2022年广东省广州市越秀区育才实验中学中考数学二模试卷（含解析）

2022年广东省广州市越秀区育才实验中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用经测算，一粒芝麻的质量约为，将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算中，正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 一组数据：，，，，，若去掉一个数据，则下列统计量中发生变化的是

A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差

5. 如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 在中，，，下列四个选项，正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，下列函数的图象不过点的是

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题中，假命题是

A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
C. 若，则点是线段的中点
D. 三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心

9. 如图，在矩形中，，，连接，作的平分线交于点，则的长度为

A.
B.
C.
D.

10. 已知抛物线与直线有且只有一个交点，若为整数，则的值有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 分解因式：______．
12. 如图，在中，，平分交于点，交的延长线于点，若，则______．
     

13. 已知，满足方程组，则的值为______ ．
14. 一个仅装有球的不透明布袋里共有个球只有编号不同，编号分别为，，，从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是______．
15. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为______ ．

16. 如图，的半径为，四边形为的内接矩形，，为中点，为上的一个动点，连结，作交射线于，连结，则的最大值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 先化简，再从，，中选择合适的值代入求值．
19. 如图，四边形是正方形，是上一点，于点．
    过点作的垂线交于点尺规作图，保留痕迹，不写作法；
    根据中作图，若，，求的长．
     

20. 为了解中考体育科目训练情况，从城区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
    
    本次抽样测试的学生人数是______；
    图中的度数是______，并把图条形统计图补充完整；
    若城区九年级学生有人，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______；
    测试老师想从位同学分别记为甲、乙、丙、丁中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中甲的概率．
21. 如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在处测得北偏东方向距离为海里的处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东方向前往监视巡查，经过一段时间在处成功拦截可疑船只．
    
    求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程即长？结果精确到海里，，，
22. 已知是圆的直径，点是圆上一点，点为圆外一点，且，．
    求证：为圆的切线；
    如果，求的长．
     

23. 如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为，轴，垂足为点．
    求的值；
    点是函数图象上一动点不与点重合，过点作于点，若，求点的坐标．

24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、、三点，为轴上一动点，过点作轴的垂线与直线交于点，与抛物线交于点、两点在的左侧．
    求抛物线的解析式及点的坐标；
    在点运动的过程中，若、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求点的坐标；
    如图，当点运动到点上时即与重合，有一点在线段的上方且，连接，请直接写出线段的最小值．

25. 已知，四边形是矩形，，、、分别是、、上的点，，．
    
    当，．
    如图，求证：；
    如图，连接，若，求；
    如图，，，，直接写出面积的最小值．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】

【解析】解：、应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、，正确．
故选D．
根据合并同类项法则；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，
由得：，
由得：，
在数轴上表示不等式的解集是：

故选：．
根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题主要考查不等式的性质，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：原数据，，，，的平均数为，中位数为，众数为，
方差为；
新数据的，，，的平均数为，中位数为，众数为，
方差为；
故选：．
根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：连接，如图：

是的直径，
，
又，，
，
．
故选：．
连接，根据是直径可知，即可求出，根据圆周角定的推论可得，则问题得解．
本题主要考查了圆周角定理的推论以及直径所对圆周角为等知识，熟知直径所对的圆周角是直角，根据圆周角定理的推论得到是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：如图，，，，
，
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义求值即可得出答案．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，则；故函数的图象过点；
B.，则，故函数的图象过点；
C.，则，故函数的图象不过点；
D.，则，故函数的图象过点；
故选：．
把点分别代入解析式判断即可．
本题考查了反比函数、一次函数、二次函数图象上点的坐标特征．图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以选项不符合题意；
B、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以选项不符合题意；
C、若、、在同一直线上，且，则点是线段的中点，所以选项符合题意；
D、三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心，所以选项不符合题意。
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质对进行判断；根据等腰三角形的性质对进行判断；根据线段的中点定义对进行判断；根据三角形外心的定义对进行判断。
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

9.【答案】

【解析】解：作于．

四边形是矩形，
，，，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，设，
在中，，
，
，
，
故选：．
作于思想利用勾股定理求出，再证明≌，可得，，设，在中，根据，列出方程即可解决问题．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

10.【答案】

【解析】解：，
对称轴为：，
时，；时，，
如右图为抛物线与直线的关系图，
由图象可知：
当直线过抛物线左端点时，当直线过抛物线右端点时，
当时，直线与抛物线只有一个交点，
为整数时可取，，；
令，
则，
当时，，
解得，，
此时方程有两个相等的实数根，抛物线与直线只有一个交点，
值为：，，，，
故选：．
由函数解析式作出抛物线与直线的图象，根据图象关系求值即可．
本题考查的是二次函数与直线的关系，根据题意画草图，利用数形结合是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，先提取公因式 ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】

解：
，
．
故答案为： ．

12.【答案】

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
根据，结合平行线的性质，求得的度数，然后由平分，求得的度数，再由，利用等边对等角的性质，求得的度数，继而求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义．熟练掌握等边对等角定理是解决本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：
解法一：

，得：，
，
故答案为：．
解法二：
，
，得：，
，得：，
把代入，得，
解得：，
方程组的解为，
，
故答案为：．
用整体思想凑出或其整数倍，然后求解；或者用加减消元法解二元一次方程组，然后求解．
本题考查解二元一次方程组，掌握消元法解方程组的步骤准确计算是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，求出概率．
画树状图展示所有 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：根据题意画图如下：

共有 种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有 种，
则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 ．
故答案为： ．   

15.【答案】

【解析】解：轴于点，交于点，
，，
．
故答案为．
根据反比例函数系数的几何意义得到，，然后利用进行计算即可．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，连接交于点，以为边向上作等边，连接，，，．

四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，
当点在的延长线上时，的值最大，
此时，，
的最大值为，
故答案为：．
如图，连接交于点，以为边向上作等边，连接，，，判断出点的运动轨迹即可解决问题．
本题考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定，点的运动轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
 

17.【答案】解：



．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：



，
分式的分母，，，
解得：，
取，
当时，原式．

【解析】先算括号内的加法和减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，点即为所求；
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
故AB的长为．

【解析】根据题目的要求作出的垂线即可；
根据正方形的性质得到，，根据侧重点对于得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
 

20.【答案】人    人

【解析】解：本次抽样测试的学生人数是：人，
故答案为：人；
图中的度数是，级的人数是：人，
把条形统计图补充完整如下：

故答案为：，
估计不及格的人数为人，
故答案为：人；
列表如下：

由表格知共有种等可能结果，其中选中甲的有种结果，
所以选中甲的概率为．
由级的人数是除以所占的百分比是得出本次抽样测试的学生人数，即可解决问题；
用乘以级所占的百分比求出的度数，再求出级的人数，从而补全条形统计图；
总人数乘以样本中级人数所占比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：过点作，如图所示：

，
在中，
，
，
设海里，
在中，
，，
，即米，
，
，
，
在中，


海里，
即我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了海里．

【解析】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
过点作，在直角三角形中，得，设海里，得的值，从而求出的长即可．
 

22.【答案】证明：是的直径，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
为的切线；
解：由得：，
又，，
≌，
，
．

【解析】先由圆周角定理得，则再由平行线的性质得，然后证，则，即可得证；
先证≌，得，再由勾股定理求出的长即可．
本题考查了切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：对于，当时，，
，
将点代入得，；
过点作，交的延长线于，作于，

是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
≌，
，，
设，
，，
，，
，
点在反比例的图象上，
，
解得，，
当时，舍，
当时，，
．

【解析】根据一次函数表达式可得点的坐标，再将点代入反比例函数，可得答案；
过点作，交的延长线于，作于，利用证明≌，得，，设，表示出点的坐标，从而得出的方程，解方程即可．
本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形表示出点的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】解：令，则，
，
令，则，
，
将点，代入，
，
解得，
，
令，则，
解得或，
；
设，则，
令，
，，
，、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
与重合，
，
，
，
以为圆心为半径作圆，点在圆上，
当、、三点共线时，有最小值，
，
的最小值为．

【解析】求出、两点坐标，将点，代入，即可求解；
设，则，令，由根与系数的关系可得，，则，可求；
以为圆心为半径作圆，点在圆上，当、、三点共线时，有最小值，求出，可得的最小值为．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，圆的性质，确定点的轨迹是解题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∽，
；
解：四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
即；
解：如图，

过点作于点，
设，，设的面积为，
则，
，
，
，，
，
过作，过点作，交于点，
则是等腰直角三角形，
，
，，，
，，
，
，
根据的结论可得∽，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
，
，，
，
整理得：，
，
即，
或，
，
解得：，
的最小值为，
即的面积最小值为．

【解析】根据矩形的性质可得，，根据，可得出，从而得到，即可证明∽，根据相似三角形的性质即可证明；
根据相似三角形的判定得出∽，根据相似三角形的性质可得，可得，证明∽，可得，根据等边对等角可得，即可求得；
过点作于点，设，，设的面积为，过作，过点作，交于点，根据已知条件表示出，根据的结论可得∽，根据相似三角形的性质可得，进而证明∽，根据相似三角形的性质可得方程，整理方程，根据方程存在解，根据判别式列出不等式，解不等式求解即可．
此题考查四边形综合题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式，矩形的性质，勾股定理，灵活应用相似三角形的判定和性质是解题关键．