必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时导学案

班级：                姓名：              日期：        

 《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》

（第3课时） 二倍角的正弦、余弦、正切

导学案

地 位：

本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）

第五章 三角函数

5.5.1  两角和差的正弦、余弦、正切公式

学习目标：

1、能够利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角公式，并能应用，培养数学抽象的核心素养；

2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题，提升数学运算的核心素养。

学习重难点：

重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式．

难点：二倍角的理解及其灵活运用．

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　两角和差的余弦公式：                                  

②　两角和差的正弦公式：                                  

③　两角和差的正切公式：                                  

④　辅助角公式：                                          

3. 预习——

     二倍角的余弦公式：                                                 

二倍角的正弦公式：                                           

     二倍角的正切公式：                                            

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁，奇峻之美．三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？

2.探索交流，解决问题

【探究】利用Cα＋β、Sα＋β、Tα＋β，令α＝β可推出什么公式？　

（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1）：                     

（2）：                    

（3）：                     

注意：1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：

8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)．

2.二倍角公式的应用：

（1）．正用：从条件出发，顺着问题的线索，以“展开”公式的方式使用．

（2）．逆用：逆向转换，应用时要求对公式特点有一个整体感知．

主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α等．

（3）．二倍角公式变形用：①升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2，1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2.

②降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，(sin α±cos α)2＝1±sin 2α.

【做一做1】已知sin2 α＝，α∈，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．

（三）典型例题

1.给角求值

例1.(1)sincos；(2)1－2sin2750°；

(3)－；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.

【类题通法】1．同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于三角函数式的化简．在应用时，应找到化简思路后再动手化简．

2．注意观察式子的特点及角之间的特殊关系，灵活运用二倍角公式解题，通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，创造条件正用或者逆用二倍角公式，使问题得以解决．

【巩固练习1】计算＝________.

2.给值求值

例2.(1)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．

(2)已知sin＝，0<x<，则的值为________．

【类题通法】 (1)条件求值问题常有两种解题途径：

①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．

(2)当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.

【巩固练习2】已知0<α<，cos＝，则sin＝________.

3.化简

例3.已知α∈(0，π)，化简：＝________.

【类题通法】三角函数式的化简要注意“三变”：

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，其手法通常有：“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等．

【巩固练习3】化简 (3π＜α＜4π)．

4.证明

例4.求证：tan2x＋＝.

【类题通法】证明三角恒等式常用方法

1.从左边推到右边；

2.从右边推到左边；

3.找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一为相同的角．

【巩固练习4】求证：＝tan 2α.

（四）操作演练  素养提升

1.－cos2的值等于(　　)

A．－　　　B.     C.  D．－

2．下列各式中，值为的是(　　)

A．2sin 15°－cos 15°    B．cos215°－sin215°

C．2sin215°－1        D．cos215°＋sin215°

3．·＝(　　)

A．tan 2α          B．tan α          C．1 D．

4.设sin α＝，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝(　　)

A．－             B．－            C. D．

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：第223页  练习     第1，2，3,4,5题

         第229 页   习题5.5  第5,7,10题