2021-2022学年山西省大同市云州九年级（下）第三次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年山西省大同市云州九年级（下）第三次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 世纪数学家斐波那契的计算书中有这样一个问题：“在罗马有位老妇人，每人赶着头毛驴，每头驴驮着只口袋，每只口袋里装着个面包，每个面包附有把餐刀，每把餐刀有只刀鞘”，则刀鞘数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点若四边形的面积是，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 方程的根是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

7. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是(    )

A. ∽
B. 点、点、点三点在同一直线上
C. ：：
D.

8. 如图，是的弦，，，则的直径等于(    )

A.
B.
C.
D.

9. 下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：

下列各选项中，正确的是(    )

A. 这个函数的图象开口向下
B. 这个函数的图象与轴无交点
C. 这个函数的最小值小于
D. 当时，的值随值的增大而增大

10. 矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为(    )

A.
B.
C. 或
D. 或

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 不等式组的解集是______．
12. 小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中______．
13. 数学家斐波那契编写的算经中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程______．
14. 如图，在边长为的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点，以为圆心、长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是______ ．

15. 如图，将▱绕点逆时针旋转到▱的位置，使点落在上，与交于点若，，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：．
    仔细阅读下面例题，解答问题：
    例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
    解：设另一个因式为，得，则．
    解得：，另一个因式为的值为．
    问题：仿照以上方法解答下面问题：
    已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
17. 如图，若在正方形中，点为边上一点，点为延长线上一点，且，则与之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

18. 小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数的图象与性质进行探究．
    因为，即，所以可以对比函数来探究．
    列表：下表列出与的几组对应值，请写出，的值： ______ ， ______ ；

描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

请把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
观察图象并分析表格，回答下列问题：
当时，随的增大而______ ；填“增大”或“减小”
函数的图象是由的图象向______ 平移______ 个单位而得到．
函数图象关于点______ 中心对称填点的坐标

19. 某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：
    
    本次共调查了______名家长；扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角是______度．已知该校共有名家长，则“不赞同”的家长约有______名；请补全条形统计图；
    从“不赞同”的五位家长中两女三男，随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“男女”的概率．
20. 某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点到地面的铅直高度长度为米，原坡面的倾斜角为，原坡脚与场馆中央的运动区边界的安全距离为米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点到地面的铅直高度长度保持米不变，使、两点间距离为米，使改造后坡面的倾斜角为若学校要求新坡脚需与场馆中央的运动区边界的安全距离至少保持米即，请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．参考数据：，
     

21. 阅读理解：

要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
设、，求直线对应的函数表达式用含，的代数式表示；
分别过点和作轴和轴的平行线，两直线相交于点请说明点在直线上，并据此证明．

22. 已知正方形与正方形，正方形绕点旋转一周．
    如图，连接、，求的值；
    当正方形旋转至图位置时，连接、，分别取、的中点、，连接、试探究：与的关系，并说明理由；
    连接、，分别取、的中点、，连接，，请直接写出线段扫过的面积．
     

23. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，．
    求抛物线的解析式；
    在第二象限内的抛物线上确定一点，使四边形的面积最大，求出点的坐标；
    在的结论下，点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：负数的绝对值等于它的相反数，
的绝对值是：．
故选：．
直接利用绝对值的定义得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了有理数的乘方，关键是根据题意正确列出算式，是基础题型．
有理数乘方的定义：求个相同因数积的运算，叫做乘方．依此即可求解．
【解答】
解：依题意有，刀鞘数为．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查简单几何体的俯视图，理解视图的意义是正确判断的前提，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是正确判断的关键．
根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形，结合各个选项中图形进行判断即可．
【解答】
解：从上面看该几何体，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
因此所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：由合并同类项的法则，得，故A不符合题意．
B.由积的乘方以及幂的乘方，得，故B不符合题意．
C.由同底数幂的除法，得，故C不符合题意．
D.由完全平方公式，得，故D符合题意．
故选：．
根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式解决此题．
本题主要考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式，熟练掌握合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
四边形的面积是，四边形的面积的面积的面积，
四边形的面积的面积的面积的面积，
的面积是，
正方形的面积是，
，
，
故选：．
根据正方形的性质，可以得到≌，然后即可发现四边形的面积等于的面积，从而可以求得正方形的面积，从而可以求得的长．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形的面积等于的面积，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：


，．
故选：．
此题公因式为，因此采用因式分解法好，注意解题时首先要先移项，再提取公因式，最后系数化为，从而求解．
此题考查用因式分解法求解一元二次方程的解，关键是要正确地进行因式分解，选择正确的方法后比较简单．
 

7.【答案】 

【解析】解：、以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，
则∽，本选项说法正确，不符合题意；
B、与是位似图形，
、、三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意；
C、∽，相似比为：，
：：，
：：，本选项说法错误，符合题意；
D、与是位似图形，
，本选项说法正确，不符合题意；
故选：．
根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似的两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：作直径，连接，

由圆周角定理得，，，
，
故选：．
作直径，连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质解答．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设二次函数的解析式为，
由题知，
解得，
二次函数的解析式为，
A.函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B.与轴的交点为和，故B选项不符合题意；
C.当时，函数有最小值为，故C选项符合题意；
D.函数对称轴为直线，根据图象可知当时，的值随值的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选：．
设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当为直角三角形时，有两种情况：
当点落在矩形内部时，如答图所示．
连结，
在中，，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，，
，
设，则，，
在中，
，
，解得，
；
当点落在边上时，如答图所示．
此时为正方形，．
综上所述，的长为或．
故选：．

当为直角三角形时，有两种情况：
当点落在矩形内部时，如答图所示．
连结，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出．
当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形．
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
由得，；
由得，，
故此不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据题目中的式子，可以得到该组数据中的各个数据，根据算术平均数的公式计算的值，从而可以解答本题．
本题考查方差、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的平均数．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
故答案为．
根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
为直径，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积

，
故答案为．
根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点．

由旋转可知，，，
，
，，
，
，
，
，则，
，
，
，
，
∽，
，
设，则，
，
，
又，
，
，
∽，
，
，，
，，
，解得．
，，
．
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，由勾股定理可得，，由等面积法可得，，由勾股定理可得，，由题可得，∽，∽，则，，设，则，，则，解得最后由勾股定理可得，．
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键．
 

16.【答案】解：原式

；
另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为：，的值为． 

【解析】先根据特殊角三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的定义、算术平方根的定义化简各式，然后再进行计算即可解答；
设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式．
本题考查了实数的运算和因式分解的意义．解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
 

17.【答案】解：，，理由如下：
如图，延长交于点，

四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即．
，． 

【解析】延长交于点，根据四边形是正方形，证明≌，进而可得，．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

18.【答案】；；



增大；
上；；
． 

【解析】解：时，，
，
时，，
；
故答案为：，；
见答案；

根据图象可得：
在轴左边，随增大而增大，
故答案为：增大；
函数的图象是由的图象向上平移个单位得到的，
故答案为：上，；
函数图象关于点中心对称，
故答案为：．
本题考查通过作函数图象，研究函数性质，解题的关键是掌握函数的研究方法：列表、描点、连线作图象，再数形结合得函数性质．
，，分别代入即可得、的值；
按要求分别用条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
数形结合，观察函数图象即可得到答案．
 

19.【答案】     

【解析】解：总人数：名，无所谓人数：名，很赞同人数：名，
很赞同对应圆心角：，
名，
故答案为：，，，补全条形统计图如图所示：

用列表法表示所有可能出现的情况如下：

共有种可能出现的情况，正确“男女”的有种，
，
答：选中“男女”的概率为．
从两个统计图可得，“赞同”的有名，占调查总人数的，可求出调查总人数；进而求出“无所谓”和“很赞同”的人数，很赞同的圆心角度数为的，样本估计总体，样本中“不赞同”的占，估计总体户的是“不赞同”的人数；即可补全条形统计图：
用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出男女的情况数，进而求出概率．
考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
 

20.【答案】解：施工方提供的设计方案不满足安全要求，理由如下：
在中，，，
．
在中，，，
．
，，，
，
四边形是矩形，
，
．
，
，
施工方提供的设计方案不满足安全要求． 

【解析】在中通过解直角三角形可求出的长度，在中通过解直角三角形可求出的长度，由、、可得出四边形是矩形，进而可得出的长度，再根据、即可求出的长度，由的长度小于米可得出施工方提供的设计方案不满足安全要求．
本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，通过解直角三角形求出、的长度是解题的关键．
 

21.【答案】解：设直线的函数表达式为：，
，，
点的坐标为，
则，
解得：，
直线的函数表达式为：；
证明：由题意得：点的坐标为：，
，
点在直线上，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】根据题意求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式；
证明点在直线上，根据矩形的性质得到，，根据三角形的外角性质、等腰三角形的性质证明即可．
本题考查的是反比例函数的性质、矩形的判定和性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点在直线上是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，连接，，

四边形和四边形都是正方形，
，，，，
，，
∽，
；
，，
理由如下：如图，连接，过点作，交直线于，连接，设与交点为，与交点为，

，
，
点是的中点，
，
又，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
，点是中点，
，，
，；
如图，取中点，连接，，，

，
，
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
，，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
线段扫过的面积． 

【解析】通过证明∽，可得；
过点作，由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，，由三角形中位线定理可得结论；
取中点，连接，，，由三角形中位线定理可得，，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：，，，
，即，
解得：，
，
，，
，
，
设抛物线解析式为，将代入，
得：，
解得：，
，
该抛物线的解析式为；
如图，过点作轴交于点，
设直线解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为；
存在如图，分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．
当点在轴上方时，与纵坐标相等，
，
解得：，舍去，
，
当点在轴下方时，与纵坐标互为相反数，
，
解得：，，
，，
综上所述，点的坐标为，， 

【解析】根据勾股定理求出、，得出点、的坐标，进而得出点的坐标，运用待定系数法即可求出答案；
如图，过点作轴交于点，利用待定系数法求出设直线解析式，设，则，根据，得出，运用二次函数求最值方法即可得出答案；
如图，分两种情况：点在轴上方或点在轴下方当点在轴上方时，根据与纵坐标相等，建立方程求解即可；当点在轴下方时，根据与纵坐标互为相反数，建立方程求解即可．
本题是有关二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积和四边形面积，平行四边形性质，解一元二次方程等知识，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握待定系数法及平行四边形性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想和数形结合思想思考解决问题是解题关键．