函数与轴交于 (0，0)，A(4，0)两点，代入求得b，c的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）①由＝，得到顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线和对称轴为直线x＝2，由抛物线的对称性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折叠的性质得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，进一步得到∠COD＝∠，由对顶角相等得∠ODC＝∠BD，证得结论；
②由，得到，设点D的坐标为（d，0），由两点间距离公式得DC＝，在0＜d＜4的范围内，当d＝2时，DC有最小值为，得到的最小值，进一步得到的最小值；
（3）由和得到 ，求得B＝AB＝1，进一步得到点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），C（2，﹣2）代人求出直线BC的解析式为y＝2x－6，设点的坐标是（p，q），则线段A的中点为（，），由折叠的性质知点（，）在直线BC上，求得q＝2p－4，由两点间距离公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得点的坐标，设直线的解析式为y＝x＋，由待定系数法求得直线的解析式为y＝x＋4，联立直线和抛物线，解方程组即可得到答案．
(1)
解：∵二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，
∴代入 (0，0)， (4，0)得，，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
(2)
①证明：∵ ＝，
∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，
∴由抛物线的对称性可知OC＝AC，
∴∠CAB＝∠COD，
∵沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，
∴ △ABC≌△BC，
∴∠CAB＝∠，AB＝B，
∴∠COD＝∠，
∵∠ODC＝∠BD，
∴；
②∵，
∴，
设点D的坐标为（d，0），
由两点间距离公式得DC＝，
∵点与、点不重合，
∴0＜d＜4，
对于 ＝来说，
∵ a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，的最小值是4，
∴当d＝2时，DC有最小值为，
由两点间距离公式得OC＝，
∴有最小值为，
∴的最小值为；
(3)
解：∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵OC＝2，
∴B＝AB＝1，
∴点B的坐标是（3，0），
设直线BC的解析式为y＝x＋，
把点B（3，0），C（2，﹣2）代人得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝2x－6，
设点的坐标是（p，q），
∴线段A的中点为（，），
由折叠的性质知点（，）在直线BC上，
∴＝2×－6，
解得q＝2p－4，
由两点间距离公式得B＝，
整理得＝1，
解得p＝2或p＝，
当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点（2，0），很显然不符合题意，
当p＝时，q＝2p－4＝，此时点（，），符合题意，
设直线的解析式为y＝x＋，
把点B（3，0），（，）代人得，，
解得，
∴直线的解析式为y＝x＋4，
联立直线和抛物线得到，，
解得，，
∴直线与二次函数的交点横坐标为或．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识，难度较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键．
12．(1)k的值为，的值为6
(2)或
【解析】
【分析】
（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
(1)
解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
(2)
当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
13．(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元
(2)正整数m的最大值为22
【解析】
【分析】
（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可；
（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可．
(1)
设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
根据题意，得
解方程组，得
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
(2)
设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进千克乙种水果，
根据题意，得．
解这个不等式，得．
设获得的利润为w元，
根据题意，得
．
∵，
∴w随x的增大而减小．
∴当时，w的最大值为．
根据题意，得．
解这个不等式，得．
∴正整数m的最大值为22．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
14．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式；
（2）令PQ与轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可．
(1)
将代入，解得，
∴反比例函数表达式为．
当时，代入，解得，即．
将、代入，
得，解得．
∴一次函数表达式为．
(2)
设一次函数的图像与轴交点为，

将代入，得，即．
∵，，，
∴．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键．
15．(1)
(2)见解析
(3)最大值为
【解析】
【分析】
（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解．
(1)
解：将代入，
解得．
由，则符合题意，
∴，
∴．
(2)
解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴二次函数的顶点在第三象限．
(3)
解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为
当时，，
∴．
将代入，
解得．
∵在轴的负半轴上，
∴．
∴．
过点作，垂足为，
∵，
∴．
在中，

,
∴当时，此时，面积有最大值，最大值为．

【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．