2023年高考数学(理数)一轮复习课时07《二次函数的再研究与幂函数》达标练习（含详解）

2023年高考数学(理数)一轮复习课时07

《二次函数的再研究与幂函数》达标练习

一 、选择题

1.已知0<m<n<1，且1<a<b，下列各式中一定成立的是(　　)

A.bm>an         B.bm<an            C.mb>na         D.mb<na

【答案解析】答案为：D

解析：∵f(x)＝xa(a>1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0<m<n<1，∴ma<na，

又∵g(x)＝mx(0<m<1)在R上为单调递减函数，且1<a<b，∴mb<ma.综上，mb<na，故选D.

2.幂函数y=x－1及直线y=x，y=1，x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①②③④⑤⑥⑦⑧(如图所示)，则幂函数y=x的图象经过的“卦限”是(　 　)

A.④⑦        B.④⑧             C.③⑧        D.①⑤

【答案解析】答案为：D；

解析：由y=x=知其经过“卦限”①⑤，故选D.

3.如图是二次函数y=ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x=－1.

给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b=1；③a－b＋c=0；④5a<b.

其中正确的是(　 　)

A.②④      B.①④        C.②③      D.①③

【答案解析】答案为：B.

解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确.

对称轴为x=－1，即－=－1,2a－b=0，②错误.

结合图象，当x=－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误.

由对称轴为x=－1知，b=2a.

又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确.

4.二次函数f(x)满足f(x＋2)=f(－x＋2)，又f(0)=3，f(2)=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是(　D　)

A.(0，＋∞)      B.[2，＋∞)      C.(0,2]       D.[2,4]

【答案解析】答案为：D；

解析：∵二次函数f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)，∴其图象的对称轴是x=2，

又f(0)=3，∴f(4)=3，又f(2)＜f(0)，∴f(x)的图象开口向上，

∵f(0)=3，f(2)=1，f(4)=3，f(x)在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，

∴由二次函数的性质知2≤m≤4.故选D.

5.若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是(　　)

A.f(x)＝x2－2x＋1      B.f(x)＝x2－1   C.f(x)＝2x     D.f(x)＝2x＋1

【答案解析】答案为：A

解析：由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝≠0，只有f(x)＝x2－2x＋1满足题意，而f(x)＝x2－1；f(x)＝2x；f(x)＝2x＋1都不满足题意，故选A.

6.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x=0对称，则f(x)的最大值是(　　)

A.－4 　         B.4         C.4或－4          D.不存在

【答案解析】答案为：B

解析：由题意知，函数f(x)是偶函数，则y=x2＋ax－5是偶函数，故a=0.

则f(x)=(1－x2)(x2－5)=－x4＋6x2－5=－(x2－3)2＋4.故当x2=3时， f(x)取最大值为4.

7.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m－1)xn的图象上，设a=f()，b=f(lnπ)，c=f()，

则a，b，c的大小关系为(　 　)

A.a<c<b      B.a<b<c      C.b<c<a      D.b<a<c

【答案解析】答案为：A.

解析：∵点(m,8)在幂函数f(x)=(m－1)xn的图象上，

∴解得

∴f(x)=x3，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，

又<<1<lnπ，∴a<c<b，故选A.

8.函数f(x)=(m2－m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是(　　)

A.－1          B.2           C.3          D.－1或2

【答案解析】答案为：B.

解析：由题意知解得m=2，故选B.]

9.已知幂函数f(x)=xn的图象过点(8，0.25)，且f(a＋1)＜f(2)，则a的取值范围是(　 　)

A.(－3,1)         B.(－∞，－3)∪(1，＋∞)

C.(－∞，1)       D.(1，＋∞)

【答案解析】答案为：B；

解析：因为幂函数f(x)=xn的图象过点，所以8n=，即23n=2－2，解得n=－.

因此f(x)=x－是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增.

由f(a＋1)＜f(2)得|a＋1|＞2，解得a＜－3或a＞1.故选B.

10.若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为(　　)

A.f(x)＝－x2－x－1          B.f(x)＝－x2＋x－1

C.f(x)＝x2－x－1          D.f(x)＝x2－x＋1

【答案解析】答案为：D

解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得

故解得则f(x)＝x2－x＋1.故选D.

11.若函数f(x)=x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)

A.与a有关，且与b有关

B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关

D.与a无关，但与b有关

【答案解析】答案为：B；

解析：设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，

则m=x＋ax1＋b，M=x＋ax2＋b.

∴M－m=x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关.故选B.

12.已知幂函数f(x)的图象经过点(,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上任意不同的两点，给出以下结论：

①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③xf(x1)＞xf(x2)；④xf(x1)＜xf(x2).

其中正确结论的序号是(　　)

A.①③          B.①④         C.②③          D.②④

【答案解析】答案为：C；

解析：设函数f(x)=xα，

依题意有()a=2，所以α=－，因此f(x)=x－0.5.

令g(x)=xf(x)=x·x－0.5=x0.5，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而0＜x1＜x2，

所以g(x1)＜g(x2)，即x1f(x1)＜x2f(x2)，故①错误，②正确；

令h(x)==x－2.5，则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而0＜x1＜x2，

所以h(x1)＞h(x2)，即＞，于是xf(x1)＞xf(x2)，

故③正确，④错误，故选C.

二 、填空题

13.已知二次函数y=x2＋2kx＋3－2k，则顶点位置最高时函数的解析式为         .

【答案解析】答案为：y=x2－2x＋5.

解析：由题意可知y=x2＋2kx＋3－2k=(x＋k)2－k2－2k＋3，

所以该函数的顶点坐标为(－k，－k2－2k＋3).

设顶点的纵坐标为y=－k2－2k＋3=－(k＋1)2＋4，

所以当k=－1时，顶点位置最高，此时函数的解析式为y=x2－2x＋5.

14.已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=-(x-1)2+1.当函数f(x)的图像在直线y=x的下方时,x的取值范围是　　　　　　　　.

【答案解析】答案为：(-1,0)∪(1,+∞)；

解析：当x<0时,-x>0,此时f(x)=-f(-x)=(x+1)2-1.函数f(x)的图像在直线y=x的下方时,有f(x)<x,显然x=0不满足题意,则或解得-1<x<0或x>1.

15.已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是      .

【答案解析】答案为：(－1,3).

解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝9＋6a，

若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.

16.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”.若f(x)=x2－3x＋4与g(x)=2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为     .

【答案解析】答案为：(-2.25,-2]

解析：由题意知，y=f(x)－g(x)=x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点.

在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，

结合图象可知，当x∈[2,3]时，y=x2－5x＋4∈[-2.25,-2]，故当m∈(-2.25,-2]

时，函数y=m与y=x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点.