2023年高考数学(文数)一轮复习课时37《空间点、线、面的位置关系》达标练习（2份，答案版+教师版）

2023年高考数学(文数)一轮复习课时37

《空间点、线、面的位置关系》达标练习

一 、选择题

1.已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)

A.充分不必要条件         B.必要不充分条件

C.充要条件               D.既不充分也不必要条件

【答案解析】答案为：A

解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件.

2.下列命题中，真命题的个数为(　　)

①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；   

②两条直线可以确定一个平面；

③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；

④若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l.

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

【答案解析】答案为：B.

解析：根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题.综上，真命题的个数为2.]

3.在下列命题中，不是公理的是(　 　)

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

【答案解析】答案为：A.

解析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.

4.如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A.          B.        C.          D.

【答案解析】答案为：D.

解析：连接BC1，易证BC1∥AD1，

则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1，由AB=1，AA1=2，

则A1C1=，A1B=BC1=，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1==.]

5.如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD=90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为(　　)

A.30°        B.45°          C.60°        D.90°

【答案解析】答案为：C；

解析：由题意得BC=CD=a，∠BCD=90°，所以BD=a，所以∠BAD=90°，

取BD的中点O，连接AO，CO，

因为AB=BC=CD=DA=a，

所以AO⊥BD，CO⊥BD，且AO=BO=OD=OC=，

又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊥BD，

所以AO⊥平面BCD，

延长CO至点E，使CO=OE，连接ED，EA，EB，

则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，

所以∠ADE(或其补角)即为异面直线AD与BC的所成角，

由题意得AE=a，ED=a，

所以△AED为正三角形，所以∠ADE=60°，

所以异面直线AD与BC所成角的大小为60°.故选C.

6.在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线(　　)

A.不存在       B.有且只有两条    C.有且只有三条      D.有无数条

【答案解析】答案为：D

解析：在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交.

7.长方体ABCD­A1B1C1D1，AB=4，AD=2，AA1=，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为(　　)

A.          B.             C.               D.

【答案解析】答案为：C.

解析：因为C1D1∥A1B1，所以异面直线A1B1与AC1所成的角即为C1D1与AC1所成的角∠AC1D1，

在Rt△AC1D1中，C1D1=4，AC1==5，所以cos∠AC1D1==.

8.在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，异面直线BF与D1E所成角的余弦值为(　 　)

A.         B.      C.         D.

【答案解析】答案为：D.

解析：如图，过点E作EM∥AB，过M点作MN∥AD，取MN的中点G，连接NE，D1G，

所以平面EMN∥平面ABCD，易知EG∥BF，所以异面直线BF与D1E的夹角为∠D1EG，

不妨设正方体的棱长为2，则GE=，D1G=，D1E=3，

在△D1EG中，cos∠D1EG==，故选D.

9.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　 　)

A.一定平行

B.一定相交

C.一定是异面直线

D.一定垂直

【答案解析】答案为：D.

解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直.故选D.

10.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有(　　)

A.18对        B.24对        C.30对        D.36对

【答案解析】答案为：D

解析：三棱柱的底面三角形的一条边对应的有5条异面直线，这样一个底面三角形的3条边一共有15对异面直线，上、下两个底面三角形一共有30对，其中有6对重复，故共有24对异面直线；一条侧棱对应的除上、下两个三角形的边外有2条异面直线，3条侧棱一共有6对异面直线；侧面对角线中共有6对异面直线，加在一起共有36对异面直线.

11.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论中错误的是(　　)

A.AC⊥BF

B.三棱锥A－BEF的体积为定值

C.EF∥平面ABCD

D.直线AE与BF所成的角为定值

【答案解析】答案为：D

解析：选项A中，如图，连接BD，∴AC⊥BD.又AC⊥BB1，BD∩BB1=B，

∴AC⊥平面BDD1B1.∵BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF.故A正确；

选项B中，∵AC⊥平面BDD1B1，∴点A到平面BEF的距离不变.

∵EF=，点B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，

∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故B正确；

选项C中，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；

选项D中，异面直线AE与BF所成的角不为定值，由图知，当F与B1重合时，

令上底面的中心为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，

当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，

显然∠A1AO与∠OBC1不相等，故异面直线AE与BF所成的角不为定值，故D错误.故选D.

12.到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(　 　)

A.1        B.4        C.7        D.8

【答案解析】答案为：C.

解析：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥.

①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图1.令截面与四棱锥的四个面之一平行，

第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；

②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图2，当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件.因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个.所以满足条件的平面共有7个，故选C.

二 、填空题

13.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.

【答案解析】答案为：

解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，

因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D=AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.

14.设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线.

上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号).

【答案解析】答案为：①

解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错.

15.已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点.若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为________.

【答案解析】答案为：30°.

解析：[如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线.

由此可得GF∥AB，且GF=AB=1，GE∥CD，且GE=CD=2，

∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角.

又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF=1，GE=2，

sin∠GEF==，可得∠GEF=30°，∴EF与CD所成角的度数为30°.]

16.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，AD=2，AA1=，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC=QP，则线段BQ的长度的最大值为     .

【答案解析】答案为：6.

解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，则P(1,0，)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，Q(x，y,0)，

因为QC=QP，所以=⇒(x－2)2＋(y＋2)2=4，

所以(y＋2)2=4－(x－2)2≤4⇒|y＋2|≤2⇒－4≤y≤0，

BQ===，

根据－4≤y≤0可得4≤4－8y≤36，

所以2≤BQ≤6，故线段BQ的长度的最大值为6.