2022湖南省名校联盟高三上学期入学摸底考试数学试题含答案

湖南省名校联盟2022届高三入学摸底考试

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

3.本卷命题范围：高考范围．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1. 已知复数z满足：，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 集合，，则中的元素个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 已知等差数列的通项公式为，则其前n项和的最大值为（    ）

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

4. 已知；，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知文印室内有份待打印的文件自上而下摞在一起，秘书小王要在这份文件中再插入甲、乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则a＋b＝（    ）

A 2 B. 0 C. ＋1 D. 1－

8. 如图，在正方体中，M为中点，过且与平行的平面交平面于直线l，则直线l与AB所成角的余弦值是（    ）

A  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 有一组样本数据：1，2，4，3，1，2，1，则（    ）

A. 这组数据的众数为2 B. 这组数据的极差为3

C. 这组效据的平均数为2 D. 这组数据的中位数为

10. 已知a＞b＞1＞c＞0，则（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 已知，则（    ）

A. a＞b B. a＜b C. b＞c D. c＞a

12. 抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点Q（－2，0），过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（    ）

A. p＝2

B.

C. 直线AQ与BQ的斜率之和为0

D. 准线l上存在点M，若△MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为

三、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．

13. 向量，向量与的夹角为，则cos＝________．

14. 双曲线的一条渐近线与垂直，右焦点为，则以原点为圆心，为半径的圆的面积为________．

15. 如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为________．

16. 已知：，且，则________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b，且．

（1）求C；

（2）△ABC内有点M，∠CMA＝∠CMB，且BM＝3AM，直线CM交AB于点Q，求tan∠CQA．

18. 已知：数列满足．

（1）求；

（2）求满足的最大的正整数n的值．

19. 四棱锥中，，，，，，平面平面．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

20. 已知函数．

（1）讨论单调性；

（2）若在上有零点，求实数a的取值范围．

21. 有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．

（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；

（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．

22. 椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．

湖南省名校联盟2022届高三入学摸底考试

数学 答案版

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

3.本卷命题范围：高考范围．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1. 已知复数z满足：，则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：C

2. 集合，，则中的元素个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

答案：A

3. 已知等差数列的通项公式为，则其前n项和的最大值为（    ）

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

答案：B

4. 已知；，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：C

5. 已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：B

6. 已知文印室内有份待打印的文件自上而下摞在一起，秘书小王要在这份文件中再插入甲、乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：B

7. 将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则a＋b＝（    ）

A 2 B. 0 C. ＋1 D. 1－

答案：C

8. 如图，在正方体中，M为中点，过且与平行的平面交平面于直线l，则直线l与AB所成角的余弦值是（    ）

A  B.  C.  D.

答案：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 有一组样本数据：1，2，4，3，1，2，1，则（    ）

A. 这组数据的众数为2 B. 这组数据的极差为3

C. 这组效据的平均数为2 D. 这组数据的中位数为

答案：BC

10. 已知a＞b＞1＞c＞0，则（    ）

A.  B.

C.  D.

答案：BCD

11. 已知，则（    ）

A. a＞b B. a＜b C. b＞c D. c＞a

答案：AC

12. 抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点Q（－2，0），过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（    ）

A. p＝2

B.

C. 直线AQ与BQ的斜率之和为0

D. 准线l上存在点M，若△MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为

答案：BCD

三、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．

13. 向量，向量与的夹角为，则cos＝________．

答案：

14. 双曲线的一条渐近线与垂直，右焦点为，则以原点为圆心，为半径的圆的面积为________．

答案：

15. 如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为________．

答案：8

16. 已知：，且，则________．

答案：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b，且．

（1）求C；

（2）△ABC内有点M，∠CMA＝∠CMB，且BM＝3AM，直线CM交AB于点Q，求tan∠CQA．

答案：（1）；（2）

18. 已知：数列满足．

（1）求；

（2）求满足的最大的正整数n的值．

答案：（1）；（2）

19. 四棱锥中，，，，，，平面平面．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

答案：（1）证明见解析；（2）

20. 已知函数．

（1）讨论单调性；

（2）若在上有零点，求实数a的取值范围．

答案：（1）当时，在R上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）

21. 有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．

（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；

（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．

答案：（1）；（2）分布列见解析，.

22. 椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．

答案：（1）；（2）证明见解析.