2021-2022学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）　　

A． B． C． D．

2．（5分）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为　　

A．8 B． C．4 D．

3．（5分）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

4．（5分）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角．如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬纬线的长为　　

A． B． C． D．

5．（5分）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是　　

A．直角三角形 B．等腰三角形 

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

6．（5分）在平面直角坐标系中，已知角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，角满足，则的值为　　

A． B． C． D．

7．（5分）设等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

8．（5分）已知平面向量满足，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则结论正确的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）在中，内角、、所对的边分别为、、，下列与有关的结论，正确的是　　

A．若为锐角三角形，则 

B．若，则 

C．若为非直角三角形，则 

D．若，则一定是等腰三角形

11．（5分）如图，在正方体中，点在线段运动，则　　

A．三棱锥的体积为定值 

B．异面直线与所成的角的取值范围为 

C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 

D．过作直线，则

12．（5分）已知数列满足，令，是数列的前项积，，则　　

A． B．为单调递增的等比数列 

C．当时，取得最大值 D．当时，取得最大值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为和，则△的面积为 　　．

14．（5分）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则　　．

15．（5分）已知平面向量满足，，，若，则的最大值是 　　．

16．（5分）如图，四边形为平行四边形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 　　．

四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．

（1）若，求的值；

（2）求的取值范围．

18．（12分）已知数列的前项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．（12分）某地一天的时间，单位：时）随气温变化的规律可近似看成正弦函数的图象，如图所示．

（1）根据图中数据，试求，，的表达式．

（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？

20．（12分）已为，，分别为三内角，，的对边，且．

（1）求；

（2）若，角的平分线，求的面积．

21．（12分）如图，三棱柱中，四边形和四边形均为菱形，，，．

（1）求证：；

（2）求直线和平面所成角的正弦值．

22．（12分）设数列的前项和为，正项数列的前项和为，且．

（1）求和；

（2）记，，求证：．

2021-2022学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

2．（5分）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为　　

A．8 B． C．4 D．

【解答】解：还原直观图为原图形如图，

因为，所以，还原回原图形后，

，．，

所以原平面图形的周长为：．

故选：．

3．（5分）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

【解答】解：若，，由直线与平面垂直的性质可得，故正确；

若，则垂直平面内的所有直线，而，则，故正确；

若，则垂直平行于的所有直线，而，则，故正确；

若，，则或，故错误．

故选：．

4．（5分）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角．如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬纬线的长为　　

A． B． C． D．

【解答】解：按照纬线的垂直方向，作图如下，为所求纬线圈的直径，

过圆心作的垂线，垂足为，连结，

在圆心角为的直角三角形中，，

则北纬纬线的长为．

故选：．

5．（5分）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是　　

A．直角三角形 B．等腰三角形 

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【解答】解：由正弦定理知，，

，

，

或，

或，

或，即为直角三角形或等腰三角形．

故选：．

6．（5分）在平面直角坐标系中，已知角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，角满足，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由三角函数定义可知，

，

，

，即，

，

由于．

故选：．

7．（5分）设等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：设，则为奇函数，

又，单调递增，

，，

，

，且，

，且，

，

故选：．

8．（5分）已知平面向量满足，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由恒成立，

则恒成立，

又，

则恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

即，

设的夹角为，

即恒成立，

即△，

即，

即，

又，

则，

即夹角的最小值是，

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则结论正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，，故正确，

对于，，

则，故正确，

对于，，故错误，

对于，，故错误．

故选：．

10．（5分）在中，内角、、所对的边分别为、、，下列与有关的结论，正确的是　　

A．若为锐角三角形，则 

B．若，则 

C．若为非直角三角形，则 

D．若，则一定是等腰三角形

【解答】解：对于，锐角中，，而在上单调递增，

则，即，正确；

对于，在中，由正弦定理得：，正确；

对于，非直角三角形中，，

，即，正确；

对于，在中，由正弦定理及得：，即，

而，，且，因此，或，即或，

是等腰三角形或直角三角形，不正确．

故选：．

11．（5分）如图，在正方体中，点在线段运动，则　　

A．三棱锥的体积为定值 

B．异面直线与所成的角的取值范围为 

C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 

D．过作直线，则

【解答】解：在中，，平面，平面，

平面，

点在线段上运动，到平面的距离为定值，

又△的面积是定值，三棱锥的体积为定值，故正确；

在中，由知，则异面直线与所成的角即为直线与所成的角，连接，，则有△为正三角形，则点在线段运动，当点与或重合时，直线与所成角最小，为，

当点为线段的中点时，直线与所成角最大，为，

故异面直线与所成角的取值范围是，，故错误；

在中，不妨设正方体中棱长为1，设到平面平面的距离为，用等体积法求出，直线与平面所成角的正弦值为，的最小值为，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故正确．

在中，过作直线，则，，，故正确．

故选：．

12．（5分）已知数列满足，令，是数列的前项积，，则　　

A． B．为单调递增的等比数列 

C．当时，取得最大值 D．当时，取得最大值

【解答】解：因为，①

所以，，②

①②得，，

整理得，

又，满足上式，

所以，．

因为，

所以数列为等差数列，公差为，

所以，故正确；

，

因为，

故数列为等比数列，其中首项，公比为的等比数列，

因为，，

所以数列为递减的等比数列，故错误；

，

因为为单调递增函数，

所以当最大时，有最大值，

因为，所以时，最大，

即时，取得最大值，故正确；

设，

由可得，，解得或，

又因为，

所以时，取得最大值，故错误；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为和，则△的面积为 　5　．

【解答】解：由题意，得，，

则，，

，，

△的面积为，

故答案为：5．

14．（5分）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则　　．

【解答】解：由于是等差数列的前项和，设数列的首项为，公差为，

由于，，

所以，解得，

所以，，

所以，，

根据数列的通项公式，得知：数列为等差数列，

则．

故答案为：．

15．（5分）已知平面向量满足，，，若，则的最大值是 　1　．

【解答】解：由平面向量满足，，，

又，

则，

即，

则，

则，

即的最大值是1，

故答案为：1．

16．（5分）如图，四边形为平行四边形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 　　．

【解答】解：过作于，交于，连，，如图，

在中，由余弦定理得：，

，

，

因为，则三棱锥的4个表面三角形全等，

在中，，，

在中，，

因为，，，，平面，则平面，

而平面，于是得平面平面，

在平面内过作于，又平面平面，

因此，平面，

设三棱锥的内切球半径为，

则，解得，

因是锐角三角形，则三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心在内，设半径，

则，解得，

令三棱锥的外接球球心为，

显然，球截三棱锥的4个表面三角形所得截面圆圆心均在相应三角形内，

因球心与各个三角形的外心连线均垂直于相应的三角形所在平面，且这些三角形的外接圆半径均为，

因此，球心到各个三角形所在平面距离都相等，且球心在三棱锥内，必为三棱锥内切球球心，

令三棱锥的外接球半径为，则，

所以三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．

（1）若，求的值；

（2）求的取值范围．

【解答】解：（1）由图知：，

所以，

所以，

又，，，

所以．

（2）由（1）知：，

令且，则，

所以

．

则．

18．（12分）已知数列的前项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【解答】解：（1）因为，当时，，

两式相减得，

当时，，

上式中，

故；

（2），

，

，①

，②

①②得，

，

．

19．（12分）某地一天的时间，单位：时）随气温变化的规律可近似看成正弦函数的图象，如图所示．

（1）根据图中数据，试求，，的表达式．

（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？

【解答】解：（1）由题意可知，，解得，，

又，所以，

则，

当时，，即，

即，即，

所以，

又，

故，

所以，，；

（2）令，可得，

即，

解得，，

当时，，

故老张该日可在，这一时段外出活动，活动时长最长不超过小时．

20．（12分）已为，，分别为三内角，，的对边，且．

（1）求；

（2）若，角的平分线，求的面积．

【解答】解：（1）在中，由正弦定理及得：，

整理得，

而，则，即，

又，有，

解得，所以；

（2）如图，

在中，由余弦定理得：，即，解得，

因平分，即，

在中，，

又，则，

即，而，解得：，有，

所以的面积．

21．（12分）如图，三棱柱中，四边形和四边形均为菱形，，，．

（1）求证：；

（2）求直线和平面所成角的正弦值．

【解答】解：（1）证明；如图，取的中点，连接，，

因为，，，

所以，同理可证，

因为，，平面，

所以平面，因为平面，

所以；

（2）因为，．

所以由余弦定理可得，

因为由（1）可知，且，所以，

由条件易得，所以△是等边三角形，

取中点，连接，，则，且，

所以，所以，因为，

故平面，

所以为直线和平面所成角，

所以．

所以直线和平面所成角的正弦值为．

22．（12分）设数列的前项和为，正项数列的前项和为，且．

（1）求和；

（2）记，，求证：．

【解答】解：（1）当时，，解得；

当时，由得，，

，即，

数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，

当时，，解得，

当时，，化简可得，

又，则，

数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则；

（2）证明：由（1）可知，，

，

，即得证．

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